三体量子系统态的可分离性判据

李嫦娥，陶元红，丁巍巍

（延边大学理学院 数学系，吉林 延吉 133002）

0 引言

量子纠缠现象被视为一种重要的物理资源.量子纠缠广泛应用于量子处理，如量子计算、量子编码、量子隐形传态等[1］.关于纠缠态的数学结构和物理特性还没有被完全了解.近年来，关于判断纠缠态可分判据见文献[2-11］.笔者给出三体量子系统密度矩阵所在线性空间的Hamel基，以及三体量子系统密度矩阵的表示形式，并提出三体量子系统密度矩阵可分离的一个判据.

1 预备知识

一个独立的R维Hilbert空间上的厄米特算子总可以由单位算子I和特殊酉群SU（R）的生成元表示[2］.SU（R）的生成元可以用R×R阵初等矩阵构造，其中，为k行j列为1，其余元素为0的矩阵[2］.SU（R）群的一组典型生成元共有R2-1个，它们是迹为0的R×R阶矩阵，不妨设为.这R2-1个典型生成元与R×R 阶单位算子I一起构成线性空间MR（C）的一个完备的厄米特算子基

引理1.1[9］设SU（R）群的R2-1个独立生成元为｛λi｜i＝1，2，…，R2-1｝，则

引理1.2[7］设单粒子量子态空间维数为R，ρ可以表示为，其中均为实数，且满足

由于任意量子系统的密度算子都是半正定的厄米特算子，所以密度算子也可以由特殊酉群SU（R）的生成元和单位算子表示.

定义1.1 若三体量子系统A，B，C的量子态用密度矩阵ρABC描述，且，其中分别为系统A，B，C的密度矩阵，则称可分；否则，称为纠缠.

设T为任意矩阵，TT表示矩阵的T转置，T＋表示矩阵T的转置共轭，取T的Frobenius范数为

2 主要结论

首先研究三体量子系统密度矩阵所在线性空间的Hamel基，其次讨论三体量子系统密度矩阵的表示形式，最后给出三体量子系统密度矩阵可分离的一个必要条件.

定理2.1 设三体量子系统A，B，C的空间维数分别为R1，R2，R3，则由矩阵组成的集合S是线性无关的，并构成线性空间的一个 Hamel基.

证明：为了证明集合S是线性无关的，先设

故（1）式可变为

因此有

因此得

由上述定理容易得到密度矩阵的表示形式.

其中，实系数为

给出三体量子系统密度矩阵的一个可分离判据.

对比式（5）与定理2.2式子的系数可得

不妨设

则由引理1.2和迹范数的凸性可知

为了验证定理2.3的正确性，首先考虑Werner量子态.设Werner量子态的密度矩阵为ρ1，且

其中0≤p≤1.由文献[4］可知，对于 Werner态ρ1，当时，ρ1是可分的.

证明：量子态ρ的矩阵形式为

则由定理2.3得Γρ的形式为

故定理2.3得到验证.

3 结束语

首先，利用SU（R）群的R2-1个独立生成元和单粒子量子态的表示形式，给出三体量子系统密度矩阵所在线性空间的Hamel基，以及三体量子系统密度矩阵的表示形式.其次，利用量子态表示形式中的表示系数，构造表示系数矩阵.在此基础上，证明对任意三体量子系统密度矩阵ρABC，若ρABC是可分的，则其表示系数矩阵的Frobenius范数不超过1；若其表示系数矩阵的Frobenius范数大于1，则ρABC是纠缠的.最后，利用经典的Werner量子态，构造能够例证文中定理和推论的例子.

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