Bargmann约束下一个新的有限维可积系统

李章，张金顺

（华侨大学 数学科学学院，福建 泉州362021）

有限维可积系统一直是人们感兴趣的研究课题.特征值问题的非线性化方法沟通了有限维可积系统与无限维可积系统之间的联系，是构造有限维可积系统的重要途径［1-4］.本文通过引入映射，导出递推算子和孤立子方程族.在Bargmann约束下，将Lax非线性化为有限维Hamilton系统，并利用母函数方法导出对合的守恒积分.

1 Lenard算子与对孤子方程族

考虑2×2特征值问题，即

定义一个线性映射［5］σλ∶C3→sl（2，C），即

则U＝σλ（u，v，1）T.

令V＝σλ（G），G∈C3，则

式（3）中：K，J为Lenard的算子对，即

命题1 矩阵V＝σλ（G）满足Lax方程Vx-［U，V］＝0的充分必要条件是：Kgj＝Jgj+1，Jg-1＝0，其中：j＝-1，0，1，….

利用命题1，可以计算出Lenard序列｛gj｝和向量场｛Xj｝，即

特别地，当N＝1，2时，由式（8），分别可得孤立子方程为

Lax对为

2 Bargmann系统

令φ＝（φ1，φ2）T是方程（1）的一个解，定义一个映射［5］τλ∶C2→C3为

则τλ（φ）满足方程

设λj（j＝1，2，…，N）为方程（1）的N个互异特征值，对应的特征函数满足方程

其映射定义为

式（13）中：qk＝φk2，pk＝φk1.由式（13），可得到一个Lax阵，即

证明 通过式（3），（11）即可证明.

引入Bargmann约束

式（15）中：p≡（p1，…，pN）T；q≡（q1，…，qN）T；Λ＝diag（λ1，…，λN）.

则特征值问题（1）被非线性化为N维Hamilton系统，即

证明 利用A，B∈sl（2，C）的特殊性质，及Lax方程Ax＝［A，B］，直接计算可证.

将母函数F（λ）展开为λ的洛朗级数，得到

［1］ 曹策问.AKNS族的Lax方程组的非线性化［J］.中国科学：A辑，1989，32（7）：701-707.

［2］ 杜殿楼.产生有限维可积系统的一个新途径［J］.郑州大学学报：自然科学版，1997，29（1）：1-7.

［3］ CAO Ce-wen，GENG Xian-guo.Classical integrable systems generated through nonlinearization of eigenvalue problems Nonlinear［C］∥Research Reports in Physics.Berlin：Springer，1989：68-78.

［4］ CAO Ce-wen，WU Yong-tang，GENG Xian-guo.Relation between the Kadometsev-Petviashvili equation and the confocal involutive system［J］.J Math Phys，1998，40（8）：3948-3970.

［5］ WU Yong-tang，ZHANG Jin-shun.Quasi-periodic solution of a new （2+1）-dimensional coupled soliton equation［J］.J Phys A：Math Gen，2001，34（1）：193-210.