多信号模态参数识别的小波方法

潘学萍，扈卫卫，尚 霏

（河海大学 可再生能源发电技术教育部工程研究中心，江苏 南京 210098）

0 引言

低频振荡是当代电力大系统所面临的主要风险之一。历数国内外多次大停电事故，它们或直接跟低频振荡有关，或在大停电演化的某个阶段出现低频振荡现象[1]。在国内外，低频振荡问题严重影响了电力系统的安全稳定运行，研究电力系统低频振荡在线监控尤为必要[2-3]。

随着相量测量单元（PMU）的广泛应用，可获得同一时标的电力系统实测数据[4]。基于轨线的模式参数提取，是将系统受扰轨迹视为某些频率、振幅按特定规律变化的信号组合，振荡模式提取问题归结为对轨线上频率与阻尼等参数的识别问题。

目前采用信号处理方法识别电力系统的振荡模式时，通常基于单一受扰轨线。当该受扰轨线对待辨识模式的可观性较小时，辨识结果可能存在较大的误差。为此文献[5]提出采用Prony方法，同时从多个受扰轨迹识别系统的模式参数，以提高模式参数的辨识精度。Prony方法主要有两方面的缺点。

a.阶数的选取问题。阶数过低容易导致某些振荡模式无法被识别，而过高则引入大量的杂散模式[6]。 为此文献[7]提出先选取较大的初始阶数，再从中按照最小平方逼近的原则选取最优子集；文献[8]提出采用奇异值分解确定阶数。

b.噪声的预处理问题。传统Prony方法对噪声非常敏感，要求被分析信号具有较高的信噪比。为减小噪声对低频振荡主导模式的识别带来的影响，文献[9]提出了改进多信号的Prony算法。

小波变换可根据小波脊线获得系统的主导振荡频率，其频率辨识的准确度一般较高，且抗噪能力强。近年来，已有小波方法应用于电力系统低频振荡实时监控平台的报道[10-11]，但一般只应用于单信号的模式识别。

不同测量地点、不同量测量对待辨识模式的可观程度不同。文献[5]基于多个受扰轨线提取振荡模式时，未能区分不同受扰轨线对待辨识模式的可观程度。当某轨线对待辨识模式不可观或者可观性较小时，该模式将不可辨识或者辨识结果存在较大的误差。为此，本文提出采用小波变换，根据小波脊线处的小波系数幅值判断其对待辨识模式的可观程度，舍去可观性较小的信号，进一步采用优化方法协调从剩余信号提取出的模式参数，以提高辨识精度。

电力系统低频振荡的特征参数包括振荡模式（频率与阻尼）和模态。为识别受扰轨线的模态参数，文献[12]应用Prony方法分析大扰动下的模态信息；文献[13-15]采用谱相关函数方法得到系统在负荷随机扰动下的模态参数。针对振荡频率接近的模式，其模态信息难以区分的问题，文献[16]提出了一套振荡模式分类系统，通过特征选择和模式分类2个部分，可成功区分系统的几个主要模式的模态。

将多信号同时进行小波变换时，还能从多个信号中获得系统的振荡模态信息，它对明确振荡模式的分群方式、指导控制器的设计与安装地点的选择等具有重要的意义。本文进一步根据这些信号在小波脊点处的小波系数，辨识多个信号间的模态。

1 小波变换提取单个信号的模式参数

1.1 连续小波变换

设待分析信号x（t）平方可积，其连续小波变换定义为：

其中，ψ（t）为小波母函数；*表示复数共轭；a为尺度因子；b为平移因子。

小波变换通过变化的尺度因子a及平移因子b，将母函数ψ（t）伸缩及平移，从而生成连续小波函数），将信号x（t）分解到具有不同分辨率的尺度上。式（1）也可表示为：

其中，X（ω）和 ψ*（aω）分别为信号 x（t）和）的频域表示。

文中采用Morlet小波，其母函数为：

其中，ω0为小波中心频率。

Morlet小波的傅里叶变换为：

1.2 单模式信号的小波模式参数识别

单模式信号 x（t）=A e-σtsin（ωt+φ0），A 为信号模式幅值，σ为阻尼，φ0为初相位。

根据文献[17]，信号 x（t）的 Morlet小波变换表达式为：

其中，ω（b）为b时刻的ω值；ε为校正项，一般较小，可忽略。

在 a=ω0／ω 处，达到最大值，此时也达到极值，时频点（b，ω0／a）称为小波脊点。

根据小波脊点信息可得信号的振荡角频率：

根据脊点处的小波系数幅值可得信号的阻尼：

其中，d为微分算子。

1.3 多模式信号的小波模式参数识别

若受扰轨线xk（t）为多模式信号：

其中，Akj、σj、ωj、θ0kj分别为第 j个模式的幅值、阻尼、振荡角频率及初相。

由于小波变换是线性变换，则xk（t）的小波系数W（a，b）为[17]：

如果xk（t）中各模式频率相差较大，对于第j阶模态，在脊点（b，ωj（b））可忽略其他模式的影响，脊点（b，ωj（b））的小波系数近似为：

由于实现了模态解耦，按照式（7）、（8）可识别第j个模式在时刻b的振荡角频率ωj和阻尼σj：

2 小波模式的多信号优化

如果受扰轨线为平稳信号，不同受扰轨线的模式参数理论上应相同。然而，由于实际电力系统的非线性导致受扰轨线非平稳，从多个信号中辨识得到的小波模式结果往往存在一定的差异。本文采用最小二乘优化方法，协调多个信号的模式参数，将其作为系统振荡模式的最终辨识值。

2.1 频率和阻尼参数的优化

对于第j个模式，设m个待辨识信号中有n个信号[x1（t），x2（t），…，xn（t）]在振荡角频率 ωj附近存在小波脊，振荡角频率在多信号间的协调见式（14）：

此处：

此处：

2.2 振荡模态的辨识与优化

n个信号[x1（t），x2（t），…，xn（t）]在模式频率处的小波系数分别为：

因此复向量

定义为时刻b处各信号相对于参考信号的模值比和相角差（即模态）。协调各时刻的模态参数，见式（21）：

此处：

2.3 模态参数的辨识区间

阻尼较大的模式能量衰减较快，它在信号初期的可观性较强；相反，弱阻尼模式能量衰减慢，在信号后期其能量占主导。由于待辨识模式在各信号中的初始能量不同，其能量衰减至零的时刻也不同。为有效辨识系统的模态参数，当待辨识模式在某信号中的能量首先衰减接近于零时，应在此刻终止模态参数辨识。

由于端点效应的存在，小波方法在信号初期及信号末端的小波系数模值偏小，利用这段信号辨识振荡阻尼及模态将产生较大的误差。文献[17]中给出了考虑端点效应后小波模态参数有效辨识区间：

其中，Δt为时域分辨率，Δt=a rt，a 为小波函数的尺度，rt为小波母函数的时窗半径；T为信号长度。文献[17]指出，β≥4可消除端点效应的影响。

综合模式辨识截止时间约束及小波端点效应约束。根据两约束的交集，在多信号阻尼及模态参数协调时，确定相同的参数识别区间Ωj。

3 仿真算例

3.1 4机2区域系统算例

4机2区域系统如图1所示，网络参数以及发电机参数与文献[17]相同。其中发电机采用双轴模型，配有静止励磁调节器及电力系统稳定器（PSS）。

图1 4机2区域系统算例Fig.1 A 2-area 4-machine system

故障设置为t=0 s时线路8-9首端发生三相瞬时性故障，在tc=0.5 s故障消失，总仿真时间为20 s。仿真得到每台发电机的功角曲线（以同步坐标为参考），消除曲线的趋势项后各发电机功角曲线见图2。

图2 消除趋势项后的功角曲线Fig.2 Power-angle curve after de-trending

采用小波方法辨识得到各轨线的模式，进一步在多轨线协调以获得主导模式的频率与阻尼以及以发电机3的功角曲线为参考信号的模态结果。表1对照给出了模态参数优化结果及特征根结果。

表1 模态参数辨识结果与特征根结果Tab.1 Results of modal parameter identification and characteristic roots

由表1可以看出，基于多信号优化的小波主导模态参数结果与特征根较吻合，反映了多信号小波模态参数辨识方法的有效性。

3.2 10机39节点新英格兰系统

进一步以图3所示的10机39节点新英格兰系统为例。在原IEEE 10机39节点标准算例的模型及参数基础上，笔者将原发电机经典模型改用双轴模型，并增设励磁调节器。

根据特征根结果可知，该系统的主导区间模式1为机组G39相对于其余机组的振荡，振荡频率为0.534 Hz，阻尼为0.288，由右特征向量可知该模式在所有发电机功角曲线上可观程度都较高；区间模式2 为机组（G30，G37，G38）与其余机组相对振荡，振荡频率为0.935 Hz，阻尼为0.177。该模式在部分机组如G34、G38参与程度较高，而机组G39因位于该模式的振荡中心，几乎不参与该模式的振荡。上述2种模式亦在图3中示意。

图3 10机39节点新英格兰系统Fig.3 10-machine 39-bus New England system

扰动设置为0 s时刻母线39发生三相瞬时性故障，0.2 s后切除消失，总仿真时间为20 s，仿真得到以同步坐标为参考的各发电机功角曲线，消除曲线趋势项后，基于小波变换获得各受扰轨线的小波谱。部分轨线 δ34、δ38、δ39的小波谱见图 4。

从图4可知，模式1在上述3条轨线上的可观程度都较高；模式2在轨线δ39不可观，与特征根结果相同。

图4 部分受扰轨线的小波谱Fig.4 Wavelet spectrum of some disturbed trajectories

表2给出了各信号的小波模式结果以及所有发电机功角曲线的模式优化结果。

表2 模式辨识结果与特征根结果Tab.2 Results of mode identification and characteristic roots

从表2可见，模式1在轨线δ30～δ39可观性较强，各轨线的小波模式结果、多信号的模式优化结果以及特征根都很接近；而对于模式2，在信号δ31、δ32及δ39能量较弱，无法提取其模式信息，在其余各轨线上提取的频率、阻尼信息与特征根结果有一定的差别，将各信号模式结果进行协调后，所得结果与特征根差别较小。因此采用多信号小波变换的优点在于能够剔除可观性较弱的信号，并能将多个信号的模式结果优化，获得较接近真值的模式／模态信息。

根据表2辨识得到的2个模式的优化振荡频率，基于式（19）获得2个模式的模态，如图5所示。

图5可以看出，模式1为机组G39相对于其余机组间的振荡；模式 2 为机组（G30，G37，G38）相对于其余机组的振荡，机组G31、G32、G39由于参与该模式的能量较小，在图5（b）的模态图中无法给出。由于机组G30参与模式2的能量偏弱，其模态角度误差偏大，但不影响模态2的定性判别。

图5 小波模态Fig.5 Modal shapes from wavelet transform

4 结论

针对单一信号提取模式参数可能存在误差偏大的问题，本文提出采用小波变换，根据小波脊线处的小波系数幅值判断其对待辨识模式的可观程度，舍去其中可观性较小的信号，并采用优化方法协调从剩余信号提取出的模式参数，以提高辨识精度。

本文还提出了根据各信号在小波脊线处的小波系数，辨识系统的振荡模态参数。由于待辨识模式在各信号中能量衰减为零的时刻不同，为便于模态分析，提出在统一的辨识区间辨识系统的模式参数。

4机2区域系统算例表明，在受扰轨线对主导模式的可观性较高时，本文方法可准确获得系统的模式／模态参数。通过10机39节点新英格兰仿真算例可知，本文方法对主导模式的频率、阻尼及模态参数的辨识准确性较高；同单个信号的辨识精度相比，采用多信号可提高局部模式的辨识精度。

当信号数量较多时，为使得振荡的在线监控成为可能，可采用双层监控的思路。底层监控中心根据就地PMU实测轨线，并行提取各信号的振荡模式信息；上层监控中心根据底层提供的模式信息，采用协调优化获得区域振荡模式信息。针对可能出现的弱阻尼／负阻尼模式，进一步提取其振荡模态，为控制手段的施加做准备。该“就地分析、协调优化”的思路可以快速从大量PMU数据中获得区域振荡模式、模态信息，为互联电力大系统的振荡实时监控提供了可行方案。