右-ewlpp半群

王春茹，任学明，吕敏红

(1．西安建筑科技大学华清学院，陕西西安710043;2．西安建筑科技大学数学系，陕西西安710055;3．西安航空学院，陕西西安710077)

1 准备知识

作为广义正则半群的推广，1997年，文献［1］介绍了广义Green＊＊-关系，如果 S是半群，对于任意a，bS，(a，b)L＊＊，当且仅当对于任意x，yS1，(ax，ay)R⇔(bx，by)R，其中，R是通常Green-关系中的R ．而且文献［1］证明了L＊＊是半群S上的右同余．根据文献［2］，我们给出wlpp半群的定义:

定义1［2］半群S称为wlpp半群，如果满足:

(i)S的每一个R＊＊类至少包含S中的一个幂等元．

定义2［2］设S是wlpp半群，如果对于任意x，yS1，x≠1 有 xey=xye，其中 eE(S)，则S称为右-e wlpp半群．

引理1 如果半群S是右-e wlpp半群，则S的每一个R＊＊类包含唯一一个幂等元．

半群S中的R＊a＊-类中的唯一幂等元记为a†．因为S是右-e wlpp半群，所以对任意aS，有 aa†=a=a†a．

引理2 如果S是右-e wlpp半群，则R＊＊是S上的一个同余．

证明 显然 R＊＊是自反的、对称的．先证明R＊＊是传递的．

再证明 R＊＊是相容的．设(a，b)R＊＊，a，bS，则 a†=b†．如果对任意 x，yS1，cS，有(xac，yac)L．因为(c，c†)R＊＊，则(xac†，yac†)=(xa†ac†，ya†ac†)L，即(xa†c†a，ya†c†a)L．又因为(a，b)R＊＊，所以 a†=b†，进而(xa†c†b，ya†c†b)L，因此(xb†c†b，yb†c†b)=(xb†bc†，yb†bc†)，根据(c，c†)R＊＊，可得(xbc，ybc)L．

引理3 设S是一个右-e wlpp半群，对于任意a，bS，有(ab)†=a†b†．

定义3 令S为一个右-e wlpp半群，在S上定义关系 ρ:对于任意 a，bS，aρb 当且仅当存在 fE(b†)使得 a=fb．

引理4 令S为右-e wlpp半群，则上述的关系ρ是S上的同余．

其次证明 ρ 是传递关系．假设 aρb，bρc，则E(a†)=E(b†)=E(c†)且 a=fb，b=gc(f，gE(b†)(=E(c†))．因为 E(b†)是一个左零带，因此a=fb=f(gc)=fc．所以，ρ是S上的等价关系．

引理5 令S是一个右-e wlpp半群，如果对任意 a，bS，aL＊＊b，则 aρL＊＊s/ρbρ．

证明 如果 aR＊＊b，则对任意 x，yS1，xρ，yρ(S/ρ)1．由((xa)ρ，(ya)ρ)LS/ρ推出((xb)ρ，(yb)ρ)LS/ρ．

引理6 如果S是一个右-e wlpp半群，则

定义4［2］如果半群S的每一个R＊＊-类仅含有一个幂等元，并且S的所有幂等元是它的中心，则称S是一个C-wlpp半群．

定理1 如果S是一个右-e wlpp半群，则ρ是半群S上的一个最小的C-wlpp半群同余关系．

证明 假设S是一个右 -e wlpp半群，则S/ρ是一个wlpp半群．再证S/ρ的每一幂等元是S/ρ的中心．任取xρS/ρ，eρE(S/ρ)，则 ex=exe=(ex†(xe))．因为(x†e)(ex†)=x†e，且 (ex†)(x†e)=ex†，所以 ex†E(x†e)=E((xe)†)．因此，由 ρ 的定义，可知(ex，xe)ρ，所以(xρ)(eρ)=(eρ)(xρ)．这就证明了S/ρ是一个C-wlpp半群．

最后证明ρ是半群S上的一个最小的C-wlpp半群同余关系．假设τ是半群S上的一个同余关系，则S/τ是一个 C-wlpp半群．设(a，b)ρ，则 a=fb(fE(b†))，因为 S/ρ 是一个 C-wlpp 半群，E(b†)是一个左零带，则 aτ=fτb τ=(bb†)τfτ=b τ(b†f)τ=(bb†)τ=b τ，所以 ρ⊆τ．

2 主要结果

定理2 令S是一个半群，则下面结论等价:(i)S是一个右-e wlpp半群．

(ii)S是C-wlpp半群和左正规带关于半格Y的织积．

(iii)S是一个L右可消半群Mα×Eα的强半格．

证明 (i)⇒(ii)假设S是一个右-e wlpp半群．则S/ρ是一个C-wlpp半群，意味着S/ρ的幂等元在中心．据文献［3］，S/ρ可表示为L-右可消幺半群Mα(αY)的强半格，记为:［Y;Mα;Φα，β］，其中Mα是 S/ρ 的R＊＊-类，Y=(S/ρ)/R＊＊．易得=JE(S)．因为E(S)是一个左正规带，所以E(S)=［Y;Eα;Φα，β］．其中，Y=E(S)E(S)是Eα的左零带．于是构造出S/ρ和E(S)关于半格Y的织积［4］，记为:T=∪αY(Mα×Eα)．其中 T上的乘法定义为:(m，i)·(n，j)=(mn，ij)，mn 是 S/ρ中m和n的乘积，ij是E(S)中i和j的乘积．

证明 S≃T，先定义一个映射 θ:S→T，即sa(sρ，s†)．

(st)θ =(stρ，(st)†)=(sρ，s†)(tρ，t†)=(sθ)(tθ)，所以θ是同态映射．S同构于C-wlpp半群和左正规带关于半格Y的织积．

(ii)⇒(iii)．假设S=∪Mα×Eα是一个C-wlpp半群 M=［Y;Eα;Φα，β］和一个左正规带 E=［Y;Mα;Φα，β］关于半格 Y 的织积［6］．则对任意 α，βY，α≥β，且(a，i)，(b，j)Mα×Eα，定义一个映射Φα，β:S→S，即:(a，i)Φα，β=(aΦα，β，iΨα，β)，其中Φα，β和 Ψα，β是关于 M 和 E 的结构同态．假设(a，i)，(b，j)S，则

所以Φα，β是一个同态映射．显然Φα，α是一个恒等映射．对任意 α，β，ρY，α≥β，β≥ρ，有 Φα，β·Φβ，ρ= Φα，ρ．设(m，k)Mα×Eα，(n，j)Mβ×Eβ，且记 ρ=α·β，则

因此，S是一个L右可消半群Mα×Eα的强半格．

(iii)⇒(i)．假设S是一个L右可消半群Mα×Eα的强半格，Φα，β是一个结构同态，Sα=Mα×Eα．任取(a，i)E(S)，则存在 αY，使得(a，i)E(Sα)．因为(a，i)2=(a2，i)=(a，i)，显然 a2=a(a，a2L(Mα))，所以(1α，a)L(Mα)，又因为Mα是L右可消幺半群，所以1α=ua(uMα)．因此 a=1αa=ua·a=ua2=ua=1α．所以 E(S)⊆∪{(1α，i):1α是Mα的一个恒等元，iEα}．反之亦然．所以E(S)=∪{(1α，i):1α是Mα的一个恒等元，iEα}．

因此

同理，得 abe=(aΦα，δ)(bΦβ，δ)(eΦρ，δ)=(xy，i)．

因此aeb=abe．所以S是一个右-e wlpp半群．

［1］TANG Xiangdong．On a theorem of C-wrpp semigroups［J］．Commun Algebra，1997，25(5):1499-1504．

［2］DU Lan，SHUM K P．On left C-wrpp semigroups［J］．Forum，2003，67:373-387．

［3］REN X M，DING X L，SHUM K P．A new structure theorem of left C-wrpp semigroups［J］．International Journal of Algebra，2007，1:41-49．

［4］TANG Xiangdong．Semilattice of L＊＊-simple semigroup［J］．Semigroup Forum，1998，57:37-41．

［5］THOMASW H．Algebra［M］．Seattle，Washington:Springer Press，1973．

［6］HOWIE J M．Fundamentals of semigroup theory［M］．Oxford:Clarendon Press，1995．