素环上的导子

王力梅，唐保祥

（天水师范学院数学与统计学院，甘肃 天水 741001）

1 引 言

有关极大右商环的定义见文献［1］。

设R是任意结合环，对于任意的x，y∈R，d是环R上的可加映射，若d（xy）＝d（x）y＋xd（y），则称d为环R上的导子。

设R是任意结合环，对于任意

a，b∈R，若aRb＝0，则a＝0或b＝0，则称环R为素环。

Posner的结果表明：若素环上有一个非零的中心化的导子，则此环是可交换的。后来许多人从不同的方面推广了这个结果，得到了丰富的结果［2－5］。本文给出了反导子的定义，进一步给出了导子以及反导子的几个性质

2 主要结果

定义1 设R是任意的结合环，d是环R上的可加映射，对于任意的x，y∈R，若d（xy）＝d（y）x＋yd（x），则称d为环R上的反导子。

引理1 设R是素环，Z是环R的中心，若0≠z∈Z，则z不是零因子。

证明 若存在0≠t∈Z，使得zt＝0，则zRt＝Rzt＝0，这与R是素环矛盾。

引理2 设d是素环R上的非零导子，0≠V是环R的右理想，则d（V）≠0。

证明 若对于任意的ν∈V，d（ν）＝0，则对于任意的r∈R，d（νr）＝d（ν）r＋νd（r）＝νd（r）＝0，由R是素环，可知d（r）＝0，这与d是素环R上的非零导子矛盾

引理3 设R是素环，0≠V⊆R是环R的右理想，且V是可交换的，那么R也是交换的。

证明 设ν，t∈V，r∈R，则［νr，t］＝ν［r，t］＋［ν，t］r＝ν［r，t］＝0，故［r，t］＝0，即r∈Z（V）⊆V，那么R也是交换的。

引理4 设R是素环，Z是环R的中心，0≠0，ac∈Z，那么a∈Z。

证明 对于任意的r∈R，r（ac）＝ （ac）r＝ （ar）c，即（ra－ar）c＝0，由引理1知ra－ar＝0，即a∈Z。

引理5 设R是素环，Z是环R的中心，d是素环R上的导子，则d（Z）⊆Z。

证明 对于任意的z∈Z，r∈R，d（zr）＝d（z）r＋zd（r）＝d（r）z＋rd（z），即d（z）r＝rd（z）。

引理6［6］设R是素环，如果对于任意的x∈R，都有axb＝bxa，这里a，b∈R，a≠0，那么存在λ∈C，使得b＝λa。

定理1 设R是非交换的素环，Z是环R的中心，0≠V是环R的右理想，d是素环R上的导子，若d（V）⊆Z，则d＝0。

证 明 设a，b∈V，则d（a），d（b），d（ab）∈Z，［d（ab），a］＝ ［d（a）b＋ad（b），a］＝ ［d（a）b，a］＋［ad（b），a］＝d（a）［b，a］＋ ［d（a），a］b＋a［d（b），a］＋ ［a，a］d（b）＝d（a）［b，a］＝0，由引理1知d（a）＝0或［b，a］＝0，即V＝G∪H，其中

G＝｛a∈V｜d（a）＝0｝，H＝｛a∈V｜a∈Z（V）｝，易知G，H都是加法子群，又由于任何群不能表示成两个真子群的并，故G＝V或H＝V.若H＝V则V可换，由引理3知，环R可换，故G＝V，由引理2知，d＝0。

定理2 设R是素环，d，g是R上的反导子，对于任意的x，y∈R，若

如果d≠0，那么存在λ∈C，使得g（x）＝λd（x）。

证明 在（1）中用yz代替y有，d（x）g（yz）＝g（x）d（yz）即d（x）g（z）y＋d（x）zg（y）＝g（x）d（z）y＋g（x）zd（y），由（1）

如果由引理6知，存在λ（x）∈C，使得g（x）＝λ（x）d（x），

由（2）知，对任意的y∈R，（λ（y）－λ（x））d（x）zd（y）＝0，

如果d（x）≠0，d（y）≠0，由于R是素环，故有λ（x）＝λ（y），

即g（x）＝λd（x）；

若d（x）＝0，由（2）有g（x）zd（y）＝0，由于d≠0，故有g（x）＝0，

g（x）＝λd（x）也成立，故对于任意的x∈R，g（x）＝λd（x）。

定理3 设R是素环，d，f，g，h是R上的反导子，且满足对于任意的x，y∈R，d（x）g（y）＝h（x）f（y），如果h≠0，f≠0，那么存在λ∈C，使得g（x）＝λf（x），h（x）＝λd（x）。

证明 在d（x）g（y）＝h（x）f（y）中，用zy代替y有，

d（x）（g（y）z＋yg（z））＝h（x）（f（y）z＋yf（z）），

又由d（x）g（y）＝h（x）f（y）可得，d（x）yg（z）＝h（x）yf（z），

上式中用yg（w）代替y，有d（x）yg（w）g（z）＝h（x）yg（w）f（z），

由d（x）yg（z）＝h（x）yf（z）可得，h（x）y（f（w）g（z）－g（w）f（z））＝0，

由于h≠0，故f（w）g（z）＝g（w）f（z），由定理2得，g（y）＝λf（y），

将上式带入d（x）yg（z）＝h（x）yf（z），有h（x）＝λd（x）

［1］Beidar K I，Martindale W SⅢ，Mikhalev AV.Rings with generalized identities［M］.New York-Basel-Hong Kong：Marcel Dekker Inc.，1995.

［2］Bell H E，Martinddale W S.Semi-derivations and commutativity in prime rings［J］.Canad Math Bull，1988，31：500-508.

［3］Bresar M，Vukman.On left derivations and related mappings［J］.Proc Amer Math Soc，1990，110：7-16.

［4］Chung L O，Lun J，On semi-commuting auto-morphisms of rings［J］.Canad Math Bull，1978，21：13-16.

［5］Bell H E，Martinddale W S.Centralizing mappings of semi-prime rings［J］.Canad Mathm Bull，1987，30：92-101.

［6］Bresar M.Centralizing mappings and derivations in prime rings［J］.J Algebra，1993，156：385-394.