一个函数值域的几种求法

●张小明

(海宁市高级中学 浙江海宁 314400)

一个函数值域的几种求法

●张小明

(海宁市高级中学 浙江海宁 314400)

在总结数学知识和领会数学解法方面，一题多解具有“花时少、传授知识多”的作用，一直受到学生和教师的喜爱.笔者认为“学生懂不懂、如何做题”的教学是第一层次的，“为何这样做”才是教师和学生追求的最终目标.以2010年全国高中数学联赛填空题的第2题为例，本文讲解其带来的数学感悟.

评注解法1“妙”在无障碍地去除了根号运算.x=tant的引入，如果说是悟自于双曲线的参数方程，还不如说来自于不定积分中的三角函数换元法：

解法2(好招)当x>1时，

当x<1时，

评注自变量“少”或自变量“近”是求函数值域的一个要点，把根号外面的量移到里面，就是以此为目的.至于x2=(x-1+1)2的处理是为了使变量处在同一计算形式，而且分母不易拆，而分子易拆.曾有人说:先两边平方，再做此题.笔者认为：两边平方，风险自理.解法2无风险，但也起到两边平方的作用.

解法3(险招)首先，当x>1时，y>0；当x<1时，y<0，且

平方后整理，得

(y2-1)x2-2y2x+y2-1=0.

当y=-1时，x=0；当y=1时，x无解;当y≠±1时，由求根公式知

从而

2y2-1>0，

与x>1矛盾，即x无解;当y>1时，

成立，即x有解.因此，所求值域为

评注用一元二次判别式求值域是有风险的(如解法3中容易遗漏了“从y出发，求出相应的x”).甚至有学者认为，用此法是错误的,但笔者认为：利用一元二次判别式求出函数值y的范围后，再用求根公式求x，若相应的x能求出且符合原题意，则说明y值可取到，反之则不然.

得

(k2-1)x2-2k2x+k2-1=0,

即

4k2-4(k2-1)2=0,

解得

评注“分式”型函数求值域，都可考虑用解析几何知识来化解问题,有时能事半功倍.

解法5(高招)对y求导，得

从而y在(-∞,-1)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减.由于

解法6(无招胜有招)当x>1,x→1时，易知y→+∞；当x→+∞时，易知y→1.

平方后整理，得

(1-a2)x2+2a2x+1-a2≥0.

4a4-4(1-a2)2≤0，

解得

猜想2当x<1时，y<-1,其等价于

即

亦即

x2+1>1-2x+x2，

从而

x>0，

与x<1矛盾，因此猜想2不成立.