任意载荷作用下变截面柔性构件变形特性的分析与研究

刘庆玲

廊坊师范学院，廊坊，065000

0 引言

柔性机构以其体积小、无间隙、无机械摩擦、运动灵精度高、导向精度高等诸多优点，在精密机械和微机械等领域得到了广泛的应用［1］。针对柔性机构中柔性铰链的变形，各国学者做了大量研究，并取得了一定成果［2-3］。而对于柔性构件的变形，目前的分析方法尚不完善，其中的椭圆积分法，计算量大、推导复杂，只适用于简单载荷条件下柔性构件的变形分析［4-8］;Howell［9］提出的伪刚体模型法也只适用于等截面柔性构件在集中载荷作用下的变形计算［10-11］。在很多实际应用中，柔性构件是变截面构件，且所受载荷为分布载荷，所以研究变截面柔性构件在任意载荷作用下的变形分析方法，具有一定的实际意义。

1 任意载荷作用下变截面柔性构件的变形分析

1.1 建立变形微分方程

本文设定沿变截面柔性构件的长度方向上，构件任意位置处的横截面形状均为矩形。构件左端固定，承受载荷如图1所示。图1中，Fx、Fy分别为作用在柔性构件末端的水平方向和垂直方向

图1 变截面柔性构件受力示意图

的集中载荷，qx(s)、qy(s)分别为作用在构件上水平方向和垂直方向的分布载荷，虚线为变截面柔性构件中性面上的中心线(其长度为s)，构件末端点为B。

变截面柔性构件在集中载荷、分布载荷的共同作用下，产生弯曲变形，利用其中性面上的中心线来表示变形前后的位置。图2a中，虚线为变形前中心线的位置(末端点为B0)，实线为变形后中心线的位置，设末端点B的坐标为(a，b)。变截面柔性构件的初始长度为L。

在构件上取距离固定端为x的任意截面A，取截面A以右部分为研究对象，在截面A处所受水平、垂直方向的合力分别记为FH、FV，所受的力矩记为M(x)，局部受力如图2b所示，由受力平衡可得

自截面A处取d s微段，其受力如图2c所示，

图2 任意载荷作用下变截面柔性构件的变形示意图

对A点取力矩，由力矩平衡，整理可得

由 Bernoulli－Euler梁的基本变形方程［12］得

式中，E为弹性模量;I(x)为截面惯性矩。

变截面柔性构件任意位置处截面的惯性矩不是常量，有

式中，h(x)、b(x)分别为构件上距离固定端x处截面的厚度和宽度。

式(3)两边对s求导，有

变截面柔性构件中性面的中心线存在一个初始角度，记为θ0，受载后产生弯曲变形，产生的角变形记为θ，由图2b可得

将式(1)代入式(2)，求得d M(x)，再代入式(4)，可得

将式(5)代入式(6)，可得

式(7)即为任意载荷作用下变截面柔性构件变形求解的二阶非线性微分方程。

1.2 变形微分方程求解

针对上述非线性微分方程，本文采用离散化的数值计算方法进行求解，具体过程如下:

式(7)可写为

由式(3)、式(4)可得θ(s)的一阶、二阶导数:

将其代入式(8)依次进行求导，可求得θ(s)的各高阶导数。

采用多项式的形式表示变截面柔性构件的角变形，则角变形可写为

由泰勒级数展开式，可得

将变截面柔性构件沿其长度方向n等分，设t为步长，则t=L/n，L为构件的总长度。

上述分析求解过程不仅适用于变截面柔性构件的变形分析，同样适用于等截面柔性构件(梁)在集中载荷、分布载荷作用下变形的分析与求解。对于等截面柔性构件(梁)，其截面惯性矩I(x)为定值，故I(x)各阶导数均为零，采用上述方法，即可求得等截面柔性构件(梁)变形的大小。

2 变截面柔性构件变形的实例分析

2.1 集中载荷作用下变截面柔性构件的变形分析

变截面柔性构件结构如图3所示。几何参数如下:L=600μm，ha=50μm，hb=10μm。构件任意位置处的横截面形状均为矩形，厚度沿长度方向呈线性变化，宽度b=75μm，材料选用硅，弹性模量E=169GPa。构件端部承受集中载荷F，载荷F的具体数值见表1，分析构件末端的角变形。

图3 承受集中载荷的变截面柔性构件示意图

表1 不同集中载荷作用下变截面柔性构件末端角变形的分析结果

2.1.1 解析法求解

柔性构件上距离固定端x(μm)处的任意截面A，设截面厚度为h(x)，可得h(x)=-x/15+50，单位为μm。则截面惯性矩为

构件承受垂直方向的集中载荷，由式(7)可得角变形的微分方程:

该构件截面厚度呈线性变化，求得其中性面的中心线的初始角度θ0(s)=-3.814°，沿构件长度方向将其10等分，即n=10，步长t=60μm。依该构件变形的边界条件有θ(0)=0，对式(13)依次求导，得到θ(s)的各阶导数，代入式(12)即可求得构件上各点的角变形。θ(L)=θ(s10)为构件末端角变形，即最大角变形。求解结果列于表1。

2.1.2 有限元分析

在ANSYS环境下，建立该变截面柔性构件的有限元分析模型。对其末端施加集中载荷，分析不同载荷作用下末端角变形的大小，其有限元分析结果列于表1。

2.2 均布载荷作用下变截面柔性构件的变形分析

变截面柔性构件，厚度沿长度方向呈圆弧规律变化，其结构如图4所示。几何参数如下:圆弧半径为 4520μm，圆心坐标位置为(600μm，4530μm)，L=600μm，ha=50μm，hb=10μm，构件宽度b=75μm，材料选用多晶硅，弹性模量E=169GPa，承受垂直方向的均布载荷作用，即qy(s)=q为定值，具体数值见表2，分析其末端角变形。

图4 变截面构件承受均布载荷作用示意图

表2 均布载荷作用下变截面柔性构件末端角变形的分析结果

2.2.1 解析法求解

柔性构件上距离固定端x处的任意截面A，设截面厚度为h(x)，可得

则其截面惯性矩为

构件承受均布载荷作用，由式(7)可得角变形微分方程:

构件的截面厚度呈圆弧变化，其中心线的初始角度可根据各等分点处圆弧曲线的斜率求得。利用上面的分析结果，沿构件长度方向将其10等分，即n=10，步长t=60μm。依该构件变形的边界条件有θ(0)=0。对式(14)依次求导，得到θ(s)的各阶导数，代入式(12)即可求得柔性构件上各点的角变形。θ(L)=θ(s10)为末端的角变形，即最大角变形。求解结果列于表2。

2.2.2 有限元法分析

在ANSYS环境下，建立变截面柔性构件的有限元分析模型，对其施加均布载荷，分析不同均布载荷作用下末端角变形的大小，分析结果列于表2。由表1、表2中的数据可明显看出，采用本文建立的微分方程求解变截面柔性构件的角变形，所得变形结果与有限元法分析结果的相对误差均在2%以内，充分表明该变形分析方法的正确性。

3 结论

(1)本文针对变截面的柔性构件在任意载荷作用下的变形进行了分析，以Bernoulli－Euler梁的基本变形方程为理论基础，建立了求解任意载荷作用下变截面柔性构件变形的二阶非线性微分方程，采用泰勒级数展开的离散化数值计算方法对其进行了求解，给出了具体的求解过程。

(2)利用本文提出的分析方法与建立的微分方程，对变截面的柔性构件在集中载荷与均布载荷作用下的变形分别进行了分析计算，同时采用有限元法对上述变形进行了模拟分析，将两种方法所得的分析结果进行了对比，两者的相对误差在2%以内，具有较好的一致性，表明了本文提出的分析方法与所建立的微分方程的有效性与正确性。

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