采用力控制加载的拟动力试验等效力控制方法

谭晓晶，吴 斌，王 贞

（哈尔滨工业大学土木工程学院，黑龙江 哈尔滨 150090）

引 言

拟动力试验是进行结构抗震性能研究的重要手段。现代工程结构趋向于大型化和复杂化，大尺度或足尺模型试验日益受到重视。但是该类结构模型通常刚度很大位移反应很小，由于试验加载设备的位移控制分辨率有限，采用传统位移控制加载的方式来进行大刚度小位移反应的拟动力试验难以进行。Wu等人提出了一种等效力控制方法［1］，该方法采用反馈控制原理来求解非线性方程，避免了数值迭代的困难，满足了拟动力试验数值计算的要求。但是这种方法是基于试验加载设备采用位移控制情况下提出的。当试验结构的刚度很大时，试验依然采用位移控制加载通常难以进行或者得到的试验结果不准确。这是因为，大刚度结构的位移通常比较小，当位移加载命令小于加载设备的位移控制分辨率时，将无法完成该位移命令的精确加载，试验失效。但是，该位移对应的力命令通常大于加载设备的力控制分辨率，试验采用力控制加载则容易实现。因此，研究力控制加载的拟动力试验是很有必要的。

对于等效力控制方法的研究，文献［1～5］采用了比例－微分（PD）控制器，并设计一个消除稳态误差的前馈增益，从数值和试验角度验证了这种方法是有效的。李妍把能量法与等效力控制方法相结合，提出了基于能量法的等效力控制方法［3，4］，并成功应用于防屈曲支撑子结构试验中。许国山等设计了比例－积分（PI）控制器［6，7］，并验证了对于非线性结构试验，PI控制要优于PD控制。周大睿等人也采用同样的思路把等效力控制方法应用到连梁阻尼器拟动力子结构试验中［8］。上述等效力控制方法研究仅考虑了加载设备按照位移控制模式加载，而均未考虑力控制模式加载。对于力控制加载的拟动力试验研究，刘季等人把地震作用增量和结构惯性力增量之和作为试验加载的力命令［9］，并通过识别当前步结构的等效剪切刚度以求解下一步的力命令。李暄等通过测得的结构位移增量和反力增量来识别结构的剪切刚度用以求解下一步的力命令［10］。王凤来等也采用了同样的思路完成了足尺配筋砌体结构拟动力试验［11］。Pan等人采用了OS法对隔震结构进行了拟动力试验［12］，在力控制加载段采用了结构的初始刚度与预测位移的乘积作为加载的力命令。Kim等人通过识别结构的切线刚度或者Krylov子空间法把位移命令转换为力命令［13］。可以看出，对于力控制加载试验，比较常用的方法就是识别结构的刚度，从而把位移命令转换为相应的力命令来完成加载。但是，结构的刚度识别通常是件比较复杂和困难的事情。

本文对等效力控制方法作了一点修改，通过设计一个反力分配系数代替了原方法中的力与位移转换系数，这样不需要识别结构的刚度就能很好地完成力控制加载的拟动力试验。

1 基于力控制加载的等效力控制方法原理

下面以平均加速度法为例介绍等效力控制方法的原理，拟动力子结构试验中混合体系在离散时间上的运动方程以及平均加速度法的加速度、速度假定分别为

式中 下标N表示数值子结构，E表示试验子结构；d，v，a分别为位移、速度和加速度向量；M，C分别为质量阻尼矩阵；R为恢复力向量；F为外荷载向量；Δt为积分时间步长；i为时间步数。

将式（2），（3）带入式（1）得到

其中

式（4）可以理解为施加在混合体系上的力平衡方程，RN（di＋1），KPDdi＋1分别为数值子结构的静反力和拟动力反力，RE（di＋1）为试验子结构的反力，FEQ，i＋1为施加在混合体系上的等效外力。由于式（4）存在di＋1的隐式表达，它的求解需要复杂耗时的迭代过程，这对于路径敏感性的非线性结构是不太合适的。为了避免迭代，可以采用反馈控制的方法来解决这个问题。

等效力控制方法就是采用反馈控制的思路，它以等效力FEQ，i＋1为控制目标，通过设计合理的等效力控制 器，使 得 等 效 力 反 馈 量F′EQ，i＋1（RN（di＋1），KPDdi＋1和RE（di＋1）三者之和）平稳渐进地趋向控制目标，即式（4）成立，而此时试验子结构的位移响应也平稳地达到了稳态值，该值就是式（4）的解。基于力控制加载的等效力控制方法的思路如图1所示，其中CF为反力分配系数，而在基于位移加载控制的等效力控制方法中CF为力与位移转换系数。此外，文献［1～8，14，15］指出：由于存在控制误差，需要把等效力控制系统达到稳态时测得的试验子结构反力RE（di＋1）带入式（4）以重新计算di＋1作为结构反应的准确值。

2 反力分配系数与等效力控制器设计

以往的等效力控制方法研究仅考虑了作动器采用位移控制加载［1～8，14，15］，为此设计了一个力 －位移转换系数CF，通过这个系数把力命令转换为位移命令，文献［3］详细推导了这个系数的取值，为CF＝1／（KPD＋KE＋KN）。为了让作动器采用力控制模式工作，本文采用的CF为反力分配系数为

图1 基于力控制加载的等效力控制方法原理图Fig．1 Block diagram of the equivalent force control method based on force－loading control strategy

CF作用相当于把等效力按照试验子结构的反力在3个反力中所占的比例分配给作动器来进行加载。当结构处于线性时，CF可依据试验子结构的初始刚度来计算，当结构进入非线性时，CF仍可依据试验子结构的初始刚度来计算。这是因为KE远小于KPD，内环试验子结构的反力相对于外环的等效力来说非常小，内环试验子结构的非线性因素对外环等效力控制效果所造成的影响非常小。因此即使试验子结构进入非线性，通过合理地设计外环等效力控制器，仍可以实现很好的等效力控制效果，并且还能保护内环试验子结构［7，15］。等效力控制器是实现反馈控制的关键环节，它的控制品质直接影响到试验能否顺利进行。因此，需要设计一个合理的控制器以消－控制系统的稳态误差。常用的控制器有：PID控制、自适应控制、滑动模态控制等。文献［1～5］采用的是PD控制器，并通过增加开环增益KF＝（1＋KP）／KP的方法消除系统的稳态误差。这种方法对于线性结构的试验非常有效，但当结构进入非线性状态时，需要识别结构的刚度以重新计算CF才能保证系统不会出现稳态误差，这通常是非常困难和耗时的。文献［6，7］采用PI控制器，系统无稳态误差产生，本文也采用PI控制。

反馈控制系统的闭环传递函数可以写成如下形式KPD＝10 164kN／mm，KN＝5kN／mm，KE＝5kN／mm，CF＝KE／（KPD＋KN＋KE），积分步长为0．01 s，作动器模型ωA＝341．16，ξA＝0．8，采样频率为1 000Hz。等效力单步阶跃响应如图2所示，其中，KP＝0．05。从图中可以看出，随着KI的增大，等效力响应速度加快，稳态误差逐渐减小。当KI＝20／s时，稳态误差为零，等效力响应能很好地跟踪其命令，并且此时结构的位移响应也能达到其目标位移。而当KI＝150／s时，等效力响应出现超调现象，KI取值不合适，但小于稳定界限KImax＝528．03／s。因此，当选取合适的PI控制参数，控制系统是可以消除稳态误差的。

图2 等效力单步阶跃响应Fig．2 Single step response of equivalent force

对于PI控制器，由劳斯判据可得到其控制参数的稳定界限为

对于PI控制器的控制效果，可以采用单自由度体系等效力单步阶跃响应来验证。体系的参数选为

3 数值模拟

3．1 单自由度结构自由振动

采用单自由度结构的自由振动反应来验证该方法的有效性。结构的参数为：M＝253．3×103kg，KN＝0，KE＝10kN／mm，阻尼比ξ＝5%，结构的自振周期为1s。PI控制器参数取值为KP＝0．05，KI＝20／s。结构的初始位移为10mm，初始速度为0，结构的位移反应如图3所示。可以看出该试验方法计算的结果与解析解吻合得非常好，说明该方法是有效的。

3．2 单自由度结构地震反应

为了进一步验证该方法的有效性，将上述单自由度结构中的试验子结构改为双线型恢复力模型，第一刚度仍保持不变，第二刚度的衰减系数为0．7，屈服位移设为8mm。采用El－Centro（NS，1940）加速度记录作为外部地震动激励，峰值加速度调整为0．3g。结构在地震激励下的位移反应如图4所示。可以看出，结构的等效力反应与其命令仍然吻合得很好。这说明即使结构进入非线性状态，只要设好的合理的等效力控制器，该方法仍然能够很好地完成试验加载。

图3 单自由度体系自由振动反应Fig．3 Free－vibration response of the SDOF

图4 单自由度结构地震作用反应Fig．4 Seismic response of the SDOF

3．3 三自由度结构地震反应

为了验证该方法在多自由度结构中的应用，设计了一个三层剪切型框架结构作为试验子结构进行数值模拟，模拟中不考虑数值子结构。试验子结构每层质量均为253．3×103kg，刚度均为10kN／mm。数值模拟仍采用El－Centro（NS，1940）加速度记录作为外部地震动激励，峰值加速度调整为0．01g。结构的位移反应如图5所示。可以看出结构每一步的等效力反应仍能很好地跟踪其命令，该方法可以应用到多自由度结构试验中。

图5 三自由度结构地震作用反应Fig．5 Seismic response of the 3DOF

4 试验验证

大刚度结构试验加载，其位移反应通常比较小，因此小位移的精确加载及测量直接影响了试验结果的准确度。本文设计了一个带防屈曲支撑的钢筋混凝土框架，模拟一个单自由度结构在地震作用下的反应，该试验在哈尔滨工业大学力学与结构试验中心完成。控制和加载设备采用MTS公司的Flex Test GT控制器和Schenck作动器，作动器的位移与力量程分别为±250和±630kN。设置了两个外接高精度位移传感器来测量结构的位移反应，其量程分别为±5和±20mm。其中，数值子结构MN＝65．041×103kg，KN＝0，CN＝0；试验子结构为图6的带支撑框架，阻尼比取为5%。通过经验试凑法得到等效力控制器参数为KP＝3．0，KI＝50．0／s。地震动激励选为El Centro（NS，1940）加速度记录，峰值加速度调整为10gal，数值积分时间步长为0．01s，每个时间步长加载持续0．5s，试验中作动器分别采用力控制加载和位移控制加载，试验结果如图7所示。

图6 带防屈曲支撑阻尼器（BRB）的钢筋混凝土框架拟动力试验装置Fig．6 Test setup of the frame with BRB in PSD tests

从图7（a）和（b）中可以看出，结构在小幅地震动作用下的位移反应比较小，采用力控制加载得到的位移反应峰值要大于采用位移控制加载得到的结果，并且前者与数值模拟结果比较接近。同时，结构位移反应的准确度与等效力的控制效果有很大关系。当等效力的响应能很好地跟踪其命令时，则结构的位移反应也就能达到真实值。当等效力的响应与命令存在稳态误差时，这种误差会导致结构的位移反应偏离真实值。从等效力控制效果来看，采用力控制加载模式下的控制效果要好于采用位移加载控制模式下的控制效果，前者的等效力每一步响应均能很好地跟踪其命令，而后者的等效力控制始终存在稳态误差（如图7（c）和（d）所示），那么后者得到的结构位移反应也就存在误差。等效力的控制效果通常仅与其控制器参数的选取有关，而与作动器的加载控制模式无关。但是，当等效力控制器参数确定后，作动器从一种加载控制模式变换成另一种加载控制模式时，如果作动器的控制存在误差，那么将会导致等效力的控制也存在误差。通常作动器在试验中能很好地实现自身的反馈控制，但当其测量精度低于其控制精度时，将无法完成小位移的精确加载，此时采用位移控制加载就会存在控制误差。因此，试验中作动器需要视精度要求选择合适的加载控制模式。从图7（e）和（f）中可以看出，对于小位移命令加载，作动器采用力控制加载的控制效果要比采用位移控制加载的控制效果好，前者每一步的响应均能很好地跟踪其命令，而后者始终存在稳态误差。对于该试验中的作动器而言，结构的反力最大值约为作动器力量程的1／52，而其位移最大值约为作动器位移量程的1／625，可见其力的测量精度要高于位移的测量精度，并且也高于其控制精度，作动器采用力控制加载无稳态误差产生。同时从结构的滞回曲线可以看出，由前者得到的滞回曲线更平滑，而后者存在毛刺现象，这也说明了前者的控制效果要好于后者（见图7（g）和（h））。

对于大刚度结构拟动力试验，可以通过把小位移命令转换为力命令采用力控制模式来实现其精确加载，而结构的位移反应则可以采用外接高精度位移传感器来测量。

5 结 论

通过对采用力控制加载的等效力控制方法进行理论分析、数值模拟和试验验证，得到如下结论：

1．采用力控制加载的等效力控制方法是一种不需要迭代求解的混合试验方法，可以很好地应用到大刚度结构拟动力试验中。

2．对于大刚度结构拟动力试验，采用力控制加载要比采用位移控制加载得到的试验结果准确。

值得指出的是，上述PI控制器参数的选取均由经验试凑法得到，因此需要依据更为合理的方法以便快捷、准确地确定控制器参数值，这是下一步要进行的工作。

图7 两种不同控制加载模式下的试验结果Fig．7 Test results obtained by two different loading－control strategies in PSD tests

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