基于APOS模型的中职数学二次曲线概念教学实践性探究

江苏 陆宪毅

1 问题背景

2009年教育部颁布了《中等职业学校数学教学大纲》（下称《新大纲》），大纲指出，数学课程的任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。新大纲的主要特点是：精选内容，降低难度，强化技能，突出应用；根据职业教育的特点，构建弹性教学内容结构；实施多元化评价，突出评价的激励作用。

二次曲线属于《新大纲》拓展模块第二单元的内容，大纲指出：本单元教学，要结合科技、生活中的实例来引入概念，培养学生的计算技能和数学思维能力。二次曲线作为拓展模块的内容，从历年来的教学情况看，学习难度大，学生对这部分内容的理解容易浮游在表象，难以把握其本质。因此，研究如何让中职学生顺利掌握二次曲线的内容，便显得尤为迫切和重要。

2 问题分析

二次曲线，也称之为圆锥曲线，主要包括椭圆，双曲线，抛物线，其是解析几何的核心内容，也是进一步学习解析几何所必备的基础知识。二次曲线的学习，首先要碰到的是对其概念的学习。

目前，大多数教师在二次曲线的引入方式上，一般依照教材给出的方法进行演示或直接给出概念的定义，教师多为课堂教学内容和教学过程的绝对掌控者，学生被动学习的较多，在概念的理解上较为困难，达不到预期的效果，给后续的教学带来了障碍和隐患。

目前，数学概念教学具有可操作性的研究成果主要有以下几种：概念同化教学模式、APOS概念教学理论模型、概念教学七阶段模式、概念图模式等。经过认真分析和比较，笔者基于APOS概念教学理论模型对中职数学二次曲线的概念教学做了实践性的探究，并着力解决下面3个问题。

问题一：什么是APOS概念教学理论模型？

问题二：APOS概念教学理论对中职数学二次曲线概念教学有何启示？

问题三：如何设计基于APOS模型的中职数学二次曲线的概念教学。

3 APOS概念教学理论模型

建构主义认为：学习是学习者主动建构内部心理表征的过程，学习是一个双向建构的活动过程，即一方面学习者对新信息的理解是借助已有经验，超越所提供的新信息而建构的，另一方面当新信息进入已有经验系统后，对已有经验系统也要产生影响，导致经验系统的重组和改造。

APOS理论是20世纪80年代美国的杜宾斯等人在建构主义背景下提出的关于概念教学的一种理论模型。杜宾斯认为学生学习数学概念的过程其实是一种自我心理建构的过程,在这个过程中学生只有调整自己的认知结构或改造外部的认知结构,使得主客观彼此一致，才能建构起新的认知结构。

此建构过程要经历以下四个阶段：操作（Action）阶段、过程（Process）阶段、对象（Object）阶段、概型（Scheme）阶段。为了便于描述，将这4个阶段英文单词的首字母组合在一起，简称APOS理论。

A阶段（操作阶段）：直观体验、观察比较阶段。一般以直观的图像、表格或具体事件作为概念切入点，并引导学生观察并枚举出类似事件，即通过对数学个体的一步一步的显性变换来增强其对概念的直观感受（如数平方变换等）。

P阶段（过程阶段）：思考内化、梳理规律阶段。学生对A阶段的事例进行进一步的观察、思考，梳理和归纳出事物间的一般联系和规律，并用数学语言加以描述。

O阶段（对象阶段）：形成对象、概念初成阶段。学生经历多次A阶段和P阶段后，通过不断的抽象和概括，得到形式化的定义和符号即对象（Object），说明概念已初成型。

S阶段（概型阶段）：抽象升华、图式形成阶段。包括形成反映概念的特例抽象、过程定义和符号。这需要通过反复的APOS，通过对概念的内涵和外延的不断深化和理解，才能进入更高层次的概型S，最终形成更成熟的、综合的心理图式。

APOS理论的优点在于清晰的层次性和可操作性。四个阶段中，AP两个阶段是概念学习的第一个层次，体现了事物的“量”的特性，要求学生在具体事例中发现规律，并且可以多次AP，为下一层次的到来做好充分准备。OS两个阶段是概念学习的第二个层次，体现了事物“质”的飞跃，学生对概念的理解已经脱离了具体的内容，形成符号化印迹和心理图式，既是本次APOS的成果，也是下一次APOS的新起点，体现了APOS的良性可循环性。由于APOS理论的清晰的层次性，使得概念教学的前期准备和实施过程也能有条不紊，有的放矢。APOS理论的层次性和可操作性为概念教学的提供了宝贵的理论和工具支撑。

4 APOS概念教学理论模型对中职数学二次曲线概念教学的启示

根据APOS理论的特点，中职数学二次曲线概念教学也应采取逐层渐进的方式，并以此为基础，有效提升二次曲线教学效果，操作要点和教学策略如下表：

表1 基于APOS理论的中职数学二次曲线概念教学操作要点和教学策略

5 基于APOS模型的“椭圆的概念”教学设计

椭圆属于《新大纲》拓展模块第2单元椭圆、双曲线、抛物线的内容。《新大纲》指出“第2单元椭圆、双曲线、抛物线”重点是要结合科技、生活中的实例来引入概念；培养学生的计算技能和数学思维能力；椭圆的标准方程和性质。结合大纲要求和学生观实际情况，将本节内容设计如下：

A阶段（操作阶段）：

A1（操作1）用多媒体重复演示椭圆的实例图片（汽车油罐横截面轮廓、行星和卫星运行的轨道、倾斜水杯中水面的边界、圆形物体的斜投影等），引导学生观察图片，积极思考，寻找特点，找出其中都包含的典型图形（椭圆），并鼓励学生自己组织语言进行大概的描述。

A2（操作2）鼓励学生列举生活中包含椭圆的具体事例，加深其对椭圆的直观感受。

A3（操作3）教师演示图钉法作椭圆。即取两只图钉把它钉在黑板上，取一条定长的绳子并把它的两端固定在这两个钉子上（绳长的长度要大于两钉子间的距离），然后用一只粉笔把绳子绷紧，在黑板上移动一周画出来的图形，就是椭圆。引导学生仔细观察椭圆生成过程。

A4（操作4）将班级学生每三人分成一组，并用事先准备好的三只铅笔、白纸、绳子，要求模仿老师的做法，完成椭圆的制作。个别小组如果无法掌握诀窍，教师可作友情提醒：两个学生用两只铅笔的笔尖固定住绳子的两端，起到图钉的效果，第三个学生模仿老师的做法作椭圆。

设计意图：由学生熟悉的生活情境入手，激发学生学习兴趣，为下一步把握椭圆的图形特点，做好心理上的准备；并通过力所能及的学画椭圆的过程，直观体会椭圆的特性。

P阶段（过程阶段）：

P1（过程1）若改变两个“图钉”的相对位置，重新生成的椭圆的形状与原来相比是否有变化？

P2（过程2）若改变绳长，重新生成的椭圆的形状与原来相比是否有变化？

P3（过程3）若对两个“图钉”的相对位置和绳长不加限制，肯定可以画出椭圆吗？

设计意图：让学生在不断的实践中，定性的认识影响椭圆形状的两个重要的原始参数：定长（绳长）和焦距（图钉距离），并指导学生运用数学语言和符号表述为：定长为2a，焦距为2c，且2a必须大于2c。

P4（过程4）在综合以上3个问题的基础上，组织学生就“如何画好椭圆”这个问题进行分组讨论，帮助学生梳理和总结作椭圆的诀窍：

（1）在作图过程中，“图钉”相对位置不能动。（定点）

（2）绳子的长度必须比两个“钉子”的距离长。（2a>2c）

（3）在作图过程中，绳长不能变。(定长)

设计意图：引导学生把握椭圆上各点的共性：平面内动点到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离），为下一阶段推导椭圆标准方程作好准备。

O阶段（对象阶段）：

O1（对象1）以前我们学过的圆方程是怎样得到的？圆方程的数学表达式是怎样的？

O2（对象2）可否参照圆方程的建立过程，推导出椭圆标准方程？

设计意图：帮助学生从已有的知识入手，在类比中模仿圆方程的推导，建立合适的直角坐标系，并利用距离公式得到关键推导等式[(x+c)2+y2]1/2+[(x-c)2+y2]1/2=2a，化简得到椭圆标准方程：x2/a2+y2/b2=1（其中b2=a2-c2）。此处推导以学生为主，教师起点拨和提醒作用，使得学生对椭圆的概念由于椭圆方程的建立而趋于完整，为今后椭圆与直线的位置关系的分析打下良性铺垫和必备伏笔。

O3（对象3）椭圆方程中参数a和参数b在椭圆图形中各有何意义？

设计意图：帮助学生理解参数a的重要意义（椭圆长半轴长）和参数b的重要意义（椭圆短半轴长），从另外一个角度说明椭圆的形状的确定规则，使学生对椭圆概念的理解更深入和完善。

S阶段（概型阶段）：

S1（概型1）指导学生用几何画板完成“两圆交轨法”、“同心圆法”作椭圆。

设计意图：充分运用多媒体，让学生在不断操作中，提高观察，概括、归纳能力。再次固化“平面内动点到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）”这个椭圆的重要概念，继续深化对椭圆第一定义的认识。

S2（概型2）介绍折纸法、矩形等画法、吉米拉·丹迪林双球法作椭圆。

设计意图：帮助学生探究椭圆第二定义，使学生进一步在更完整体系中掌握椭圆的概念。

S3（概型3）2000多年前，古希腊伟大的古希腊数学家Apollonius用斜截圆柱法得到了椭圆，我们也来尝试一下！

S4（概型4）斜截圆柱法是否仅仅能得到椭圆？

S5（概型5）我们已经知道，平面内动点到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）点的轨迹叫做椭圆。请课后查阅资料，回答下列问题。

（1）平面内动点到两定点距离之差的绝对值等于定长（定长小于两定点间距离）的轨迹是什么？

（2）平面内动点到两定点距离之积等于常数的轨迹是什么？

（3）平面内动点到两定点距离之商等于常数的轨迹是什么？

设计意图：通过介绍椭圆的发现史来拓展学生的知识面，更以椭圆为基础，激发兴趣，发散思维，为双曲线和抛物线的学习打下巧妙铺垫。

基于APOS模型的概念教学，将学生对于数学概念的理解有效分解到操作（Action）、过程（Process）、对象（Object）、概型（Scheme）四个不同的阶段，并设计为一个可不断循环、螺旋式上升的逻辑整体，有效达成了学习的双向建构。基于APOS模型的二次曲线的概念教学，以生活中的实际情景和实际问题为引，将概念的形成过程主动“暴露”给学生，让学生层进式的建构自己的“二次曲线”，在很大程度上加深了学生对概念理解的深度和广度，授人以鱼，不如授人以渔，自建概念的过程是“痛并快乐着”的过程，必将让学生一生受益。

[1]中等职业学校数学教学大纲.教育部.2009;1-8.

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