高压涡轮叶尖径向运行间隙概率设计

费成巍 白广忱 赵合阳 韩彦彬

(北京航空航天大学能源与动力工程学院，北京100191)

航空发动机是结构极其复杂的旋转机械，在高温、高压、大应力和高载荷的恶劣环境下工作，对各构件之间的装配间隙的设计要求极为严格.其中高压涡轮叶尖径向运行间隙(BTRRC，Blade-Tip Radial Running Clearance)对发动机的性能、效率、可靠性和安全性都有非常重要的影响［1-2］，因此，BTRRC的设计与控制技术是研制高性能、高可靠性发动机所必须关键技术之一.在发动机一个工作循环中，BTRRC并不是完全取决于冷态装配间隙，而是受机械和热载荷等方面诸多因素影响，随工作状态的不同而变化，所以选择合理的BTRRC的分析方法无疑是进行间隙设计与控制的基础.目前，许多研究机构和学者对BTRRC变化进行了研究［2-8］.但这些成果都是以确定性分析为主，忽略了影响间隙各方面因素的随机性，具有很大的盲目性.如果更客观准确地描述运行间隙的变化规律，改善设计和控制的合理性，势必要求考虑影响因素的随机性.因此，BTRRC的确定性设计亟待转变为概率设计.概率设计已在许多领域广泛应用［9-16］，但目前还没发现在航空发动机可靠性分析中应用.通过BTRRC的概率分析，不但可以根据随机参量的分布特征得出BTRRC的概率分布特征，也可以根据BTRRC设计要求确定随机参量特征，有利于改善BTRRC控制以及提高发动机的效率和性能.

因此，本文基于有限元分析和响应面法，尝试进行BTRRC的概率设计.

1 概率分析思想与计算方法

BTRRC设计的实质是转子和静子之间各构件的动态装配设计，基本思想为:首先选取某航空发动机的典型飞行剖面参数［2-4］，截取飞机从地面启动到巡航这一段作为计算范围.取12个样本点作为计算点，如图1所示.其次，将BTRRC分析转化为涡轮盘、叶片和机匣径向变形分析，分别建立有限元模型，进行热-固耦合分析，计算出各部件径向变形和BTRRC的变化规律，并将BTRRC为最小值的时刻作为概率设计的计算点.然后，选取影响间隙的随机变量，对各部件径向变形和BTRRC进行概率分析和灵敏度分析.

图1 航空发动机飞行剖面载荷图

假设某对象径向变形的响应面模型为

式中，Y 和 X=［X1，X2，…，Xr］分别为输出和输入参数;a0，bi，cij(i=1，2，…，r;j=1，2，…，r)为待定系数.

若要求最大输出为δ，则极限状态函数为

H＜0时为失效模式;反之为安全模式.若各随机变量相互独立且其均值和方差矩阵为μ=［μ1，μ2，…，μr］，D=［D1，D2，…，Dr］，则可得到涡轮盘、叶片、机匣径向变形和BTRRC的可靠度和灵敏度［17］.进一步得到 BTRRC 变化量 τ(t)［8］为

式中，Yd(t)，Yb(t)和Yc(t)分别表示t时刻的涡轮盘、叶片和机匣的径向变形.

假设BTRRC的稳态设计值为δ，由极限状态函数得t时刻的叶尖间隙［1-6］为

2 BTRRC确定性分析

首先，选取发动机Ⅰ级高压涡轮，将其分解为涡轮盘、叶片和机匣，有限元模型如图2所示.轮盘工作时前后均有冷却，可认为受轴对称载荷和约束条件，简化榫槽、销钉孔等结构.叶片的榫头放在涡轮盘模型中，简化了冷却孔及榫头.考虑叶片本身质量产生的离心载荷，叶片温度分布不均产生的热载荷和叶片的对流换热［1-8］，忽略冷却气体作用.机匣衬环是一个敏感元件，它的膨胀和收缩带动机匣径向变形和影响叶尖间隙，因此，本文主要分析内层的衬环.将机匣衬环的结构简化为轴对称模型，取其轴截面为研究对象.

图2 t=200 s时的各部件径向位移量云图

考虑材料的导热系数和线性膨胀系数，采用热-固耦合方法对各对象径向变形进行分析，得到Yd(t)，Yb(t)和Yc(t)随时间变化曲线，见图3.假设静态叶尖径向间隙δ=2 mm，根据式(3)～式(4)可得BTRRC Y(t)随时间的变化，见图3.

图3 径向变形和叶尖间隙变化曲线

由图3可得:在发动机启动—起飞爬升过程中，BTRRC呈减小趋势，t=180 s达到了最小，由起飞进入巡航状态时，又有所增加.因此，BTRRC危险点可设定在起飞爬升阶段t=180 s，故将此点作为算点来进行BTRRC概率设计.

3 各对象径向变形概率分析

3.1 随机变量选取

选取各对象不同位置的温度T(单位:℃)和对流换热系数α(单位:W/(m2·K))(根据各对象与燃气温度换热特点［2-4］计算)及转速 ω(单位:rad/s)和密度ρ(单位:kg/m3)为随机变量，见表1.假设所有参数均服从正态分布且相互独立.

表1 BTRRC概率分析的随机变量选取

3.2 概率分析

基于表1中的随机变量，对各有限元模型进行抽样获取样本数据，进而拟合各响应面函数.之后，基于MCM对各响应面模型进行1万次抽样进行概率分析(响应频率分布如图4所示)和逆概率分析(如表2所示).

表2 不同可靠度(部分)下变量的极限值

结果显示:3个对象输出均服从正态分布，其中Yd均值为1.236 1 mm，标准差为0.03 mm;Yb均值为1.3429 mm，标准差为0.00863;Yc均值为0.763 mm，标准差为0.02525 mm.

图4 涡轮盘、叶片和机匣径向变形概率分析直方图

3.3 灵敏度分析

灵敏度是用来分析随机输入变量的变化对输出参量稳定性的影响程度，找出哪些参数对可靠性失效影响较大，进而对径向变形设计与控制提供指导作用.通过径向变形分析，得到各参量的灵敏度如图5所示.在图5中，最重要的随机参数(灵敏度最大)在最左边，其他依次向右排列.灵敏度有正负之分，正表示随机输出变量随输入参量正变化，负则表示反变化.由图5可以看出:对于涡轮盘来说，转子转速ω对径向变形影响最大，起主导作用;Tb1，Tb2和Ta1也有重要影响，其它随机变量的影响很小.对于涡轮叶片来说，叶片中下部温度T3和转子转速ω对径向变形影响最大，起主导作用;其它随机变量的影响很小.对于机匣来说，机匣内侧温度Ti对径向变形量的影响最大，起决定性作用;机匣外侧温度To和对流换热系数αo也对径向变形具有重要影响，其它随机变量的影响很小.

以上结论与实际经验基本相符，为各对象的变形和BTRRC的设计和控制提供了依据.

4 BTRRC概率设计

4.1 概率分析

由上面的计算和分析得到Yd，Yb和Yc在规定条件下的失效数，如表3所示.

在涡轮叶尖径向间隙的稳态值δ设定后，根据式(4)可知:当Y＜0时叶尖与机匣之间会发生碰摩故障，为失效状态.由于Yd，Yb和Yc为相互独立的随机变量，根据全概率公式可得不同δ对应的失效概率和可靠度(如表4所示).当 δ=2 mm时，可靠度几乎为1.说明在装配间隙量为2 mm的条件下，叶尖径向间隙的可靠度很高，几乎不会发生碰磨故障;当δ=1.9 mm时，可靠度为98.1501%，此时，也能基本上能保证发动机的正常工作.但考虑到航空发动机可靠性和效率矛盾的两个方面，笔者建议将δ设定为1.95 mm为宜.

表4 高压涡轮叶尖径向间隙概率分析结果

4.2 灵敏度分析

根据随机变量对各部件的影响概率，利用式(5)计算出它们对BTRRC的影响概率，如表5所示(省略影响概率小于0.01的变量).其中，pi为第i个变量对BTRRC的影响概率;pij为第i个变量对第j个对象(j=1，2，3;1表示盘，2表示叶片，3表示机匣)影响概率;Yjm为第j个对象的径向变形量均值;Ydm，Ybm和Ycm分别为盘、叶片和机匣径向变形量的均值.

由表5可以看出:转子转速、叶片中下部温度和机匣内侧温度对BTRRC影响最大，影响概率分别达29.93%，28.37%和14.96%，所以进行叶尖径向运行间隙分析时，重点考虑它们.另外，涡轮盘A1，A3，B2和B1处的温度以及机匣外侧的对流系数和温度也对BTRRC有重要影响，在叶尖间隙设计时也要对这些变量进行控制.

表5 叶尖径向运行间隙灵敏度分析结果

5 结论

通过航空发动机涡轮部件和BTRRC概率设计，得出如下结论:①通过各对象确定性分析，得到了各对象径向变形和BTRRC随时间变化的规律，找出了概率设计的计算点，即t=180 s;②通过各对象径向变形概率分析和灵敏度分析，不但得到了概率和逆概率分布特征，还找到了影响各径向变形的主要因素，为各对象的径向变形的设计和控制提供了有效依据;③通过对BTRRC概率分析和灵敏度分析，得到了不同δ下的失效数、失效概率和可靠度及主要影响因素，综合考虑航空发动机可靠性和效率，将δ设定为1.95 mm为宜，此时可靠度为99.9458%，满足设计和工程要求.

References)

［1］ Hennecke D K，Trappmann K.Turbine tip clearance control in gas turbine engines［R］.NASA，N83-29254，1983

［2］ Annette E N，Christoph W M，Stehan S.Modeling and validation of the thermal effects on gas turbine transients［J］.Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，2005，127(3):564-572

［3］ Pilidis P，Maccallum N R L.Models for predicting tip clearance changes in gas turbines［R］.NASA，N83-29258，1983

［4］ Lattime S B，Steinetz B M.Turbine engine clearance control systems:current practices and future directions［J］.Journal of Propulsion and Power，2004，20(2):302-311

［5］ Jia Binghui，Zhang Xiaodong.Study on effect of rotor vibration on tip clearance variation and fast active control of tip clearance［J］.Advanced Material Research，2010，139-141(1):2469-2472

［6］ Kypuros J A，Melcher K J.A reduced model for prediction of thermal and rotational effects on turbine tip clearance［R］.NASA/TM-2003-212226，2003

［7］ Lattime S B，Steinetz B M.Robbie M G.Test rig for evaluating active turbine blade tip clearance control concepts［J］.Journal of Propulsion and Power，2005，21(3):552-563

［8］ Forssell L S.Flight clearance analysis using global nonlinear optimisation-based search algorithms［C］//AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit.Austin，Texas:AIAA，2003:1-8

［9］ Kartal M E，Basaga H B，Bayraktar A.Probabilistic nonlinear analysis of CFR dams by MCS using response surface method［J］.Applied Mathematical Modelling，2011，35(6):2752-2770

［10］ Guilhem M，Daniel D，Abdul-Hamid S.Probabilistic analysis of pressurized tunnels against face stability using collocation-based stochastic response surface method［J］.Journal of Geotechnical＆ Geoenvironmental Engineering，2011，137(4):385-397

［11］ Pietrzyk K，Hagentoft C.Probabilistic analysis of air infiltration in low-rise building ［J］.Building and Environment，2008，43(4):537-549

［12］ Lü Q，Low B K.Probabilistic analysis of underground rock excavations using response surface method and SORM［J］.Computers and Geotechnics，2011，38(8):1008-1021

［13］ Pugh C E，Richard Bass B，Dickson T L.Role of probabilistic analysis in integrity assessments of reactor pressure vessels exposed to pressurized thermal-shock conditions［J］.Engineering Failure Analysis，2007，14(8):501-517

［14］ Hu Dianying，Wang Rongqiao，Tao Zhi.Probabilistic design for turbine disk at high temperature［J］.Aircraft Engineering and Aerospace Technology，2011，83(4):199-207

［15］ Chen Jianbing，Li Jie.Dynamic response and reliability analysis of non-linear stochastic structures ［J］. Probabilistic Engineering Mechanics，2005，20(1):33-44

［16］ Nakamura T，Fuji K.Probabilistic transient thermal analysis of an atmospheric reentry vehicle structure ［J］.Aerospace Science and Technology，2006，10(4):346-354

［17］李昌，韩兴.基于响应面法齿轮啮合传动可靠性灵敏度分析［J］.航空动力学报，2011，26(3):711-715 Li Chang，Han Xing.Analysis of reliability sensitivity for gear engagement based on response surface methods［J］.Journal of Aerospace Power，2011，26(3):711-715(in Chinese)