浅谈数学方法在物理解题中的应用

姜冬侠

摘 要：在新课标高考物理考试大纲中，要求考查学生五个方面的能力，即理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力、实验能力。关于应用数学处理物理问题的能力，在多年的高中物理教学经验中，总结了几种数学方法在物理解题中的应用，并且举例谈了多种常见数学方法在物理解题中的应用。

关键词：物理问题；数学方法；数学图象；三角函数

新课标物理高考考试大纲对能力的考查有五项，即理解能

力、推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力、实验能力。从物理高考大纲中可以看出，要求考查学生多方面的能力，其中一项就是应用数学处理物理问题的能力。经过多年的教学经历，我发现数学方法在物理解题中有着广泛的应用，笔者借此进行详谈：

一、利用抛物线知识求解直线运动中的追及相遇问题

例1.汽车前面7 m处有一骑自行车的人以5 m/s的速度行

驶，汽车速度为10 m/s，此时此地，发现交叉路口的红灯亮了，汽车和自行车分别以4 m/s和2 m/s的加速同时减速，问：①汽车能否撞着自行车？②若撞着，在什么地方？若撞不着，相距的最短距离是多少？

解析：①用s1表示汽车t时间内的位移，用s2表示自行车t

时间内的位移，用d表示两者之间的距离。先写出汽车和自行车各自的位移公式，再写出距离的表达式，即：s1=10t-2t2，s2=5t-t2，所以d=s2+7-s1=t2-5t+7，由此方程d=t2-5t+7可以得知它的判别式

Δ=b2-4ac=（-5）2-4×1×7=-3<0，说明t无解，表示的物理意义是两者追不上。

②方程d=t2-5t+7表示抛物线方程，又因为方程d=t2-5t+7中

的t2的系数是正值，所以抛物线开口向上，而且开口向上的抛物线有一个处于最低位置的顶点，再利用抛物线顶点的坐标公式

（-■，■），就可以求出距离的最小值d=■=0.75 m，同时还可以求出距离最短时经过的时间t=-■=2.5 s。如果抛物线方程的开口向下，则表示物体间会出现距离的最大值，当然利用抛物线的顶点坐标公式也就可以求出在什么时候两者之间距离最远。

二、利用数学不等式a+b≥2■（a>0，b>0），求解物理中的极值问题，存在两种情况

1.由公式a+b≥2■可知，在两数乘积为定值的情况下，当两数相等时，它们的和有最小值。

例2.如图1所示，电源的电动势为E，内阻为r，R为串联在电路中的滑动变阻器的电阻，当滑片移动时，什么时候电源的输出功率最大？

解析：电源的输出功率即外电路上所消耗的功率，计算式为P=I2R=（■）2R=■=■，根据此式可知，R和■两数乘积为定值r2，所以，当R=■即R=r时，R+■有最小值，分母有最小值，故电源的输出功率有最大值，而且最大值等于Pm=■。换句话说，当外电路的电阻等于电源内阻时，电源的输出功率最大。

2.由不等式a+b≥2■（a>0，b>0）变形可得到，ab≤（■）2，

那么，在两数和为定值的情况下，当两数相等时，它们的乘积有最大值。

例3.把一电量Q分为q和Q-q的两部分，使它们相距一定距离，若想使它们之间有最大的斥力，则Q和q的关系如何？

解析：由库仑定律公式F=k■可知，两电荷之间的库仑力与它们电量的乘积成正比，要想F有最大值，也就是让q（Q-q）有最大值；又因q与（Q-q）两数和为定值Q，当两数相等时，即q（Q-q）或q=■时，q（Q-q）乘积有最大值，F有最大值。所以说，当它们之间有最大斥力时，Q和q的关系为q=■。

三、利用数学相似三角形知识求解物理习题

例4.如图2所示，光滑半圆柱面，其中心轴线过O点与地面平行，在O点的正上方有一个不计摩擦的小定滑轮Q，跨过Q的一条轻绳，一端连在小球P上，当另一端在F作用下使小球沿柱面缓慢上升时，设绳中拉力大小为T，小球重力为G，小球受柱面支持力大小为N，同时圆柱的半径为R，滑轮到圆柱顶部的距离为h，Q与P之间的绳长为L，求①拉力T和支持力N；②在上升过程中，拉力T和支持力N怎样变化？

解析：①图2中两个三角形相似，根据对应边的比例相等，可以得出■=■=■，所以N=■R，T=■L；

②当小球上升时，绳长变短即L变小，所以拉力T变小，而支持力N不变。

四、数学图象在物理中的广泛应用

1.运动学中的速度-时间图象（即v-t图象），图象与横轴所包围的面积可以代替物体的位移。

例5.一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙

地，汽车先做匀加速运动，接着做匀减速运动，开到乙地刚好停止。其速度图象如图3所示，那么0～t0和t0～3t0两段时间内位移的比值是多少？

解析：根据面积代表位移的原理，由图3可以算出两个三角形的面积之比为1∶2，所以两段时间内位移的比值也是1∶2。

②匀变速直线运动的v-t图象是一条直线，直线的斜率则表示物体的加速度。通过斜率的大小可以判断物体加速度的大小关系。

③解析：根据v-t图象的斜率表示物体加速度的原理，可以得到图3中的a1>a2。

五、数学三角函数知识在物理解题中的应用

数学三角函数知识在矢量的合成与分解中广泛应用，尤其是在力的合成与分解中应用广泛。

例6.如图4所示，倾角为θ的斜面上静止了一个质量为m的物体，求斜面对物体的支持力FN和摩擦力Ff各是多少。

解析：把重力进行正交分解，如图4所示，在直角三角形中，利用三角函数知识可以得到，重力的两个分力大小分别为G1=mgsinθ，G2=mgcosθ再根据平衡条件可以得到支持力FN=mgcosθ，而摩擦力Ff=mgsinθ。

以上是几种数学知识在物理解题中的简单应用，当然还会有更多的数学方法广泛地应用在物理解题中。在物理解题中，巧妙地选用解题方法，往往会收到事半功倍的效果，而且用数学知识解决物理问题，经常会收到这种事半功倍的效果。所以，在物理教学中，教师应该更加注重培养学生的这种用数学知识解决物理问题的能力。

（作者单位 天津市滨海新区大港油田第三中学）