三角代数上的广义高阶Jordan导子

马 飞，张建华，任刚练

（1陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安，710062；2咸阳师范学院 数学与信息科学学院，陕西 咸阳，712000）

设A是任意代数，称M是其A－双模，若满足对于任意的A∈A，M∈M，有AM、MA∈M．一个可加映射d：A→M称为导子、Jordan导子或者Jordan三重导子，如果d满足对于任意的A、B∈A，有d（AB）＝d（A）B＋Ad（B），d（A2）＝d（A）A＋Ad（A）或者d（ABA）＝d（A）BA＋Ad（B）A＋ABd（A）成立．一个可加映射f：A→M称为广义导子或广义Jordan导子，如果存在导子或Jordan导子d：A→M使得对于任意的A、B∈A，有f（AB）＝f（A）B＋Ad（B）或f（A2）＝f（A）A＋Ad（A）．近年来，各种算子代数上使得一个线性映射成为（Jordan）导子和广义（Jordan）导子的研究工作不断出现，引起了许多学者的兴趣．显然，（广义）导子一定是（广义）Jordan导子，反之一般不成立［1］．自然的一个问题就是在哪些代数上的（广义）Jordan导子是（广义）导子？1957年，Herstein首先在文献［2］中证明了每个2－非挠半素环上的Jordan导子是导子；随后有很多结果被证明，文献［3－4］证明了每个三角代数和套代数上的Jordan导子是导子；文献［5］证明了每个套代数上的广义Jordan导子是广义导子；我们在文献［1］中证明了每个上三角代数到其双模上的广义Jordan导子是一个广义导子与反导子的和．类似结果可见文献［6－8］．

另外，高阶导子也得到很多学者研究（见文献［9－11］）．下面先给出定义：

定义1［9］设D＝（di）i∈N是环R上满足d0＝idR的一族可加映射．称映射D为高阶导子（简记为HD），如果对于任意的A、B∈R，有dn（AB）＝映射D称为高阶Jordan导子（简记为HJD），如果对于任意的A∈R，有dn（A2）＝；映射D称为高阶Jordan三重导子（简记为HJTD），如果对任意的A、B∈R，有

定义2设F＝（fi）i∈N是环R上满足f0＝idR的一族可加映射．映射F称为广义高阶导子（记为GHD），如果存在R上的高阶导子D＝（di）i∈N，使得对于任意的A、B∈R有fn（AB）＝映射F称为广义高阶Jordan导子（简记为GHJD），如果存在R上的高阶Jordan导子D＝（di）i∈N，使得对于任意的A∈R，有fn（A2）＝；映射F称为广义高阶Jordan三重导子（简记为GHJTD），如果存在R上的高阶Jordan三重导子D＝（di）i∈N，使得对任意的A、B∈R有

文献［9］证明了每个2－非挠半素环上的高阶Jordan导子是高阶Jordan导子；文献［10］证明了三角代数上的高阶Jordan导子是高阶导子．自然就产生这样的一个问题：每个三角代数上的广义高阶Jordan导子是不是广义高阶导子？本文就从这个角度出发来回答这个问题．

三角代数首先是在文献［12］中引出，随后被许多学者研究［4，10－15］．设A和B是可交换R上的代数，且分别含有单位元IA和IB，M是忠实的含单位（A，B）－双模．M称为忠实的A－左（右）模是指如果A∈A且AM＝0（MA＝0），则有A＝0．一个在通常矩阵算法意义下的R－代数

称为三角代数．有关三角代数最典型、也是最重要的模型是上（下）三角矩阵代数和套代数．

显然，三角代数U存在非平凡幂等元e1和e2，其中

显然三角代数是含有单位元I的：I＝e1＋e2．由矩阵的运算可知，对于任意的1≤i≤j≤2，有Uij＝eiUej．因而可以将三角代数U表示为

本文假设所有的映射都是可加的，N表示包含0的自然数集．

由文献［10］可知，每个高阶Jordan导子是高阶导子，因此本文中总假设是高阶导子即可．

类似于文献［9］的证明可得下面的引理：

引理1 设U＝Tri（A，M，B）是三角代数，D＝（di）i∈N是高阶导子，F＝ （fi）i∈N是GHJD，则对于任意的A、B、C∈U，都有

特别地，当n＝1时，由GHJD的定义可知f1是广义Jordan导子［15］．

引理2［15］设A、B是2－非挠可交换环R上的含单位代数，M是（A，B）－双边模且U＝Tri（A，M，B）是三角代数，则U上的每个广义Jordan导子都是广义导子．

引理3 设f1是广义Jordan导子，d1是Jordan导子，则当i＝1，2时，有

（ⅰ）d1（e1）∈U12，d1（e2）∈U12，d1（U12）⊆

证明 （ⅰ）因为三角代数上的Jordan导子是导子［4］，因而d1是导子．注意到在三角代数中，e2e1＝e2Ue1＝0，ei＝e2i，且d1（e1）＝d1（e1）e1＋e1d1（e1），因而

因此，d1（e1）∈U12．又因为d1（I）＝0，所以d1（e2）＝－d1（e1）∈U12．

对于任意的A12∈U12，由A12＝e1A12＝A12e2可知：

由d1（e1）∈U12，d1（e2）∈U12，则d1（A12）＝e1d1（A12）＝d1（A12）e2．于是

对于任意的A11∈U11，A22∈U22，则由d1（A11）＝d1（A11）e1＋A11d1（e1）知：e2d1（A11）e2＝0，因此d1（A11）∈U11＋U12．

类似可以证明d1（A22）∈U22＋U12．

（ⅱ）由于f1是广义Jordan导子，则

f1（e1）＝f1（e1）e1＋e1d1（e1）∈U11＋U12；f1（e2）＝f1（e2）e2＋e2d1（e2）∈U22＋U12．对于任意的A12∈U12，由引理1（ⅰ）可得

f1（A12）＝f1（e1A12＋A12e1）＝f1（e1）A12＋e1d1（A12）＋f1（A12）e1＋A12d1（e1），

对上式两边左乘e2且由e2f1（A12）e1＝0可得

e2f1（A12）＝0．

又因为

对上式两边右乘e1可得f1（A12）e1＝0．因此，f1（A12）＝f1（A12）e2∈U12．

对于任意的A11∈U11，由引理1（ⅱ）可得

因而，f1（A11）∈U11＋U12．同理可以证明f1（A22）∈U22＋U12．

定理1 设U＝Tri（A，M，B）是三角代数，则U上的每个广义高阶Jordan导子是广义高阶导子．

证明 设F＝ （fi）i∈N是广义高阶Jordan导子，用数学归纳法证明结论．

由引理2可知：当k＝1时，广义Jordan导子是广义导子；而引理3又说明，当k＝1时，对于i＝1，2，满足：

下面设对任意的A、B∈U和任意的k＝s＜n∈N，有fs（AB（B）并且对于i＝1，2满足：

Ps：fs（U12）⊆U12，fs（Uii）⊆Uii＋U12；ds（ei）∈U12，ds（U12）⊆U12，ds（Uii）⊆Uii＋U12．

为了证明当k＝n时结论成立，分为以下4个命题来证明：

命题1 dn（e1）∈U12，dn（e2）∈U12，dn（U12）⊆U12和dn（Uii）⊆Uii＋U12（i＝1，2）．

因为dn（e1）则由Ps可得e1dn（e1）e1＝e2dn（e1）e2＝0．于是dn（e1）∈U12．显然ds（I）＝0，易证dn（I）＝0．因 而，dn（e2）＝－dn（e1）∈U12．

设A12∈U12，则有和

由Ps及dn（e1）∈U12，dn（e2）∈U12可知

因此，dn（A12）＝e1dn（A12）e2∈U12．

对于任意的A11∈U11，A22∈U22，因为ds（A11）∈U11＋U12，ds（e1）∈U12，则有

因而dn（A11）∈U11＋U12．类似可以证明d2（A22）∈U22＋U12．

命题2 fn（U12）⊆U12，fn（Uii）⊆Uii＋U12（i＝1，2）．

由fn的定义及Ps，显然有

所以有fn（e1）∈U11＋U12，fn（e2）∈U22＋U12．

对于任意的A12∈U12，由引理1（ⅰ）及A12e1＝0可得

对（1）式两边左乘e2且由e2fn（A12）e1＝0知e2fn（A12）＝0．又因为e2A12＝0，则

对（2）式两边右乘e1，可得fn（A12）e1＝0．因此，fn（A12）＝e1fn（A12）e2∈U12．

对于任意的A11∈U11，由引理1（ⅱ）可知

所以有fn（A11）∈U11＋U12．同理可以证明fn（A22）∈U22＋U12．

命题3 （ⅰ）对于任意的A11∈U11，B12∈U12，有fn（A11B12

（ⅱ）对于任意的A12∈U12，B22∈U22，有

（ⅲ）对于任意的Akk、Bkk∈Ukk（k＝1，2），有

对于任意的A11∈U11和B12∈U12，由引理1（ⅰ），命题1、2及Ps可得

类似地可以证明（ⅱ）．

对于任意的A11∈U11，由引理1（ⅱ）及dn是高阶导子，从而有

因此，对于任意的A11、B11∈U11，有

由（3）式可得

因而可得

类似可以证明

命题4 对于任意的A、B∈U，有

对于任意的A、B∈U，有A＝A11＋A12＋A22，B＝B11＋B12＋B22，其中Aij、Bij∈Uij（1≤i≤j≤2），由命题3可得

再由Ps及命题1、2可知

由（3）式可得

于是fn（AB）即k＝n时结论成立．

综上可知，三角代数上的每个广义高阶Jordan导子是广义高阶Jordan导子．

通过定理1的证明过程可知：对于任意的i∈N，有di（I）＝0．因而一个广义高阶Jordan三重导子是广义高阶Jordan导子．因此，由定理1可得

定理2 设U＝Tri（A，M，B）是三角代数，则U上的每个广义高阶Jordan三重导子是广义高阶导子．

特别地，若对于任意的i∈N，满足fi＝di，则有

推论1 设U＝Tri（A，M，B）是三角代数，则U上的每个高阶Jordan导子是高阶导子．

推论2 设U＝Tri（A，M，B）是三角代数，则U上的每个高阶Jordan三重导子是广义高阶导子．

本文在三角代数上研究了广义高阶Jordan导子和广义高阶Jordan三重导子，证明了在三角代数上，广义高阶Jordan导子、广义高阶Jordan三重导子和广义高阶导子是等价的．我们的结论更具有一般性，如文献［2，4－5，10，15］等的结论均可看成是本文结论的某种特殊情形．

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