不确定度漫议:个数据处理结果引发的讨论

胡 澄，林上金，白 忠，张鹏亮

（解放军理工大学，江苏 南京 211101）

不确定度是当前物理实验教学的难点。鉴于实验误差和不确定度理论本身是一个破缺而不完备的知识体系，在教学过程中常常出现一些困难。对于教师，还不能正确全面理解、消化，经常在实验中出现难以自圆其说的困惑；对于学生，教材内容述说的逻辑性不够且样式多而比较混乱，学习困难。不确定度教学一直受到高度关注，大量的文献对不确定度在物理实验教学及其测量结果中的应用进行了讨论［1－3］，本文结合一个数据处理个例就有关不确定度评定的教学的一些问题进行讨论。

1 问题提出

在一次实验教学讨论会上，关于题目“用Δinst＝0.004mm的千分尺对某钢珠直径d进行10次测量，测得值分 别为 10.059、10.055、10.056、10.050、10.056、10.058、10.057、10.053、10.054、10.055（单位mm）。试求d±σd及相对不确定度Ed。”的答案，引发了一场热烈的讨论。在讨论过程中各种观点进行了激烈的交锋，通过讨论教师对不确定度的有关概念加深了理解，澄清了一些模糊认识，从而促进了相关内容的教学。在该问题中的模糊认识主要表现在以下几点：

1.1 平均值计算

（10.059＋10.055＋…＋10.057＋10.053＋10.054＋10.055）＝10.055（cm）有一些人认为要多保留一位，应为10.0553cm。理由是多保留一位数，增加了信息，而且可以减小标准误差，进而不确定度也相应减小。

图1表明，标准误差越小，误差函数f（Δx）的峰值越大，测量值越集中。但这是对于两列测量结果的比较而言的，对于一列测量结果，测量一旦结束，f（Δx）就已经确定了，它不会因为我们计算的S（x）而改变。如果在平均值计算中人为地多保留一位可疑数字，来减小S（x），结果必然导致测量结果的置信概率减小。

图1 不同标准误差的分布函数

假如客观的标准误差为S（x），平均值多保留一位可疑数字后的标准误差为S′（x），那么，S（x）＞S′（x）。 显而易见，

所以，平均值的有效位数不宜多取，必须与测量值的有效位数一致，才能反映测量精度。

1.2 不确定度计算

测量结果：

有一些人认为σd应取0.003cm。因为算式计算结果是0.003 46，根据有效数字修约规则，应采用“四舍六入，五凑偶”进行修约，3后面的数字是4，应舍去。认为不确定度小了，测量结果的置信概率可以提高。实际上测量结束以后，分布函数亦随之确定，截断第二位可疑数字及其后面的数字以后，置信概率会降低。

假如客观的置信概率为P，那么，

显然，

为了保持测量结果的置信概率，不宜把不确定度第二位可疑数字及其后面的数字截断，而应采用“只进不退”的原则。数据处理的任务就是如实、客观、正确地反映测量结果。

2 必须重视不确定度教学

物理实验是理工科专业学生实践课程的开端，“对从实验数据析取信息并确定其量值的方法给以评价是任何实验课教程的基本目标之一，……学生将通过科学实验课获得有关数据分析的初步知识。”物理教育家Harry F.Meiners在《普通物理实验》及其第二版中都阐述了课程的具体目的：其一，把理论运用于实际问题，以加深对物理学基本原理的理解；其二，介绍科学与工程中普遍使用的数据分析方法；其三，建立“误差概念”［3］。由此可见误差与数据处理教学的重要性。

误差分析与不确定度估计是实验数据分析与处理的最重要的内容，对实验观测数据的分析处理方法的学习和初步实践，是理工科学生学习科学方法、培养科学素养的环节之一。科学实验、生产活动，都需要测量对象准确的量值及准确的程度，并可以比对国家基准来正确表达测量结果准确程度的大小。为此，四个国际计量组织（ISO，BIPM，OIML，IEC）在1992年发表了“测量不确定表达指南”［4］，我国也制定计量技术规范，规定测量结果的最终表示形式用不确定度或相对不确定度表达［5］。因此，在大学物理实验中，推广不确定度表示是物理实验教学的必然趋势，必须学习关于不确定度的一些知识，把掌握不确定度的初步概念和方法作为物理实验教学的基本要求。在教学中多创设条件，进行数据处理和不确定度表达的训练。

作为一个例子，多数实验教材在“示波器原理与使用”实验中强调仪器的使用，对数据处理则只有列表要求，把电压有效值计算作为表格的一项。我们对此作了调整，把电压有效值计算并用不确定度表达作为数据处理的一项内容。这样，不仅使学生得到不确定度应用的训练，还可以让学生在控制测量精度方面得到一些启示，从而延展了该实验项目的作用。

3 不确定度的评定应当合理简化

在教学过程中，我们发现学生对不确定度理解有些困难。造成这种现象的主要原因是多方面的：其一是学生的数学知识（包括高等数学、概率统计）尚不具备；其二是教材对这部分内容的阐述不太合理，有的只给出公式，学生不清楚为什么有这样的公式？有的通过数学统计方法严密推导，涉及的数学推导过于繁难［6－9］。

物理实验课程的基础性，以及我国物理实验教学的现状（主要是学时偏少），目前不宜提出过高的要求，应该允许在教学中采用某种模式的简化与近似，这种简化与近似又应符合误差理论的科学性和概念的正确性，针对工科物理实验的要求、特点，学生的承受能力以及学时数等情况，建立基本适合工科物理实验的不确定度的简化体系。

［1］李欣.不确定度表示的进展和在测量中的应用［J］.大学物理实验，2002，15（2）：68－70.

［2］郑虹.物理实验中测量结果及其不确定度的有效位数［J］.大学物理实验，2005，18（3）：77－79.

［3］朱鹤年.对实验误差与不确定度教学的新思考［J］.物理实验，2003，23（1）：21－25.

［4］国际标准化组织.测量不确定度表达指南［M］.肖明耀，康金玉译；北京：中国计量出版社，1994.

［5］国家技术监督局.JJG1027测量误差及数据处理［M］.北京：中国计量出版社，1994.

［6］丁慎训，张连芳.物理实验教程［M］.北京：清华大学出版社，2002.

［7］李相银，姚安居，杨庆，等.大学实验物理教程［M］.东南大学出版社，2000.

［8］林木欣.近代物理实验教程［M］.科学出版社，2000.

［9］倪燕茹.基于测量不确定度评定的数据处理方法［J］.大学物理实验，2012（1）：67－69.