用八进制解课本的一道数列题

陈保军

人教版必修5第34页有一道数列题：下图中的三个正方形

块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，请写出这个数列的前5项及其通项公式。

通过观察图像特点

■

相邻的两项有如下的关系：an=8an-1+1（n≥2）（1）

求该数列的通项公式时，我们习惯用构造数列的方法来解。设an+x是公比为8的等比数列，则有an+x=8（an-1+x），整理得：an=8an-1+7x，与（1）式比较得x=■，新数列的首项为a1+x=■，构造数列的通项公式为an+■=■×8n-1，所以，an=■。

除了上述解法，我们来探索一种新的解法。通过（1）式的特点，我们是不是可以用八进制来表示该数列呢？首先让我们来熟悉一下八进制及其简单运算性质。

八进制缩写OCT或O，是一种计数法，采用0，1，2，3，4，5，6，7八个数码，逢八进位。以下用（）8表示八进制数，没有标识的为十进制数。例如：9在八进制中记为（11）8，8记为（10）8，（32）8=3×81+2×80=26，9×8=（11）8×（10）8=（110）8，（111）8×7=（777）8，（1000）8=1×83。

我们来用八进制来表示该数列的每一项，

a1=1=（1）8，

a2=8×a1+1=（1）8×（10）8+1=（11）8，

a3=8×a2+1=（11）8×（10）8+1=（111）8，

（上式特点a3共三位，每一位都为1）

an=8×an-1+1=■8×（10）8+1=■8，

下来我们探讨一下求解的方法，我们知道十进制中逢十进一，999+1=1000=103，类比十进制，■8+1=■8=8n，■8=

8n-1。

an=■8=■×■8=■，

接下来对（1）式稍作变动，进一步理解利用八进制解决类似的数列问题。

（2）式a1=1

an=8an-1+2

（3）式a1=2

an=8an-1+1

先用八进制表达（2）式数列

a1=1=（1）8，

a2=8×a1+2=（1）8×（10）8+2=（12）8，

a3=8×a2+2=（12）8×（10）8+2=（122）8，

a4=8×a3+2=（122）8×（10）8+2=（1222）8，

（上式特点a4共四位，首位为1，2占3位）

an=8×an-1+2=■8×（10）8+2=■8=■8

再利用八进制求解，

an=■8=■8+■8=8n-1+■×（8n-1-1）=■

对（3）式的求解，请有兴趣的读者自己写一写，这里不再

赘述。

本题的递归思想在其他领域中又有何意义呢？

它提供我们一种近似求不规则物体体积的方法。想象一个立方体，我们最少可以切成多少个相同等分的小立方体呢？答案是8个。对于一个物体，我们总可以将它封装在一个正方体中，先切成八个小立方体，不妨称为子块。子块分三类，不含任何物体的子块称为“白块”，子块部分中含有物体的称为“灰块”，完全含有物体的子块称为“黑块”。对于每次分割子块，我们作如下处理：排除掉白块，将黑块体积累加，灰块继续切成8个的小立方体……，如此下去。利用计算机，按照这种思路，我们设定一个体积数，低于该体积值，就停止计算。这样我们就能近似计算物体的体积了。同样，按照这种思路，我们四等分正方形，就可以近似计算不规则图形的面积了。同样，在计算机领域内的八叉树等数据结构，都与八进制有关，请有兴趣的读者自己研究。

（作者单位 河北省保定市铁路第一中学）