用改进的双曲正切法求解KP方程新的精确解

张 英，李晓燕，姚若侠

（陕西师范大学 计算机科学学院，陕西 西安710062）

1965年美国数学家Zabusky和Kruskal［1］通过高速电子计算机的数值分析发现了孤立子，此后非线性波现象广泛应用于物理学和应用数学的许多分支，如高分子物理、流体力学、等离子物理、海洋动力学、固体物理学等［2－3］．一些新的处理非线性问题的数学方法与技巧也发展起来，引起了科学界的极大关注．

非线性波动现象在现实物理模型中普遍存在，为了解决非线性问题，人们提出了很多方法，如反散射变换法（IST）［4］、Hirota方法［5］、Backlund变换方法［6］、混合指数方法［7］、双曲正切法［2，8－10］等．在前人的工作中，Malfliet利用双曲正切法比较理想地处理了一批非线性波动方程［11］．双曲正切法在Wazwaz的研究中也获得广泛的应用［12］．Kadomtsev－Petviashvili（KP）方程是物理学家和数学家都十分感兴趣的非线性方程之一，也是少数几个完全可积的高维物理模型之一［13］．本文利用改进的双曲正切法构造KP方程新的形式更为复杂的精确解析解，从而说明该改进的双曲正切法在处理非线性发展方程中的有效性．

利用计算机代数系统，即符号计算系统来寻找非线性偏微分方程的孤立波解历来为孤立子理论中的一个十分活跃的研究领域．Malfliet和Hereman曾介绍过用双曲正切方法求解非线性偏微分方程的符号计算方法，并给出计算封闭形式行波解的软件包［14］．本文基于符号计算系统Maple，以KP方程为例，给出一种新的用于获取其精确解析解的求解方法，并给出具体实现步骤．

1 双曲正切函数法及其改进

双曲正切函数法是Malfliet等人于1992年提出的求解非线性发展方程精确解的有效方法［11］．90年代中期，李志斌、Malfliet和Parks［14－16］等人将双曲正切法与计算机代数系统相结合，进一步拓展了该方法的研究对象，使得它能够方便地处理更为复杂的非线性偏微分方程（组）．

非线性波方程的研究在物理学和数学领域都取得了显著的成效，此类方程大部分有物理意义的孤立波解，都可以表示成具有局部性特征的“钟状函数”－sech和“扭状函数”－tanh的多项式．双曲正切方法的关键在于它先验地假设波方程的解是tanh函数的有限幂级数，自变量取为行波变量，级数的最高幂次由方程中的最高阶导数的线性项与非线性项之间的平衡决定［16］．各种扩展形式的双曲正切方法在符号计算软件的活跃下发展起来，并用于构造物理学中提出的耦合非线性方程的精确行波解．

双曲正切方法与其他求解偏微分方程（组）精确解方法的整体思想基本一致，都是先采用各种方法将偏微分方程（组）降维或直接约化为常微分方程（组），然后再通过不同的方法求出孤立波解．下面将归纳给出改进的求解偏微分方程精确解的双曲正切函数法的一般步骤：

步骤1 将偏微分方程转化为常微分方程．对于给定的偏微分方程

通过行波变换（c是待定常数）

转化为常微分方程

步骤2 双曲正切法很重要的一个步骤是先验地假设波方程的解，即把方程的解表示成双曲正切函数的某种叠加与组合．这里给出的解是tanh函数的有限幂级数．假设方程（1）的精确解具有如下形式：其中系数ai、λ是待定常数，而幂级数的最高次幂m可以通过齐次平衡法获得．

齐次平衡法的基本原理就是对方程中的线性最高阶导数项的阶数与非线性项的阶数作平衡，即让它们相等，最后得到解的阶．若假设解的阶是m，对自变量求一次导数，该项的阶则增加1，即m＋1．那么，uxxx的阶数即可记为m＋3，依此类推．下面以KP方程为例给出其解的阶数．

对（4）式这种经典双曲函数形式解可做如下改进，假设ξ＝kv＋t且若u＝u（x，t），则令v＝v（x，t）；若u＝u（x，y，t），则令v＝v（x，y，t），即v是关于自变量的某函数而不是单纯的一个未知变量．此前，在文献［17］的假设中，v和t都只是简单变量，κ是任意常量．而本文假设v＝v（x，y，t），这样解就会更丰富，形式也更为复杂．

步骤3 确定常微分方程的非线性代数方程组．将假设的具有形式（4）的解带入方程（1）中，将tanh函数的同次幂项合并，并令其系数为零，由此得到关于幂级数的系数ai及λ的一个非线性代数方程组．

步骤4 利用吴消元法［18］求解非线性代数方程组，确定待定量λ、κ和ai．

步骤5 将上面求得的λ、κ和ai代入解（4）中，即可得到方程的精确解．

步骤6 将所获得的解带入原方程验证．

容易看出，用人工求解步骤3中得到的非线性代数方程组，不但计算量大，而且往往无法直接求解，而吴消元法为其求解建立了完整的理论．利用吴消元法，并借助符号计算系统Maple则可轻松求解．

2 KP方程新的精确解

2．1 KP方程

考虑如下形式的KP方程［19－20］：

此方程是描述孤立波u（x，y，t）的演化过程的一个偏微分方程，其中x和y分别是纵向和横向空间坐标，下标x、y、t表示函数u关于它们的偏导数，如uxt

KP方程是1970年由两个苏联物理学家Kadomtsev和Petviashvili在讨论与原方向垂直水平扰动下波的稳定性而引入的，并用该方程作为模型来研究等离子体中小振幅传播的长离子声波，在波长横向扰动影响下的演化［21］．1974年，Druyma向人们展示了KP方程如何写成松散形式，并指出该方程是可积的［22］．同年，Zakharov和Shabat将逆散射变换方法扩展到二维空间，并运用它得到KP方程包括线性孤子解的一些精确解［23］．随后也得到KP I型方程（相速度随着波数增加）的二维代数衰减局部解，称作lumps［19］．

2．2 求解KP方程精确解

首先，假设KP方程（5）的解u（x，y，t）的阶为m，那么利用齐次平衡法对KP方程的线性最高阶导数项uxxxx的阶数与非线性项uuxx的阶数平衡得到m＋4＝m＋m＋2，解得m＝2．由此可确定KP方程的孤立波解的阶数为2．故可假设它的解具有如下形式：

其中的系数a0、a1、a2可视为自变量x、y、t的函数，即ai＝ai（x，y，t）（i＝0，1，2），且可特别令v＝v（x，y，t）．将（6）式代入KP方程（5），然后按照tanh（κv＋t）的不同幂次进行合并．为了避免没有tanh（κv＋t）的项出现而在提取系数时出错，在合并之前先给每一项乘以因子tanh（κv＋t），这样在提取tanh（κv＋t）各阶的系数时，就可以用一个循环来提取所有系数，所得结果如下：

观察上述系数表达式，寻找是否存在一个只含有a0、a1、a2其中之一的系数．因为此处得到的系数个数比较少，所以只需一般观察即可，但当对更复杂的偏微分系统求解时，若得出的系数个数很多，则需借助计算机的代数系统Maple，通过编程对系数中各项遍历，从而得出需要的系数．观察发现7次幂，即tanh（κv＋t）7的系数只含有a2．于是，通过求解（7）式可得

继而会发现6次幂的系数中只含a1、a2，即此处得到的事实上是一个三角化组．将a2代入（8）式，并通过Maple的solve命令求解可得a1＝2kvxx．同理可得

将a0、a1、a2代入（6）式，由此可得精确解

观察发现解u中含有先前假设的新函数v（x，y，t）．显然，v应该被解出，但在求解v之前需将解（11）代入KP方程进行验证，此时即可以找出一个v必须满足的条件．解u，即将（11）式代入KP方程，按tanh（κv＋t）的不同幂级数合并并观察其系数表达式，发现

中含有v的偏导数，且vyy很容易被解出，即vyy满足关系

此时，将a0、a1、a2及vyy满足的条件式（13）一起代入KP方程，验证结果为零，说明（11）式是KP方程的一个解．如前所述，应设法求解出v＝v（x，y，t）．为此，由（12）式可得

继而对（14）式做变换v＝V（kx＋wt），kx＋wt＝X，可得常微分方程

对方程（15），令VX＝W即于是可得

求解方程（16）可得W（X）满足条件

其中D＝κkm（4κ3k3m3－2c1κk3m2＋2c2κk3m＋1），ci（i＝1，2，3）为常数，从而首次获得KP方程的两个形为（11）式的新的精确解．

3 结语

偏微分方程精确解的求解方法很多，双曲正切函数法只是其中之一，相比反散射法、双线性变换法、混合指数及扩展的混合指数法等方法，该方法更简洁有效，人们用双曲正切方法及各种修正的双曲正切方法获得许多新的有数学物理背景意义的精确解．本文在对该方法解的假设部分给出复杂但更巧妙的一个假设，并基于此改进的方法，结合吴消元法在符号计算软件Maple的辅助下获得2＋1维KP方程的新的行波解，由此验证了该方法的有效性．这些解均通过Maple进行了验证，且它们的获得可以更好地刻画非线性偏微分方程本身所描述的非线性现象．

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