含位置参数伽玛分布的特征函数和参数估计

严 琴,李开灿 (湖北师范学院数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)

含位置参数伽玛分布的特征函数和参数估计

严 琴,李开灿 (湖北师范学院数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)

研究了含位置参数的伽玛分布的特征函数和参数估计，其中参数估计包括3个参数的矩估计以及当形状参数和位置参数为已知时求得尺度参数的极大似然估计具有无偏性和有效性，同时还研究了两伽玛分布之间的Pearson-χ2距离和Kullback-Leibler距离。

伽玛分布；Kullback-Leibler距离；Pearson-χ2距离；参数估计

1 含位置参数的伽玛分布及其性质

(ert)(n-m)=rn-mert[(1-βt)-α](m)=βmα(α+1)…(α+m-1)(1-βt)-α-m

故：

推论1该伽玛分布的期望和方差分别为EX=αβ+r,DX=αβ2。

证明对定理1中的结论，令n=1,n=2可得E(X)=αβ+r,DX=E(X2)-E2(X)=αβ2。

定理2若随机变量ξ～G(α1，β，r),η～G(α2,β,r)均为伽玛分布，则随机变量ζ=ξ+η同样服从伽玛分布，且ζ～G(α1+α2,β,2r)。

证明设ξ,η和ζ的概率密度函数分别为pξ(x)，pη(y),pζ(z),当z≤2r时，pζ(z)=0，当z>2r时：

故ζ～G(α1+α2,β,2r)。

注：可加性是对于形状参数的可加，对于位置参数只是近似的可加，而对于它是否也具有可加性有待于进一步的验证。

2 特征函数和参数估计

定理3若ξ～G(α，β，r)，则ξ的特征函数为φ(t)=eitr(1-itβ)-α。

推论2若随机变量ξ～G(α1,β,r1),η～G(α2,β,r2)均为伽玛分布，则随机变量ζ=ξ+η同样服从伽玛分布，且ζ～G(α1+α2,β,r1+r2)。

证明通过定理3可以得到ξ和η的特征函数分别为：

φξ(t)=eitr1(1-itβ)-α1φη(t)=eitr2(1-itβ)-α2

故ζ的特征函数为φζ(t)=φξ(t)·φη(t)=eit(r1+r2)(1-itβ)-α1+α2。由于随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定，故可以得到结论。

注：通过研究该伽玛分布的特征函数，可以得到该伽玛分布在尺度参数不变的条件下，对于形状参数和位置参数都具有可加性。

定理4设ξ1,ξ2,…,ξn是总体G(α,β,r)的样本，则参数α,β,r的矩估计为：

由定理4发现，含3个参数的伽玛分布的矩估计比较复杂，对于其矩估计的性质有待于进一步研究。尺度参数在伽玛分布中具有特殊重要的意义，因此重点分析尺度参数的极大似然估计。

证明设子样ξ1,ξ2,…,ξn的联合概率函数在ξi取已知观测值xi,i=1,…,n时f(x1;β)f(x2;β)…f(xn;β)是β的函数，用L(β)=L(β;x1,x2,…,xn)表示子样的似然函数：

3 伽玛分布的Pearson-χ2距离和Kullback-Leibler距离

通常为了比较2个密度函数的差异性，利用Pearson-χ2距离和Kullback-Leibler距离等距离概念来刻画，而文献[1]研究了Pearson-χ2距离的一些性质，文献[2]研究了几个重要分布的Pearson-χ2距离，文献[3]则研究了一些分布的Kullback-Leibler距离。在此笔者研究伽玛分布的这2个距离。

定理6设f(x)是伽玛分布G(α1,β1,r)的密度函数，g(x)是伽玛分布G(α2,β2，r)的密度函数，且0<α1<2α2，2β1≠β2，则：

证明由距离公式的定义得：

其中:

定义3设随机变量ξ,η分别具有密度函数f(x)，g(x)并设g(x)>0，则f(x),g(x)之间的Kullback-Leibler距离定义为:

定理7设f(x)是伽玛分布G(α1,β1,0)的密度函数，g(x)是伽玛分布G(α2,β2,0)的密度函数，且α1,α2>1，则f(x)到g(x)的Kullback-Leibler距离为：

证明由Kullback-Leibler距离定义得：

所以:

当α1,α2>1时，由引理1,可得:

[1]李开灿. Pearson-χ2距离的若干性质[J].数学的实践与认识,2003,33(1):49-53.

[2] 陈光曙,朱成莲.几个重要分布的Pearson-χ2最大距离及其渐进性[J].江西师范大学学报(自然科学版),2005,29(5):417-419.

[3] 陈晓东.几种常见分布的Kullback-Leibler距离[J].淮阴师范学院学报(自然科学版),2009, 8(4):279-283.

[4]Robert G O, Shau S K. Updating Schemes.Correlation St ructure, Blocking and Parameterization for the Gibbs Sampler [J]. J R Statist Soc B, 1997, 59:2912317.

[5]Liu S J,Wong W H, Kong A. Correlation St ructure and Convergence Rate of the Gibbs Sampler with Var i2 ous Scans [J]. J R Statist Soc B, 1995, 57:1572169.

[6] 魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社,2008.

2012-11-26

湖北教育厅科技重点项目(D20112503)。

严琴(1989-)，女，硕士，现主要从事统计学方面的教学与研究工作。

O212

A

1673-1409(2013)04-0007-03

[编辑] 洪云飞