基于非凸稳定区域的广域阻尼鲁棒控制策略

马 静，王 彤，王增平，杨奇逊

（华北电力大学 新能源电力系统国家重点实验室，北京 102206）

0 引言

区间振荡多存在于联系较薄弱的互联电力系统中，波及范围广，持续时间长，且难以利用局部信息加以抑制[1]，已成为困扰电网安全稳定运行的最突出的问题之一。常规的控制方法多基于传统控制理论[2]，包括相位补偿法、极点配置法、灵敏度分析法等。随着现代控制理论的日益成熟，许多新型控制方法也逐渐被引入到电力系统阻尼控制设计中，如线性最优控制[3]、自适应控制[4-5]、鲁棒控制[6-7]等方法。其中线性最优控制将状态量和控制量的平方和作为性能指标，通过求解黎卡梯方程获取该指标的极值，以实现最优控制。自适应控制则根据系统运行条件的变化，不断调整控制规律，从而保证系统的性能指标接近于参考模型的性能指标。上述2种方法在精确获取系统和扰动模型的情况下，均具有较好的阻尼特性，但一旦模型具有不确定性时，将很难保证阻尼效果。相比较而言，鲁棒控制方法在应对电力系统参数和外界扰动等不确定性方面具有不可比拟的优势[8]。 其中，混合 H2／H∞控制理论更是由于综合考虑了系统的稳定性及鲁棒性等因素，受到众多专家和学者的青睐[9-11]。 在设计混合H2／H∞控制器的过程中，为了保证闭环系统的动态和稳态性能，需要将系统的振荡模式转移到左半平面或预先设定的稳定区域，传统方法是利用Gutman定理[12]进行振荡模式的转移，但由于该定理求解的稳定区域必须是凸区域，因此在某种程度上限制了振荡模式转移的范围。

针对区间振荡模式频率低、阻尼小、持续时间长的特点，本文首先利用特征值转移因子对稳定区域进行拓展，定义了可使系统迅速进入稳定状态的非凸稳定区域。在此基础上，考虑系统和扰动的不确定性，设计了基于非凸稳定区域的混合H2／H∞多目标鲁棒控制策略。最后，以4机2区域系统作为测试系统，分别进行时域和频域仿真，结果表明该方法不仅具有更好的阻尼性能，而且具有更强的鲁棒性能。

1 基于非凸稳定区域的鲁棒H2／H∞控制策略

引理 1[13]李雅普诺夫第一法，对于系统Σ：（A，B，C，D）有：

其中，x为系统状态向量，u为控制输入向量，y为输出向量，A为系统状态矩阵，B为控制输入矩阵，C为输出矩阵，D为前馈矩阵。

平衡状态xe=0的情况下，系统渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征根均具有负实部。

引理 2[14]矩阵 AєRn×n的所有特征根均具有负实部，等价于存在对称矩阵X＞0，使得AX+XAT＜0。

利用引理1和引理2，可将系统的振荡模式转移到左半平面的稳定区域，但该方法无法保证所有的振荡模式都具有足够的阻尼。为此，Gutman定理[12]提出只要存在正定对称矩阵X满足式（2），那么矩阵A的所有特征根都将位于由式（3）描述的稳定区域M中。

其中，z为复平面任意一点，M为实对称矩阵，ckl为矩阵M中第k行第l列元素，m为矩阵M的阶数。

Gutman定理将稳定区域由左半平面推广到可预先设定的区域，不仅改善了系统的阻尼性能，还在一定程度上提高了稳定区域选择的灵活性。但应注意，该定理仅适用于求解凸区域，对于非凸区域，由于不存在正定对称矩阵X满足式（2），因此无法确定该区域是否为稳定区域。针对该问题，本文提出利用特征值转移因子对稳定区域进行拓展，在图1（a）的λ平面上设计了一个非凸区域R1，如图1（a）中阴影部分所示，该区域对应的集合MR1可表示为：

其中，r为圆半径，（c0，0）为圆心坐标，为非凸区域与虚轴的交点。

图1 复平面映射示意图Fig.1 Schematic diagram of complex plane mapping

系统调节时间与闭环特征根的实部成反比，特征根距虚轴越远，系统的调节时间越短[15]；同时，区间模式的频率越低，参与机组越多，能量越集中于联络线，振幅越明显。为此，本文选用非凸区域R1，一方面，可以保证频率越低的区间模式距虚轴越远，获得的阻尼越大，调节时间越短，越容易进入稳定状态；另一方面，对于频率较高的区间振荡模式，其阻尼比虽然有所降低，但仍能满足阻尼控制的要求。一般情况下，区间振荡模式的频率为0.1～0.8 Hz，为了保证频率较高的0.8 Hz振荡模式满足阻尼控制的要求，由 d=2πf及 h=r-c0，可计算出 d=7.6，h=0.9。 此时，可保证0.8 Hz的振荡模式对应的边界阻尼比为0.1，符合振荡模式的阻尼比不小于0.1～0.3[13]的要求。

多目标鲁棒H2／H∞混合控制问题的线性时不变系统可描述为：

其中，w为外部扰动输入向量，z∞和z2分别为与H∞和H2性能指标相关的被控向量，B1为w输入的增益矩阵，C1、D11和D12分别为与H∞性能指标相关的状态变量、扰动输入和控制输入的权矩阵，C2、D21和D22分别为与H2性能指标相关的状态变量、扰动输入以及控制输入的权矩阵。

建立基于特征值转移因子的反馈控制律：

其中，考虑到F起权重系数作用，同时与映射有关系，本文将其定义为特征值转移因子。

将式（6）代入式（5），可得闭环系统方程如下：

该闭环系统对应的特征根方程为：

考虑到闭环特征根满足在非凸区域R1稳定的约束条件下很难在λ平面获取，本文将区域R1映射到β的左半平面R2上，如图1（b）中阴影部分所示。区域R1和区域R2之间的映射关系如下：

由式（9）的映射关系，可得β平面上的闭环系统特征方程：

其中，U（F）和V（F）都是以F为变量的系数矩阵，U（F）=（r+c0）I-（A+BFBT），V（F）=-（r-c0）I-（A+BFBT）。

由式（9）可知，λ平面的振荡模式位于区域R1的充要条件是β平面对应的振荡模式位于左半平面R2。而在β平面中，由引理1可知，系统稳定的充要条件是所有特征根的实部均为负数，即存在非负定的特征值转移因子矩阵F满足：

因此，满足闭环系统是渐近稳定的条件可以表示为：

其中，“‖”表示逻辑关系“或”。

由引理2可得式（12）的等价条件为存在对称矩阵X＞0，使得下式成立：

其中，G1=VX+XVT，G2=UX+XUT。

需要注意的是，图1（a）中圆弧范围外虚轴上的点对应于无阻尼的区内振荡模式。文中发电机采用详细模型，因此区内振荡模式都具有一定的阻尼并满足稳定要求。再者，本文主要针对区间振荡进行广域阻尼控制，对于频率较高的区内振荡模式，可结合当地控制器（如PSS）加以抑制。因此，不需要考虑图1（a）中圆弧范围外虚轴上的点，即图 1（b）中稳定区域仅对应图1（a）中圆弧的部分以虚轴为界。

对系统进行多目标鲁棒控制，除了满足系统渐近稳定的条件式（13）外，还需要使闭环系统满足以下条件。

a．H∞性能：当w被看作是一个具有有限能量的扰动信号时，从 w 到 z∞的闭环传递函数 Twz∞（s）的H2范数不超过给定的上界 γ，即‖Twz∞（s）‖＜γ，以保证闭环系统具有鲁棒稳定性。

b．H2性能：当w被看作是一个具有单位谱密度的白噪声信号时，从w到z2的闭环传递函数Twz2（s）的 H2范数不超过给定的上界 η，即‖Twz2（s）‖＜η，以保证用H2范数度量的系统性能处于良好的水平。

满足目标a和b的充要条件为：

其中，Acl=A+BFBT，Trace（Q）为矩阵 Q 的迹。

由式（13）—（16）可将基于非凸稳定区域的鲁棒H2／H∞控制问题转换为式（17）的线性不等式组的优化问题，其指标 αγ+βTrace（Q）为 H2性能和 H∞性能的加权组合，α和β分别表示性能指标中H2性能和H∞性能的权重。

其中，G1=-2（r-c0）X-AX-XAT-BNBT-BNTBT，G2=2（r+c0）X-AX-XAT-BNBT-BNTBT。

令FBTX=NBT，MBT=BTX，利用上述不等式的约束条件可算出N和X，进而可得M=BTXB（BTB）-1，以及特征值转移因子F=NM-1。将F代入式（6），最终可推导出反馈控制向量 u（t）=NM-1BTx（t）。

2 应用算例

2.1 测试系统

以4机2区域的系统[16]为例，利用可控串补TCSC（Thyristor Controlled Series Capacitor）设计基于非凸稳定区域的鲁棒H2／H∞阻尼控制器，并对其阻尼性能和鲁棒性能进行分析。如图2所示，发电机采用6阶暂态模型，励磁系统采用快速励磁，基准模型下的负荷采用50%的恒阻抗和50%的恒电流混合模型，TCSC位于联络线8-9之间，补偿度为40%。TCSC附加控制器采用图3所示的控制结构[16]，其中τ=0.05 s为一阶惯性常数，τa=0.4 s为超前时间常数，τb=0.02 s为滞后时间常数，Xmax=3和Xmin=-3分别输出最大值和最小值。本文针对区间低频振荡，利用TCSC实现基于非凸稳定区域的鲁棒H2／H∞控制，以4号机组为参考机组，TCSC的广域反馈信号采用各发电机相对于4号机组的转速差。

图2 4机2区域系统结构图Fig.2 Structure of 4-machine 2-area system

图3 TCSC附加控制器结构Fig.3 Structure of supplementary controller of TCSC

在系统中的附加控制器处于开环运行状态下，利用模态分析方法对此系统进行分析，得到低频振荡的主导模式及其阻尼。从表1中得到，4机系统中存在2个区内模式和1个具有弱阻尼的区间模式，在系统受到干扰时，系统不能快速恢复到稳定状态。如不加以有效抑制，会对系统造成严重危害。本文利用MATLAB中的PST（Power System Toolbox）进行仿真验证。

表1 未加控制器时4机系统主导模式Tab.1 Dominate modes of 4-machine system without controller

2.2 仿真结果及分析

在以下各类扰动中，通过与传统的H2／H∞控制器进行对比，验证本方法的有效性和优越性。

a.稳态时联络线传输功率为421 MW，扰动为0.1 s时，线路4-13的母线4侧发生瞬时性三相短路，0.2 s后故障消失。

b.稳态时联络线传输功率为421 MW，扰动为0.1 s时，线路4-13的母线4侧发生永久性三相短路，0.2 s后将故障线路切除。

c.负荷采用60%的恒阻抗和40%的恒电流，扰动为0.1 s时，线路9-10的母线10侧发生瞬时性三相短路，0.15 s后故障消失。

d.负荷采用40%的恒阻抗和60%的恒电流，扰动为0.1 s时，线路9-10的母线10侧发生瞬时性三相短路，0.15 s后故障消失。

分别对基于非凸稳定区域的鲁棒H2／H∞阻尼控制器和传统的鲁棒H2／H∞阻尼控制器进行闭环控制，得到振荡模式如表2所示。由表2可以看出，2种控制器均能将阻尼比不足的振荡模式转移到稳定区域，但需要注意的是，控制器1对系统的阻尼效果要远优于控制器2。这表明，基于非凸稳定区域的鲁棒H2／H∞控制在抑制区间低频振荡过程中具有明显的优势。在以上4种扰动情况下，闭环系统的特征根均分布在非凸稳定区域中，如图4所示，其中空心圆为开环系统特征根，星花为利用控制器1得到的闭环系统特征根。

表2 开环系统和闭环系统下的区间振荡模式Tab.2 Inter-area oscillation mode of open-loop and closed-loop systems

图4 开环和闭环系统特征根分布图Fig.4 Eigenvalue distribution of open-loop and closed-loop systems

2区域发电机之间的功角差和联络线功率在4种扰动下的时域仿真波形如图5—8所示。可以看出，在不同运行状态下，发生不同扰动时，基于非凸稳定区域的鲁棒H2／H∞阻尼控制器均能快速有效地抑制区间低频振荡，且阻尼性能和鲁棒性能均明显优于传统的H2／H∞阻尼控制器。

图5 扰动1下的系统动态响应Fig.5 System dynamic response to disturbance 1

图6 扰动2下的系统动态响应Fig.6 System dynamic response to disturbance 2

图7 扰动3下的系统动态响应Fig.7 System dynamic response to disturbance 3

图8 扰动4下的系统动态响应Fig.8 System dynamic response to disturbance 4

3 结论

a.针对区间振荡模式频率低、所需阻尼大的特点，利用特征值转移因子对稳定区域进行推广，定义了可使系统迅速进入稳定状态的非凸稳定区域。

b.在此基础上，考虑到系统和扰动的不确定性，设计了基于非凸稳定区域的混合H2／H∞多目标鲁棒控制器。

c.以4机2区域系统作为测试系统，分别进行时域和频域仿真，结果表明相比于传统的H2／H∞阻尼控制策略，该控制策略具有更好的控制效果和更强的鲁棒性。