软集和模糊集的相互转化

蔡晓波 刘用麟

（1.漳州师范学院 数学与信息科学系，福建 漳州 363000；2.武夷学院 数学与计算机学院，福建 武夷山 354300）

一、软集和模糊集的定义和同构

美国学者Zadeh于1965年提出的模糊集理论[1]，以及Molodstov于 1999年提出的软集理论[2]，都是用以处理研究不确定性的数学方法。

定义1[1]设U为论域，则U上的一个模糊集A由U上的一个实值函数uA:U→[0，1]来表示。对于u∈U，函数值uA（u）称为u对于A的隶属度，而函数uA称为A的隶属函数。

论域U上的所有模糊集的全体记为ζ（U），称为模糊幂集。

由模糊集的分解定理以及表现定理[1]，我们不难发现可以用截集来定义一个模糊集。

定义3 设U为论域，则U上的一个模糊集A由一个由[0，1]到 P（U）映射 Aλ定义，如果 Aλ满足其中，Aλ称为 A 的 λ截集称为元素u的隶属度。

不难证明对于模糊集的两种定义是等价的。在本文的讨论中，我们将更倾向于使用后者。

假设U为所考虑的论域，E为参数集，A⊂E，按照Molodstov的理论可以如下定义一个软集。

定义4[2]称一个序对（F，A）为U上的软集，其中F为A到U的幂集P（U）的一个映射。

比较定义3和定义4不难发现，模糊集是软集的特殊形式，软集可以认为是模糊集的一般化。所以，在本文的研究中，我们将把模糊集作为软集的同态或者同构直接认为是模糊集之间的同态或者同构。

实际上，由于一般的软集的元素之间并没有定义运算，所以对于一般软集之间的同态和同构的定义并没有学者研究过。本文将借用H.Aktas和N.Cogman在对软群的研究过程中提出的软群同态和同构的定义。

定义 5[3]设（F，A）和（H，B）分别是 G、K 上的软集，如果映射f，g满足以下条件：

（1）f是G到K的满同态；

（2）g是A到B的满射；

（3）∀ α∈ A ，f（F（α））=H （g（α）），

则称（f，g）是一个软集同态，称（F，A ）同态于（H ，B），简记（F，A）～（H ，B）。

如果 f是 G 到 K 的同构，g是双射，则称（f，g）是一个软集同构，称（F，A）同构于（H ，B），简记（F，A）≈（H ，B）。

对于两个没有定义任何运算的集合之间的满同态我们认为其等同于满射；对于两个没有定义任何运算的集合之间的同构我们认为其等同于一一映射。这们的处理方便我们将一般的软集和特殊的软代数统一考虑，而不是将讨论范围限定为一般软集或者某种特殊的软代数，如软群。

二、模糊集到软集的转化

前面已经提到，模糊集是特殊的软集。所以这里将要提到的模糊集对软集的转化实际上可以认为是两个软集之间的同构变化。

在不引起混淆的情况下，称软集（F，A）是由模糊集M生成的。

三、软集到模糊集的转化

本节将讨论特殊软集到模糊集的转化方法，在本节的其它部分，我们将试图使这一转化方法在更一般的软集上可用。

1、第一类软集

第一类软集可以看做是直接由模糊集生成的，其具体定义如下。

定理1 由模糊集生成的软集是第一软集。

证明：由第一类软集的定义，显然。

第一类软集到模糊集的转化是显然的。

定义8 设（F，A）是第一类软集，则模糊集M称为由（F，A）φ-生成的，其中

在不引起混淆的情况下，称模糊集M是由软集（F，A）生成的。

2、第二类软集

我们试图将软集到模糊集的转化推广到更一般的软集上，由此产生了第二类软集的概念。但是第二类软集并不是第一类软集的更一般形式，它只是为第一类软集的一般化所做的一个铺垫。

定义 9 设（F，A）是一个软集，φ：[0，1]→ A 是一个一一映射，且满足

则称（F，A）为第二类软集。

定理2 第二类软集能够可逆转化为第一类软集。

证明：设（F，A）为第二类软集，另设

则（G，A）是第一类软集。另由第二类软集的定义可知这一过程是可逆的。

3、第三类软集

第三类软集即是第一类软集的更一般形式。

定义 10 设（F，A）是一个软集，φ：[0，1]→A 是一个一一映射。则称（F，A）是第三类软集。

定理3 第三类软集能够可逆转化为第二类软集。

易证这一过程是可逆的。

定理4 第三类软集能够可逆转化为第一类软集。

证明：由定理2和定理3显然。

四、模糊集和软集相互转化的可逆性讨论

由于第三类软集能够可逆转化为第一类软集，所以在本节中，我们将主要讨论模糊集合第一类软集相互转化的可逆性。

我们所要讨论的可逆性将主要由以下四个定理给出。

综上所述，M≈N。

在以上的证明过程中，我们不难发现以下的特殊情况。

定理 6 设 M ∈ ζ（U），（F，A）是由 Mφ生成的模糊集，N 是由（F，A）ψ生成的模糊集，且 φ（λ）=ψ（λ），∀ λ∈[0，1]，则有 M=N。

证明：由定理5的证明过程，显然。

以上两个定理说明模糊集向软集的转化是可逆的。

定理7 设（F，A）是U上的第一类软集，模糊集M 是（F，A）ψ-生成的，第一类软集（G，B）是由 M φ-生成的，则（G，B）≈ （F，A）。

证明：设e为恒等映射；则e为U到U的同构，即同构的条件（1）成立。

由于 ψ是[0，1]到 A 的一一映射；φ是[0，1]到 B的映射，所以φ·ψ-1是A到B的一一映射，即同构的条件（2）成立。

在以上的证明过程中，我们不难发现以下的特殊情况。

定理8 设（F，A）是U上的第一类软集，模糊集M 是（F，A）ψ-生成的，第一类软集（G，B）是由 M φ-生成的，且 ψ（λ）=φ（λ），∀ λ∈ [0，1]，则（G ，B）=（F，A）。

证明：由定理7的证明过程，显然。

以上两个定理说明第一类软集向模糊集的转化是可逆的。

五、其它的特殊软集

本文主要讨论了第一类软集和模糊集之间相互转化的可逆性，以此为基础也可以证明第二类以及第三类软集和模糊集之间相互转化的可逆性。

实际上，我们感兴趣的还有其它的一些特殊软集。比如给定 U 上的一个软集（F，A ）,如果 A={α1，α2，…}为一个可数集。那么我们可以构造一个如下的二元函数

利用这一函数我们可以定义U上的一个模糊集M，其中

易证这一变化也是可逆的。

研究模糊集和软集之间的相互转化的目的是要利用模糊集的已有理论解决软集中的问题，或者反过来利用软集中的已有理论解决模糊集中的问题。不过本文将不会就此展开了。

[1]Zadeh L.A.Fuzzy Sets[J].Inform.Control,1965,8：338-353.

[2] Molodstov D.Soft sets theory-first results[J].Comput.Math.Appl.,1999,37：19-31.

[3] Aktas H.Soft Sets and Soft Groups[J].Inform.Sci.,2007,177：2726-2735.