FIR数字滤波器两种设计方法的比较

耿玉茹

（成都工业学院 电气与电子工程系，四川 成都610031）

0 前言

FIR滤波器能严格做到线性相位和群时延为常数，并且不会因为滤波运算的舍入误差而产生极限环振荡现象。但它与IIR滤波器相比存在需要较高节数和滤波过程时间较长的缺点。常见的FIR滤波器设计方法有窗函数法，频率采样法，和切比雪夫等波纹优化设计法。本文将对窗函数法和切比雪夫等波纹优化设计法进行比较。[1]

1 设计方法比较

1.1 窗函数法

窗函数法的设计是在时域中进行的。设理想滤波器的单位脉冲响应为 hd（n），则有：

因而，一旦 Hd（ejω）给定，就可求得 hd（n），但这样求得的 hd（n）一般是无限长，且是非因果的。为了得到一个因果的有限长的滤波器h（n），要使用一个窗口函数 ω（n）对 hd（n）进行加窗处理，即：

因此选择窗口函数的形状和长度就成了窗口函数法的关键。表1列出了6种窗函数基本参数的比较。

表1 6种窗函数基本参数的比较

利用窗函数设计FIR滤波器的过程可设计如下：

1）利用式（1-2），由给定的滤波器的幅频响应参数求出理想的单位脉冲响应 hd（n）。

2）按允许的过渡带宽度Δω及其阻带衰减As=-201gδs，选择合适的窗函数 ω（n），并估计节数，其中A由窗函数的类型决定。

4）求h（n）=hd（n）ω（n）。

5）必要时验算FIR滤波器的频率响应。

1.2 等波纹设计法

我们所希望设计的滤波器幅度响应为Hd（ω），实际逼近的幅度响应为Hg（ω）。线性相位FIR DF根据单位抽样响应h（n）的奇偶对称性以及h（n）的长度N的奇偶性，总共可以分为四种类型。四种情况的Hg（ω）统一形成以下的形式：

其中，Q（ω）为已知的三角函数，P（ω）是关于 cos（nω）的线性组合。则加权切比雪夫误差公式可定义为：

其中：E（ω）为加权误差，W（ω）为逼近误差加权函数。 将（1-4）式代入（1-5）式并令：

则，

（1-8）式也是最终的加权切比雪夫逼近误差函数公式。那么线性相位FIR DF的加权切比雪夫等波纹逼近问题实际上就是求解P（ω）表达式的问题,从而使得在实行逼近的频带范围A（包括通带和阻带）内，E（ω）的最大绝对值达到最小。在此定义该最小值表达式为：

为了求解（1-9）式，Parks-McClellan把逼近理论中的交错点定理应用到滤波器设计中，从而得出了如下的交错定理：

设P（ω）是r个余弦函数的线性组合,即：

P（ω）在A上能唯一的最佳逼近连续函数Dˆ（ω）的充分必要条件是：加权误差函数E（ω）在A内r+1个极值频率点,即在A中存在ω1＜ω2＜…＜ωr+1共r+1个频率点,各频率点均满足关系式：

利用MATLAB提供的remez函数实现Parks McClellan算法，设计滤波器逼近理想频率响应，所得到的最佳一致滤波器的频率响应具有等波纹特性。[2]

2 试验验证及结论

分别使用窗函数法和等波纹优化法设计设计出采样频率为2GSPS，截止频率300MHz的线性相位滤波器。要求滤波器的阻带衰减不小于40dB，通带波纹不大于3dB。利用MATLAB仿真得到下面两幅图。[3]

图1 等波纹优化设计出的33阶低通滤波器

图2 使用布莱克曼窗设计出的33阶低通滤波器

通过图1和图2的比较可以看出，在在同样的阶数下，等波纹最佳逼近的优化设计方法可以获得较准确的截止频率，具有通带和阻带平坦，过渡带窄等优点。

［1］黎雄,张学智.FIR数字滤波器的最优化设计及MATLAB实现[J].信息技术，2004(10)：38-39.

［2］刘益成,孙祥娥.数字信号处理[J].电子工业出版社，2004：214-225.

［3］巍巍.MATLAB 信息工程工具箱技术手册[M].国防工业出版社，2004：1-3.