具有输入时滞与状态时滞的非线性不确定奇异系统的保性能控制

王 坤，崔 栋

(燕山大学理学院，河北秦皇岛 066004)

近年来，不确定系统的保性能控制的问题引起了人们的关注。研究的目的是对不确定系统设计一个控制器，使得其闭环系统不仅对所容许的不确定性渐近稳定，而且相应的闭环系统的性能指标不大于指标上界。正常系统的保性能控制器的研究已有许多成果[1-6]。对于奇异系统可以更好的描述实际物理过程，所以对奇异系统的保性能控制的研究更有意义。文献[7]—文献[9]对于线性奇异系统的保性能控制问题有了一定的发展，文献[10]研究了广义系统的时滞相关非脆弱H∞保成本控制，文献[11]—文献[12]利用Lipschitz条件设计了鲁棒H∞保性能控制器,文献[13]研究了一类不确定非线性奇异系统的保性能控制，未对输入时滞进行研究。但目前对于均具有状态时滞与输入时滞的不确定奇异系统的非线性扰动的问题的研究还不多见，本文针对这一类非线性不确定奇异时滞系统，基于Lyapunov稳定性理论，线性矩阵不等式以及基本不等式方法设计了闭环系统的保性能控制器，使得闭环系统二次稳定且具有H∞抑制水平γ，保性能的性能指标不大于指标上界。

1 问题描述与预备知识

(1)

其中：x(t)∈Rn,u(t)∈Rm分别为系统的状态向量和控制向量；ω(t)∈Rp为外界干扰输入向量；z(t)∈Rq为受控输出向量；通常矩阵E∈Rn×n为奇异矩阵，A,Ad,B1,B2,C为适当维数的已知常数矩阵，h为不确定的、非时变的状态时滞，满足0≤h≤h*,h*为时滞h的已知上界；ΔA,ΔAd,ΔB1为时变参数不确定性。

假设参数不确定性是可测的，并具有如下形式：

[ΔAΔAdΔB1]=DF(t)[E1E2E3],

(2)

其中：D,E1,E2,E3是适当维数的已知常数矩阵，F(t)∈Ri×j为时变未知实矩阵，Lebesgue可测且满足FT(t)F(t)≤I。

非线性扰动f(t,x(t),x(t-h))为时变、含有状态和时滞状态的耦合函数具有如下结构：

fT(t,x(t),x(t-h))f(t,x(t),x(t-h))≤

(3)

其中H1,H2,H3是已知的定常结构矩阵。

定义1系统(1)所对应的性能指标是：

(4)

其中：R1,R2为给定的对称正定加权矩阵。

定义2对于系统(1)和性能指标函数，若存在状态反馈控制器：

u(t)=Kx(t),K∈Rm×n，

(5)

将状态反馈控制器代入系统(1)，导出的闭环系统为

(6)

对于系统(1)和性能指标(4)，若存在反馈控制律u(t)和一个正数J*，使得对所有允许的非线性扰动f(t,x(t),x(t-h))和所有允许的不确定性，相应的闭环系统(6)是鲁棒渐近稳定的且闭环系统的性能指标(4)满足J≤J*，这里J*为系统(1)的一个性能指标上界，则称控制器(5)为奇异系统的保性能控制器。

引理1[14]对任意x,y∈Rn及任意的实数ε>0，式(7)成立：

2xTy≤εxTx+ε-1yTy。

(7)

引理2[15]对于∀a,b∈Rn,R=RT>0，有如下不等式(8)成立：

-2aTb≤aTRa+bTR-1b。

(8)

引理3[16]给定适当维数的矩阵Y,D,E，其中Y为对称矩阵，则Y+DFE+ETFTDT<0，对于所有满足FTF≤I的矩阵F都成立，当且仅当在常数ε>0，使得：

Y+εDDT+ε-1ETE<0。

(9)

2 鲁棒控制器的设计

(10)

则系统(1)的标称系统在反馈控制器(5)的作用下不仅渐近稳定，而且在初始条件下具有给定H∞的扰动抑制水平γ，并且相应的成本函数上界为

证明取如下的Lyapunov-krasovskii泛函：

V(t,xt)=V1(t,xt)+V2(t,xt)+V3(t,xt),

V1(t,xt)=xT(t)ETPx(t),

对V(t,xt)沿闭环系统(6)的轨线求导数:

其中:

2xT(t)Pf≤fTf+xT(t)PPTx(t)≤

V3(t,xt)=xT(t)Qx(t)-xT(t-h)Qx(t-h)。

当ω(t)=0时，

闭环系统渐近稳定。

由于式(10)中含有不确定项，所以对式(10)中的不确定性结构分解，于是得到下式：

其中：

最后得到:

得到：

3 数值算例

利用定理求解线性矩阵不等式，可得

则系统保性能状态反馈控制器为

4 结 语

本文讨论了一类非线性不确定奇异时滞系统的保性能控制问题。首先，给出了非线性不确定奇异时滞系统的鲁棒H∞的保性能控制定义；然后应用线性矩阵不等式方法、Lyapunov稳定性理论以及基本不等式方法，给出了闭环系统的鲁棒H∞的保性能控制器存在的充分条件和设计方法。用数值算例说明了方法的有效性。

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