半质环的交换性条件

黄志刚，巩英海

(哈尔滨理工大学，应用科学学院，哈尔滨150080)

1 引言

郭元春[1]1983年证明了半质环 R，若对任意的x，y∈R均满足条件(xy)2+x2y2∈Z(R)或(xy)2+y2x2∈Z(R)，则 R 是交换环.朱捷等[2]1998年把y固定为某正则元得到了相同的结论.朱捷等[3]又在年得到了更多的使半质环交换的二项四次中心多项式条件.肇慧等[4]年将中心条件改为换位子在中心推广了此结论.2007年王延鹏等[5]把朱捷，于宪君的结论中次方推广为2m次方.王琳琳等[6]又将王延鹏条件限制在某子结构上，并在其毕业论文中将二项式推广为三项式.2011年谢中根[7]又得到了使半质环交换的新的二项四次中心多项式条件.此外，2008年朱捷等[8]对其2003年的工作在项数上做一般性推广，得到六项四次齐次式的新条件.本文将综合以上工作，在次数及项数上做推广尝试.

2 主要结论

本文中的环均为结合环，Z(R)表示R的中心，Z+表示正整数集，Z(R)m×1表示每个元素都在Z(R)中的m行1列矩阵，A*表示方阵A的伴随矩阵.

为证明本文主要结论首先证明下面引理.

引理 设R为半质环，m为自然数，a∈R，且2ma为正则元，如果R满足下列条件之一，则a不为幂零元，且a2m∈Z(R).

(A)(xa)2m+s1xma2mxm+s2x2ma2m+s3a2mx2m+s4a2mam∈Z(R)，∀x∈R;

(B)(ax)2m+s1xma2mxm+s2x2ma2m+s3a2mx2m+s4amx2mam∈Z(R)，∀x∈R.其中:s1，s2，s3，s4为固定整数，且 s1+s2+s3+s4=1.

证明:若设a为幂零元，则有1＜k∈Z+，使得ak=0，且 ak－1≠0，进而有 2ma·ak－1=0，而 2ma为正则元，故ak－1=0，矛盾.所以a不为幂零元.

取x=a，代入(A)中有 2a4m∈Z(R)，由2ma为正则元，得a4m∈Z(R).

取 x=a2，代入(A)中有 2a6m∈Z(R)，由 2ma为正则元，得 a6n∈Z(R).而 a6m=a4m·a2m∈Z(R)，由a4m∈Z(R)且a不为幂零元，故可得a2m∈Z(R).同理可证满足(B)时a也不为幂零元，且a2m∈Z(R).

定理1 设R为半质环，m为自然数，a∈R，且2ma为正则元，如果R满足下列条件之一，则R为交换环.

1)(xa)2m+s1xma2mxm+s2x2ma2m+s3a2mx2m∈

Z(R)，∀x∈R;

2)(ax)am+s1xma2mxm+s2x2ma2m+s3a2mx2m∈Z(R)，∀x∈R.

其中:s1，s2，s3为固定整数，且 s1+s2+s3=1.

证明:该定理的条件(1)为上述引理条件(A)当s4=0时的特例，所以可得a2m∈Z(R)，故(1)可化为(xa)2m+x2ma2m∈Z(R)，故由文献[5]得为R交换环.同理可证明满足(2)时环R也是交换的.

若加强引理的条件，则可得到更一般的多项式条件使得半质环交换.

定理2 设R为半质环，m为自然数，a∈R，当2m!a为正则元时，如果R满足下列条件之一，则R为交换环.

3)(xa)2m+s1xma2mxm+s2x2ma2m+s3a2mx2m+s4amx2mam∈Z(R)，∀x∈R;

4)(ax)2m+s1xma2mxm+s2x2ma2m+s3a2mx2m+s4amx2mam∈Z(R)，∀x∈R.

其中:s1，s2，s3，s4为固定整数，且 s1+s2+s3+s4=1.

证明:上述引理在该定理条件下也成立，故a2m∈Z(R)，取 x=(1+am)a2m代入(3)中有

((1+am)a2m·a)2m+s1((1+am)a2m)ma2m((1+am)a2m)m+s2((1+am)a2m)2ma2m+s3a2m((1+am)a2m)2m+s4am((1+am)a2m)2mam∈Z(R)

从而得

(1+am)2m·a4m2·a2m+(1+am)2ma4m2·a2m∈Z(R)

即得 2(1+am)2ma4m2·a2m∈Z(R).又由2m!a为正则元上式可得(1+am)2m·a2m∈Z(R)，将此展开得

如果取 kam，k=1，2，3…m，则可得:

可记为 Aα=β∈Z(R)m×1，进而有 A*Aα=A*β∈Z(R)m×1，即有

又知|A|2mam∈Z(R)，则当2m!a为正则元时，am∈Z(R).故式(3)可化为(xa)2m+x2ma2m∈Z(R)，由文献[5]得R是交换的.同理可证满足式(4)时R也是交换的.

3 结语

定理2虽然比定理1的多项式条件更广泛，但是需要附加扭自由的限制.目前，还没有找到合适的例子说明这个附加条件是必要的.这将是今后的一个研究方向.另外，于宪君[8]已经在次数为2的时候将多项式条件推广为最一般的6项式，在次数不为2时能否做到也是日后需要考虑的内容.

[1] 郭元春.环的交换性条件[J].吉林大学自然科学学报，1983(2):19－25.

[2] 朱 杰，于宪君，国春光.关于半质环的中心与交换性[J].黑龙江大学自然科学学报，1998，15(4):28－29.

[3] 朱 捷，于宪君.关于半质环的几个交换性条件[J].哈尔滨师范大学学报:自然科学版，2003，19(3):9－10.

[4] 肇 慧，杨新松.关于半质环的几个交换性条件[J].哈尔滨理工大学学报，2004，9(5):90 －91.

[5] 王延鹏，陈光海.关于半质环的几个交换性条件[J].哈尔滨理工大学学报，2007，12(6):77 －78.

[6] 王琳琳，杨新松.使半质环交换的两个子结构条件[J].哈尔滨商业大学学报:自然科学版，2009，25(4):475－476.

[7] 谢中根.特征非2半质环的交换性定理[J].大学数学，2011，27(1):73－74.

[8] 朱 捷，于宪君.关于半质环的几个交换性条件[J].黑龙江大学自然科学学报，2008，25(4):450－451.