外力驱动的混沌摆实验仪在研究混沌效用上的应用

邹元奕，王 莹

（上海电力学院，上海 201300）

在非线性科学中最典型的现象之一就是混沌现象，“蝴蝶效应”是其最明显的特性。它是由确定性方程描述的简单系统，但产生的结果则是极为复杂的、貌似随机的无规则运动现象，其结果主要表现为高度依赖初始条件[1－2]。目前用于观察混沌现象的实验装置中最典型的是由美国Berkeley大学的Leon O Chua提出的蔡氏电路，它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路[3]。但是，蔡氏非线性电路存在着混沌现象不直观、定量测量过于简单或可操作性不强等问题。为了避免上述现有技术所存在的不足，依据非线性动力学混沌理论，采用先进的基于PASCO系统的数据采集技术，开设出适应大学物理实验教学的基于外力驱动的混沌摆实验如图1所示。在本实验装置上能够结合实验现象、实验测量数据，直观地观察和定量研究该系统周期运动与混沌运动的相互转换过程，并能够观察到初始条件敏感性这一混沌的重要特性[4－6]。

1 实验原理与方法

1.1 实验原理

混沌摆的动力学方程[4－6]，为

图1 磁阻尼混沌摆示意图

其中转轮圆盘的转动惯量I＝MR2／2，（θ表示转轮的转角；磁阻尼系数为μ，弹簧的劲度系数为k，Ic为偏心圆柱的转动惯量。ΔL0是初始位置时的弹簧的伸长，LC，LC0分别为初始时刻和时刻外部策动振幅，Φ0为初始相角，ω为策动力角速度，A为策动振幅，LA和LB表示外部策动力与转轮的距离。

当外部无策动力和磁场阻尼系数时，该装置构成保守动力学系统，式（4）简化为˙θ＝ω˙ω＝系统没出现混沌，系统对初始值不敏感。当有外部策动力和阻尼存在时，该系统将呈现复杂但有规律可循的混沌现象，这些性质依赖于驱动振幅AC、振动频率ω和转动初始角θ等可调节实验参量。

1.2 实验装置简介

PASCO系统是计算机在物理实验中应用的一个很好的平台.本实验由转动传感器，见图2、光电门、750数据接口、计算机各部分组成，其中转动传感器可测量旋转和线性移动，光电门可记录周期和频率。

图2 磁阻尼摆装置实物图

1.3 实验过程与方法

1.3.1 无外驱动力时的非混沌振荡

扭磁铁到圆盘直到3mm远。去掉驱动上的供电，观察角位置－时间关系图的形状，角速度－角位置关系图，理解相图的意义。如图3所示，角位置－时间图是正弦的，并且在衰减。如角速度－角位置图呈螺线形，如图4所示。

图3 磁铁离开3mm时的角位置－时间图

图4 磁铁离开3mm时的角速度－角位置图

1.3.2 有外驱动力时的非混沌振荡

（1）当驱动臂振幅在3.3cm左右，磁铁距离大约4mm远离圆盘，以5.2V的电压驱动驱动臂。角位置－时间图为正弦曲线，周期T＝2s，由于供电后驱动臂带动了弹簧给予了圆盘外力，因此与之前的角位置－时间图不同没有衰减，如图5所示。角速度－角位置图在振动进行了一定时间后，趋于稳定变化，如图6。

1.3.3 有外驱动力时的混沌振荡

图5 振幅3.3cm电压5.2V磁铁离开4mm时的角位置－时间图

图6 振幅3.3cm电压5.2V磁铁离开4mm时的角速度－角位置图

图7 电压4.6V磁铁最远时的角位置－时间图

为了进一步使摆的运动复杂化，将驱动臂设置为最长以增大弹簧的振荡，将磁铁调整到离圆盘6mm的距离以减小阻尼量，我们通过改变驱动电压，寻找混沌现象，当电压为4.6V时，角位置－时间图，见图7、是非正弦的，周期约为40s，显然与振动臂的转动周期是不同的，从角速度－角位置图来看，圆盘产生了混沌的运动状态，出现了混沌效应的典型的双吸引子现象，如图8。

图8 电压4.6V磁铁最远时的角速度－角位置图

在实验中仔细观察奇异吸引子相图，会发现当相图存在吸引子现象时，转向混沌摆的实际运动，铜圆柱时而做小振幅的周期运动时而角度超过一个圆周，有时可以一直不停旋转多圈，然后再作小振幅周期运动.尽管无法预料轨迹将在何时从一边跳到另一边，但是相轨道总不会超出边界，也绝不会自相重复.而此时对应于双吸引子的相图，则是吸引子首先由外向内绕若干圈，转到圆心附近时将随机跳跃，继续向内绕若干圈后再突然跳回原来的周期。

通过上述实验的过程，依次改变PASCO混沌摆系统的参量，还可以研究混沌现象对初值的敏感性为，可观察1周期，或多周期的单吸引子等现象。

2 结 论

实验装置克服了目前用于观察混沌现象的多数物理实验装置普遍存在的观察不直观、定量研究过于简单和操作性不强等问题。学生通过本实验进行观察、研究混沌运动过程，可以掌握和获得现代物理学知识，培养创新能力，达到理想的物理实验教学效果。

[1]吴本科，肖苏，朱志峰，等.音叉混沌实验仪的研制[J].实验室科学，2010（6）：149－151.

[2]吴本科，蒋凉.音叉弦线受迫振动系统的计算机模拟研究[J].物理实验，1996（1）：14－16.

[3]Chua L O，Wu Chaiwah，Huang Anshan，et al.A U－niversal Circuit for Studying and Generating Chaospart II：Strange Attractors[J].IEEE Transactions on Circurts and Systems，1993，40（10）：745－761.

[4]朱桂萍，王健.混沌摆系统的动力学分析和数值模拟[J].扬州大学学报：自然科学版，2008，11（3）：27－30.

[5]韩晓茹，傅筱莹.基于PASCO系统的混沌摆实验[J].物理实验，2011（11）：5－9.

[6]张岩义，王鹏飞，乔改星.利用欠阻尼振动测液体粘滞系数实验研究[J].大学物理实验，2012（5）：35－37.