高层基础隔震建筑非平稳随机响应改进算法

马长飞，张亚辉，谭 平，周福霖，

(1.大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室，大连 116023;2.广州大学 工程抗震研究中心，广州 510405)

隔震作为一种在强震作用下有效减小结构破坏的技术，已被广泛应用在新建建筑以及已有建筑的抗震加固中。由于地震的不确定性，随机振动分析是地震工程中的一个有力工具，近年来吸引了大量学者的关注。Jangid等［1］研究了上部结构的偏心对基础隔震结构动力响应的影响，结构的随机响应通过求解Lyapunov方程求得，随着计算自由度数量的增加，该方法的计算效率将大幅下降。近年来，针对多自由度系统和大型有限元模型，Schuélle 等［2－3］结合 Karhunen-Loéve分解技术，提出了一种计算线性和非线性随机响应问题的求解方法。它把非平稳随机响应的问题转化为一系列的确定性逐步积分的问题，避免了协方差矩阵的整体求解，减小了计算机的存储量，但是计算结果的精度严重依赖于K-L分解截取振型的选取。采用虚拟激励法可以避免上述问题，王军等［4］采用虚拟激励法和等效线性化技术研究了剪切型多自由度滞回系统的随机振动问题;杜永峰等［5］将该方法扩展到求解基础隔震结构的平稳随机响应。但是，对于高层的隔震结构，如果所有的自由度都参与计算，计算量依然相当可观，特别是结构采用有限元模型时，某些情况下甚至是不可能做到的。所以只能采用模态分解技术，提取上部结构的前若干阶振型参与运算，这样又形成了截断误差。为了引入结构高阶振型的影响又不显著增加运算量，文献［2，3，6－8］对此作了深入的研究。

本文结合虚拟激励法和等效线性化技术计算了基础隔震的高层建筑在非平稳随机激励下的随机响应，研究了高阶振型对高层隔震结构响应的影响。隔震建筑的上部结构采用了串联剪切多自由度模型，并假定其在地震动中一直处于弹性状态，这样上部结构可以利用振型分解法选取前若干阶振型参与动力分析。将上部结构高阶振型的影响以拟静位移的形式加以考虑，这样上部结构的总的位移响应由两部分组成，即动力响应项(对应结构低阶振型)和拟静力响应项(对应结构高阶振型)。按照这种改进的求解方法，显著提高了计算效率，同时又保证了计算精度。

1 隔震系统的运动方程

图1 高层基础隔震建筑Fig.1 A base-isolated high-rise building

如图1所示，基础隔震建筑采用剪切型多自由度串联模型，隔震层采用铅芯橡胶支座。上部结构自由度数为n，上部结构的运动方程为［9］:

其中，mb是隔震层的质量，ku为隔震层的初始刚度，α0表示隔震层初始刚度和屈服后的刚度之比，显然屈服后刚度kd=α0ku，cb为隔震层处阻尼

其中

表示隔震建筑总的质量。在方程(2)中，z是为描述隔震层的滞回特性而引入的辅助变量，且满足下列微分方程［10］

其中

2 静力校正

上部结构在地震动中保持弹性状态，为了减小计算量，通常取前N(N ＜n)阶振型参与计算，振型采用质量归一化振型，即满足

其中，φi表示上部结构的第i阶振型，δij为克罗内克函数，I为N阶单位矩阵表示上部结构的第i阶振型对应的特征值

上部结构的运动可写为以下形式:

其中

上述推导中第N阶振型以后的高阶振型对结构响应的贡献被忽略掉了。为了弥补截断误差带来的影响，一种近似的修正算法引入进来，因为高频振型产生的响应可以忽略掉动力效应，把高阶振型形成的位移以静力加载的方式处理。假定上部结构的位移xs由动位移和拟静位移两部分组成［6－8］，即

其中，动位移可以表示为:

上部结构的柔度阵可以表示为:

高阶振型对应的拟静位移为:

其中:

表示结构在外力f(t)的作用下，高阶振型所对应的位移按照静力加载的方式求得。

3 状态空间法

方程(2)和(9)可以统一写为

其中

引入状态向量V，即

利用状态空间法把上部结构和隔震层的二阶运动方程转换为一阶的微分方程组的形式，由式(6)和(16)得:

其中:

4 虚拟激励法求解非平稳随机响应

4.1 选取地震动功率谱模型

为了抑制低频地震动分量的效果，功率谱采用Ruiz和Penzien建议的双过滤白噪声模型

其中ωg和ξg分别为场地土的卓越角频率和阻尼比，ωf和ξf分别为地面过滤参数，S0为基岩加速度自谱密度。

对于均匀调制非平稳的随机振动的功率谱密度函数可表示为

其中，g(t)为均匀调制函数，可表示为

4.2 虚拟激励法求解步骤

(1)构造虚拟激励，tj时刻的地面加速度的虚拟激励表示为［11］

代入式(19)右端的非齐次项，tj=0时刻时对ce和ke赋初值。

式(7)，(19)，(20)，(25)和(26)构成了求解隔震系统的闭合迭代表达式。

剩余的高阶振型对结构响应的贡献由式(14)可表示为

由式(11)上部结构总的位移响应为

5 数值算例

为了方便计算，把一18层的隔震框架结构简化成剪切型多自由度串联系统，如图1所示，隔震系统的质量分布和刚度分布分别如表1和表2所示。

表1 质量分布Tab.1 Distribution of mass

图2 虚拟激励法求解精度验证Fig.2 Verify the accuracy of the response that evaluated by PEM

表2 刚度分布Tab.2 Distribution of stiffness

上部结构采用基础固结时，基本周期为Ts=1.62 s，采用隔震措施后，基本周期变为 Tiso=3.5 s，上部结构的阻尼比ζ=0.03，隔震层处的阻尼比ζb=0.15，屈服后刚度比α0=0.1，屈服位移 Dy=0.008 m，ωg=15.7 rad/s，ξg=0.72，ωf=1.57 rad/s，ξf=0.72，S0=0.02 m2/s3，调制函数参数取值:t1=0.8 s，t2=8 s，激励持续时间 tf=12 s，c= －0.35。

为了验证虚拟激励法求解此类滞回非线性问题的可行性，把虚拟激励法求解的响应的统计值和Monte Carlo数值模拟的结果做了比较，Monte Carlo法采用了2000个计算样本。由图2可知，两种方法计算的结果非常的吻合。

图3 高阶振型对隔震层响应的影响Fig.3 Influence of the higher modes on the responses of isolation layer

图4 静力校正法对结构层间位移响应精度的改进Fig.4 Improvement of the accuracy of storey drifts by the static correction procedure

图3给出了上部结构前 N(N=1，2，3，…，18)阶振型参与运算时，隔震层响应的截断误差。显然，当N=18时，表示上部结构所有的振型都参与了计算，此时没有截断误差。由图3可知:上部结构的前若干阶低阶振型对隔震层的加速度影响非常显著，但是随着计算选取的振型数目的增加，结构响应的截断误差急剧减小;隔震层的位移响应对上部结构的振型的选取并不敏感，上部结构的高阶振型对隔震层的位移都几乎没有影响。

图4显示了静力校正法对结构位移响应计算精度的改进。同样采用上部结构前4阶振型参与运算，显然，采用静力校正算法的计算精度要比未采用该算法的精度有很大提高。

6 结论

针对基础隔震高层建筑的特点，通过静力校正的方法考虑了上部结构高阶振型对结构位移响应的影响，利用虚拟激励法和等效线性化技术求解了结构的非平稳随机响应，并得到以下结论:

(1)静力校正法有效改善了结构位移的计算精度，却没有显著增加计算量，特别适合隔震结构这种局部非线性的多自由度、大型有限元模型的随机动力响应分析。

(2)上部结构的高阶振型对隔震层位移几乎没有任何影响，但是如果计算过程中选取的参与动力运算的振型过少，会使得隔震层加速度响应偏大。

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