一道不等式恒成立高考题的错解分析

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(陕西师范大学数学与信息科学学院 陕西西安 710062)

一道不等式恒成立高考题的错解分析

●罗增儒

(陕西师范大学数学与信息科学学院 陕西西安 710062)

2012年浙江省数学高考理科第17题如下：

例1设a∈R，若x>0时均有[(a-1)x-1]·(x2-ax-1)≥0，则a=______．

这道试题出来后，立即以其形式的简单性、内容的新颖性、思维的灵活性与广阔性等特征引起关注，本刊曾连续发表文章加以研讨(见文献[1]～[4])，也有作者多次撰文连续研讨(见文献[5]～[6]).从见于各刊的部分文章(见文献[1]～[13])分析显示：作者对本例作为数学题的关注多于作为考试题的关注，对本例正面求解的关注多于纠错订正的关注．从对高中数学教师和高三学生的测试表明：

(1)难度系数很低．这道4分题在10分钟时间内的通过率不到0．2，属于考试中的低效题(可能与东西部的教育差异有关)．另有文献[2]认为：这是学生熟悉的“恒成立”命题，但成功解题的人却不多.文献[13]认为：大部分学生感觉有困难．

(2)纠错力度不足．对于学生中的错解，不少教师看不透，归因不当或者逃避归因——直接给出正确解答了事(见文献[7]等)．

鉴于此，笔者将本例作为解答题来研讨，并重在纠错，涉及3个方面的认识：

(1)在本例的处理中存在哪些主要的错解？(本文提到4个错解.)

(2)这些解法错在哪一步、错误的性质是什么？(主要有3类：知识性错误、逻辑性错误、心理性错误.)

(3)如何对错解直接订正？

至于本例的众多解法(有10余种：代数解法、几何解法、取特殊值解法等)，限于本文的主题，不再赘述．

1 错解的呈现

1.1 错解1的呈现

由两式的乘积非负，则两式同时非正或同时非负，可将已知不等式等价于以下2种情况：

x2-x-2≤0,

即(x-2)(x+1)≤0对x>0恒成立．这是不可能的(取x=3，例1无解)．

x2-x-2≥0，

即(x-2)(x+1)≥0对x>0恒成立．这是不可能的(取x=1，例1无解)．

综合2种情况，例1无解(或是一道错题)．

说明这是学生中的一种常见思路，文献[1]，[2]，[5]～[8]，[12]都有所提及，如：

(1)文献[1]列出2种情况后，认为：受到经验的影响，很多学生认为本题可能是错题或者解不出．

(2)文献[6]以师生讨论的形式展现学生思路，认为：这不是解不等式，这是一个在x>0时的恒成立问题，学生1没有注意x>0而误认为是错题．文献[12]也认为：学生把f(x)g(x)≥0恒成立与解不等式f(x)g(x)≥0混淆了．(读者可能会疑惑：难道例1不是不等式问题？)

该文献认为：错误的原因是由于受到解题经验的影响，将不等式化为了恒不等式.(读者可能留下“2种情况导致解不出本题”的印象，分不清“解题经验”到底是积极的还是消极的.)

1.2 错解2的呈现

对a-1分2种情况讨论:

(1)当a-1≤0时，由x>0知

(a-1)x-1<0,

结合已知可得

x2-ax-1≤0,

从而

即

解得

0

解得

(2)当a-1>0时，由已知可得

即

从而

2a2-3a=0.

1.3 错解3的呈现

由[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，特别地，取两式同时为0，得

从而

说明对于学生的这一思路，文献[2]，[4]有类似的处理：

2 错解的辨析

2.1 对错解1的辨析

2.1.1 错解1是“会而不对”

即分2种情况讨论确有合理成分(下面有合理性的说明)，但它的“等价性”依据比较隐晦，所得出的“无解”结论是错误的，叫做“会而不对”．

2.1.2 错解1的错误内容(主要有3点)

错误1等价性的依据是含糊的，即由“两式的乘积非负，则两式同时非正或同时非负”推出“2种情况”，有一种令人“半信半疑”的含糊．还有“日常语言”与“数学语言”的歧义．因为在情况(1)中，当(a-1)x-1≤0时不能由[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0推出x2-ax-1≤0，仅当(a-1)x-1<0时，才能由已知推出x2-ax-1≤0；同样，在情况(2)中，仅当(a-1)x-1>0时，才能由已知推出x2-ax-1≥0．而当(a-1)x-1=0时，x2-ax-1可以小于0、等于0、大于0．请看一个例子：

从而

故

x≥2.

这说明“两式的乘积非负，则两式同时非正或同时非负”可能会由于含糊而产生歧义．

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0

可以保持不重不漏．其几何直观如图1和图2所示(图2中a记为y，参见解法4和解法5)．

图1 图2

因此，我们说分2种情况讨论确有合理成分，其合理性可用集合语言更准确地表示为：

{x|f(x)g(x)≥0}=

这时，例2可合理求解：

{x|x≥2}∪{x|x=-1}．

错误2构成矛盾无效．其实，错解1分2种情况讨论的同时，也对x∈(0,+∞)分成了2种情况(见图2的阴影部分)．对于第(1)种情况，有

即

从而

0

对于第(2)种情况，有

即

从而

x≥2.

因此，2种情况下构成矛盾都是盲目的、无效的．

换句话说，以下等价关系为真命题：

而下面的等价关系为假命题：

这就是学生错误的真正原因，也是许多文章没有正面点明(或有所逃避)的要害之处．

错误3心理沿袭和监控缺失．在分2种情况讨论的同时，也把x∈(0,+∞)分成x∈(0,2]与x∈[2,+∞)这2种情况，这在错解1中已有明显的暴露：

但是错解1对此视而不见，2种情况下都依然沿袭x可取(0,+∞)，并由此出发去构成矛盾，这除有知识盲点、逻辑盲点外，还有视而不见的心理沿袭和反思监控的思维缺失．

另外，对于方程和不等式，“问题无解”并不等同于“错题”(可记为错误4)．

2.1.3 错解1的错误性质

由上面的分析可见，错解1既有知识性错误，又有逻辑性错误，还有心理性错误，但主要是逻辑性错误．不去纠正错误是“误人子弟”，不从逻辑关系上去纠正错误是“隔靴搔痒”．

2.1.4 错解1的直接订正

正解1(代数法)由等价关系

{x|f(x)g(x)≥0}=

可以把已知不等式变为以下2种情况：

两式相加消去a，得

从而

0

得

两式相加消去a，得

从而

x≥2.

得

说明这样处理表明错解1可以完善，不应回避，但原理比较隐晦，书写比较曲折，其简化处理可为：

正解2(代数法)更换主元，将已知式看成关于a的不等式，对x>0有

(1)当0

得

(2)当x≥2时，解关于a的不等式(1)，得

得

说明正解2显然比正解1原理较为显浅，讨论更为自然，书写更简洁，但内容实质却是一样的：

正解2的几何意义见图1和图2，及解法4和解法5．

2.2 对错解2的辨析

2.2.1 错解2是“对而不全”

2.2.2 错解2的错误内容

主要针对a-1≤0的情况说明3点:

2.2.3 错解2的错误性质

由上面的分析可见，错误1是知识性错误,错误2是逻辑性错误，错误3是心理性错误．

2.2.4 错解2的直接订正

正解3(代数法)分2种情况讨论．

(1)当a-1≤0时，有2a-3≠0，取x=2>0，得

[(a-1)x-1](x2-ax-1)=-(2a-3)3<0，

这说明不大于1的a不满足条件，此时无解．

说明这样处理是对错解2的完善，它的几何解释如下．当a>1时，三次函数

有“一负两正”3个零点(如图3)，要使x>0时f(x)≥0恒成立，当且仅当2个正根重合为切点(如图4)．

图3 图4

2.3 2个错解的对比分析

学生的2个错解:一个“会而不对”;一个“对而不全”,都已讨论清楚，现在把2种错解及其订正都回顾一下，大家可以看到这样的对比：

表1 错解1和错解2的比较

图5 图6

2.4 对错解3的辨析

2.4.1 错解3是“对而不全”

2.4.2 错解3的错误内容

问题1“特别地”使人感到好像是一个必要条件过程，如果是必要条件，那就还缺少充分性的验证．

问题2设y1=(a-1)x-1,y2=x2-ax-1．则y1y2≥0可以分解为7种情况(参见图2中的阴影部分)：

“取两式同时为0”只是其中一种情况，从这一意义上说，“特别地”又像是一个充分条件．而充分条件则存在减根的危险．

当然，如果有唯一性作保证，那么，“特别地”取两式同时为0是可以的，问题是，由题目求“a=______”能否断定a是唯一确定的值呢？我们说不能，a也可以取不只一个值．比如

2.4.3 错解3的错误性质

由上面的分析可见，2个错误内容都属于逻辑性错误．

2.4.4 错解3的直接订正

正解4(数形结合)如图1，作出函数y=(a-1)x-1(直线)和y=x2-ax-1(抛物线)的图像，可知

(1)2个函数图像都过定点(0,-1).

(2)在x>0的右半平面上，绕定点(0,-1)旋转直线y=(a-1)x-1可以看到，2个函数图像或者同时不在x轴下方、或者同时不在x轴上方，满足条件的图形只能是：2个函数图像的另一交点在x轴上．即[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0对x>0恒成立的的充要条件是

从而

说明这里有一个双流向的“数形结合”，首先是“式子—函数—图像”一步步“由数到形”，等把图形看清楚了、想明白了，再“图形特征—函数性质—方程求解”一步步“由形到数”，是双流向的“数形结合”．这个解法的成功基于图像特征的洞察，关键是发现：2个函数图像或者同时不在x轴上方、或者同时不在x轴下方，从而三线共点．

的区域为图2中的阴影部分，当且仅当水平直线通过2个图像的交点时(三线共点)，整条射线(x>0)均落在阴影区域上．即[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0对x>0恒成立的充要条件是

从而

说明这里的双流向“数形结合”与正解4略有区别，首先是“式子—曲线—区域”一步步“由数到形”，然后是“图形特征—区域性质—方程求解”一步步“由形到数”．如果说正解4的图像需要作较多动态理解的话，那么，正解5的区域是较为静态的．

以上个人看法，盼同行们批评指正，最后，留一道练习题供自我检验．

练习题请分析本例的下述解法是否正确？如有错误，错在哪里？错误的性质是什么？如何订正？

解由[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，得

x2a2-x2(x+1)a+(x+1)2(x-1)≤0.

令f(a)=x2a2-x2(x+1)a+(x+1)2(x-1),因为当x>0时,x2>0，所以关于a的一元二次函数开口向上.要使在参数x>0的情况下均有f(a)≤0，只能是f(a)=0，因此判别式Δ=0，即

x2(x+1)2(x-2)2=0.

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[2] 孙海琴．不畏浮云遮望眼 深思熟虑子自如——2012年浙江省数学高考解题追踪调查研究[J]．中学教研(数学),2012(12)：37-39.

[3] 林怀传．接天莲叶无穷碧 映日荷花别样红——2012年浙江省数学高考创新题评析[J]．中学教研(数学),2012(8)：15-17.

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[6] 王剑明．探究演绎精彩，互动彰显魅力——2012年浙江省数学高考理科第17题课堂探究实录与思考[J]．数学教学通讯,2013(4)：26-27.

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