一类半线性椭圆型耦合方程组全局解的存在性和不存在性

高 黎

（中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛266100）

本文考虑一类半线性椭圆型耦合方程组

其中：N≥3；p（x）和q（x）是RN上的非负连续函数；fi和gi（i＝1，2）是［0，∞）上单调不减的连续函数，且满足如下条件：

方程组（1）描述许多物理现象，比如在非线性光学的应用中双折射光纤、光折变介质中脉冲的传播等等［1－2］。由于非线性椭圆型方程（组）中局部解的存在性不一定能够保证全局解的存在性，从而使全局解的存在性问题成为国内外许多学者关注的热点。

对于单个方程的情形，Keller［3］和 Osserman［4］于1957年首次提出方程Δu＝f（u）在正则有界区域Ω下，当f满足（H1）时，存在大解的充要条件为

对于方程组而言，当方程组（1）不含加权系数p和q，且f2＝g1≡1，f1（v）＝vα，g2（u）＝uβ，α＞0，β＞0时，文献［8］证明了，当αβ＞1时，方程组（1）在有界区域Ω下存在大解。当f1（v）＝vα1，f2（u）＝uα2，g1（v）＝vβ1，g2（u）＝uβ2，其中α1＞0，β2＞0，α2＞1，β1＞1时，文献［9］证明了，当α1＜β1－1，β2＜α2－1时，方程组（1）在有界区域Ω下存在大解。当方程组（1）带加权系数p（x）＝p（｜x｜）和q（x）＝q（｜x｜），且f2＝g1≡1，f1（v）＝vα，g2（u）＝uβ，0＜α≤β＜1时，文献［10］研究了在整个RN空间上径向全局解的存在性问题，证明了当函数函数p，q∈C（RN），满足∫∞0tp（t）dt时，方程组（1）存在径向有界全局解；而 当 p，q ∈ C（RN），满 足）时，方程组（1存在径向整大解。对于一般非线性项形式的耦合方程组，文献［11］同样给出了方程组（1）存在径向有界全局解和径向整大解的充分条件，其研究结果后来被推广到完全非线性项为变量分离形式的耦合方程组［12］。据查阅文献发现，大多数学者侧重于对方程组径向解的研究，仅有少数文献涉及到方程组的非径向解。受此启发，本文将讨论带加权系数且完全非线性项为变量分离形式的半线性椭圆型耦合方程组，首先利用上下解方法证明方程组存在非径向有界全局解，对于径向情形得到方程组径向整大解的不存在性结果。

致谢：在该论文的写作过程中，始终得到了朴大雄教授的悉心指导，在此，谨向朴老师致以崇高的敬意和真挚的感谢。

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