改进的参数活动轮廓模型*

潘改 高立群

(东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳110819)

参数活动轮廓模型又称为Snake模型［1］，是偏微分方程应用在图像分割中的一种经典模型，主要用于边缘提取［2-5］和目标跟踪［6-9］，其基本思想是将分割问题转化为求取能量泛函最小值问题，通过求取能量泛函的最小值来驱使轮廓曲线运动到目标的边界，并停止在目标的边界上．

经典参数活动轮廓模型具有如下特点:①外力场作用范围小，轮廓曲线难以进入凹陷区域，曲线的初始位置必须接近目标边缘;②难以得到弱边界的梯度信息，使梯度信息难以向四周扩散，能量泛函的最小值难以驱使轮廓曲线停止在目标的弱边界上，因而容易造成误分割;③噪声扩散的作用范围小，具有较强的抗噪性．

为扩大参数活动轮廓模型外力场的作用范围，学者们提出了许多改进的方法．如Xu等［10］提出了梯度矢量流(GVF)模型，该模型从图像边界开始向光滑区域扩散，逐渐形成一个全局的向量场;Li等［11-12］将卷积向量场(VFC)作为参数活动轮廓模型的外力场，即向量场的核函数卷积梯度图像;文献［13-14］中将由向量场的核函数卷积Harris矩阵得到的梯度图像作为活动轮廓模型的外力场(HVFC)．GVF、VFC和HVFC模型均扩大了Snake模型外力场的捕获范围，能够驱使轮廓曲线进入凹陷区域．相对于GVF模型，VFC和HVFC模型的计算更简单，能够克服噪声对强边界分割效果的影响;相对于VFC模型，HVFC模型既能很好地获取弱边界的梯度信息，使其向光滑区域扩散，又能分割含有弱边界的目标．GVF、VFC和HVFC模型均是改进的参数活动轮廓模型，但无法解决含有噪声和弱边界的分割问题，难以驱使轮廓曲线停止在目标边界上．

为扩大Snake模型外力场的捕获范围，解决噪声对弱边界分割效果的影响，文中结合Snake模型的外力场可以限制噪声扩散和VFC模型的外力场可以扩大边界向光滑区域扩散的特点，提出了一种新的参数活动轮廓模型，即融合Snake模型的外力场和卷积向量场作为文中模型的外力场．该模型首先采用Harris矩阵计算梯度图像，然后估计局部区域的噪声概率，确定Snake模型的外力场和卷积向量场在文中外力场的作用权重，最后得到相应的全局向量场驱使轮廓曲线进行运动．

1 参数活动轮廓模型和卷积向量场

1．1 参数活动轮廓模型

Kass等［1］提出的参数活动轮廓模型通过给定的一条轮廓曲线 C(p)=(x(p)，y(p))，p∈［0，1］，构建关于轮廓曲线的能量泛函，将分割问题转化为求取能量泛函最小值问题，其能量泛函为

式中，Eint(C(p))是依赖于轮廓曲线C(p)的内部能量项，Eext(C(p))是依赖于图像特征的外部能量项．

Eint(C(p))是关于轮廓曲线伸缩和弯曲的能量泛函，定义为

Eext(C(p))是关于梯度图像的能量泛函，定义为式中，是固定系数，是梯度算子，I是要分割的灰度图像．

由变分原理知，要使Esnake最小，轮廓曲线C(p)应满足欧拉方程:

式中:fint=αC″(p)-βC‴(p)，是轮廓曲线C(p)的内力;fext=- Eext，是轮廓曲线C(p)的外力．

最小化Eint(C(p))就是要求轮廓曲线尽可能短并且尽可能光滑，最小化Eext(C(p))就是要求轮廓曲线尽可能停止在达到极大值的位置，即图像目标的边界上．参数活动轮廓模型采用梯度图像作为外力场，捕获范围小，难以驱使轮廓曲线进入凹陷区域，对轮廓曲线的初始位置比较敏感，即初始位置必须设置在目标的边缘处．由于外力场的捕获范围小，噪声的捕获范围也小，因此参数活动轮廓模型具有较强的抗噪性．

1．2 卷积向量场

Li等［11-12］将VFC作为参数活动轮廓模型的外力场，通过梯度图像卷积向量场核函数实现，即式中:f(x，y)是梯度图像;*代表卷积;k(x，y)是向量场核函数，定义为

uk(x，y)和 vk(x，y)分别是向量场核函数 k(x，y)的水平分量和垂直分量;n(x，y)是指向k(x，y)到点(0，0)的单位向量)是像素点(x，y)到点(0，0)的距离;m(x，y)是像素点(x，y)的向量模，m(x，y)=(r+ ε)-γ，γ 是给定的系数，调节向量模m(x，y)的递减程度．

由VFC模型的核函数卷积梯度图像能够得到全局向量场，扩大了Snake模型外力场的捕获范围，但同时也扩大了噪声的捕获范围．虽然强边界的捕获范围大于噪声，一定程度上降低了噪声对分割的干扰，但当待分割的图像目标同时含有噪声和弱边界时，弱边界的捕获范围小于噪声，噪声严重干扰图像分割，难以得到理想的分割效果．相对于VFC模型，HVFC模型能更好地获得弱边界的梯度信息，但难以解决噪声对弱边界分割的影响．

2 混合参数活动轮廓模型

经典参数活动轮廓模型采用梯度图像作为外力场，虽然捕获范围小，但能很好地限制噪声的扩散，一定程度上可以减少噪声对图像分割的影响，具有较强的抗噪性;采用卷积向量场作为活动轮廓模型的外力场，扩大了外力场的捕获范围，但同时也扩大了噪声的捕获范围．为扩大参数活动轮廓模型外力场的捕获范围，同时尽量缩小噪声的捕获范围，减少噪声对图像分割的影响，文中结合参数活动轮廓模型和卷积向量场的优点，提出了一种新的参数活动轮廓模型，融合Snake模型的外力场和卷积向量场作为文中模型的外力场，即

式中，μ是局部区域的噪声概率，用于调节fVFC和fext在文中外力场的作用．当μ=1时，fPVFC=fext，参数活动轮廓模型的外力场是文中向量场的一个特例，难以得到理想的分割效果;当μ=0时，fPVFC=fVFC，卷积向量场是文中向量场的一个特例，难以得到理想的分割效果．

向量场fVFC和fext的形成都与图像梯度有关．为了更好地得到弱边界的梯度信息，文中采用Harris矩阵［13-14］来求取梯度图像．Harris矩阵为

记Harris矩阵M对应的特征值分别为1和，则

任意像素点(x，y)的噪声概率μ(x，y)应该满足以下条件:

(1)噪声概率 μ(x，y)应该与点(x，y)的局部区域(即均值和方差)有关，均值表示局部区域期望的灰度值，方差表示局部区域灰度值与均值的偏离程度，偏离程度越小，噪声概率μ(x，y)越小，偏离程度越大，噪声概率μ(x，y)越大;

(2)当局部区域的中心像素点(x，y)是噪声时，μ(x，y)的取值较大，否则，μ(x，y)的取值较小［15］．

采用高斯函数计算μ(x，y)能够满足噪声概率的条件，因此，概率μ(x，y)的计算公式为

从式(10)可以看出:当 I(x，y)≈ (x，y)时，接近于 0，这说明局部区域的中心像素点是噪声的概率非常低;而当I(x，y)＞ (x，y)或者 I(x，y)＜ (x，y)时，接近于 1，这说明局部区域的中心像素点是噪声的概率非常高．

文中外力场融合了参数活动轮廓模型的外力场和卷积向量场，因此如何确定参数活动轮廓模型的外力场和卷积向量场在文中模型中的作用非常重要，应使其既可以扩大外力场的捕获范围，又可以缩小噪声的作用范围，减少噪声对图像分割的影响．根据局部区域的均值和方差计算噪声的概率，能够有效地调节参数活动轮廓模型和卷积向量场在文中模型中的作用:当平坦区域没有噪声时，参数活动轮廓模型的外力场忽略不计，卷积向量场起主要作用，扩大外力场的捕获范围;当平坦区域存在噪声时，参数活动轮廓模型外力场的作用增强，卷积向量场的作用减弱，起到限制噪声扩散的效果．

3 仿真实验

为说明文中模型的有效性，分别对合成梯度图像和医学图像(http:∥www．china-radiology．com/portal．php)进行仿真对比实验，实验平台是操作系统为Windows XP的个人计算机(Intel D820 CPU、2GB内存)，采用Matlab 7．04编写程序．

在仿真试验中，对于给定相同位置的轮廓曲线，将文中模型的分割效果与GVF、VFC和HVFC模型的分割效果进行了对比，其中参数设置如下:α=0．5，β =0．1，r=1．8，局部区域的大小是3 ×3．

为说明噪声对弱边界分割的影响，对于给定相同位置的初始轮廓曲线、密度为0．045的脉冲噪声和不同目标边界的梯度(目标边界的梯度值是噪声梯度值的0．5倍，目标边界的梯度值等于噪声的梯度值)，采用GVF、VFC、HVFC和文中模型对合成梯度图像进行分割，结果如图1所示．图1表明:GVF模型得到了错误的分割结果，说明强边界和弱边界的捕获范围等于或者小于噪声，难以克服噪声的干扰;VFC和HVFC模型的分割效果较理想，说明强边界的捕获范围大于噪声的捕获范围，而弱边界的捕获范围小于强边界的捕获范围，噪声的捕获范围相对增大，容易吸引轮廓曲线停留在噪声上而得到错误的分割结果;文中模型得到了准确的分割结果，说明强边界或弱边界的捕获范围均大于噪声的捕获范围．文中模型能够准确地分割含有凹形的图像目标，说明其外力场能够扩散到凹形区域，从而解决图像的凹陷问题．

图1 几种模型对合成梯度图像的分割结果比较Fig．1 Comparison of segmentation results for synthetic edge images among several models

图2 原始的医学图像Fig．2 Initial medical images

轮廓曲线1的初始位置设置在图2(a)所示的脑膜瘤内部(脑膜瘤是待分割的目标)，几种模型的分割结果如图3(a)所示．该图像目标灰度不均匀，存在噪声和弱边界，噪声产生不需要的梯度信息，而弱边界难以得到需要的梯度信息，从而影响图像的分割．从图3(a)可知:在GVF模型中，噪声的扩散能够吸引轮廓曲线向噪声方向运动，而弱边界的扩散难以吸引轮廓曲线向弱边界方向运动并停止在弱边界上，故得到错误的分割结果;虽然VFC和HVFC模型的目标边界在一定程度上能够限制噪声梯度的扩散，但目标边界是弱边界或噪声距离目标边界较远时，目标边界限制噪声梯度扩散的能力有限，因而得到错误的分割结果;文中模型采用参数活动轮廓模型的外力场来扩散噪声的梯度，因此能够限制噪声梯度的扩散，得到准确的分割效果．

图3 几种模型对医学图像的分割结果比较Fig．3 Comparison of segmentation results for medical images among several models

轮廓曲线2的初始位置设置在图2(b)所示的脑膜瘤的外部(脑膜瘤是待分割的目标)，存在噪声，目标边界距离脊髓液的边界较近，而脊髓液是强边界．从图3(b)可知:在 GVF、VFC和 HVFC模型中，脊髓液边界的扩散范围不同程度地大于目标边界的扩散范围，从而吸引轮廓曲线运动到脊髓液的边界上;文中模型能够吸引轮廓曲线向目标边界运动，从而得到准确的分割效果．

为说明噪声对文中模型的影响，对于给定相同位置的初始轮廓曲线，分别添加密度为0．10、0．15、0．20和0．30的脉冲噪声，然后采用文中模型进行分割，结果如图4所示．从图中可以看出，文中模型具有一定的抗噪性，但随着噪声的增多，图像的分割效果越来越差．

图4 噪声对文中模型分割结果的影响Fig．4 Effect of noise on segmentation results obtained by the proposed model

为进一步比较GVF、VFC、HVFC和文中模型的优劣，将这4种模型的分割结果与理想的分割结果进行比较，计算其准确率，结果如表1所示．准确率越高，误分割越少，分割效果越好．准确率的定义为

式中，SP为分割出来的目标轮廓图像中像素点集合与理想轮廓图像中像素点集合的交集，SN为分割出来的背景像素点集合与理想轮廓图像中背景像素点集合的交集，STP为理想轮廓图像中目标像素点集合，STN为理想轮廓图像中背景像素点集合，P(S)表示集合S中的元素个数．

表1 几种模型对图2的分割准确率比较Table1 Comparison of segmentation accuracies for Fig．2 among several models

从表1可知，文中模型的分割准确率高于GVF、VFC、HVFC模型，因此其分割效果更优．

综合上述分析可知，对于合成梯度图像和医学图像，文中模型能够准确地分割出目标，即轮廓曲线停止在目标边界上，分割准确率优于GVF、VFC和HVFC模型．因此，文中模型既能扩大外力场的捕获范围，驱使轮廓曲线进入凹陷区域，又能分割出含有弱边界的目标，同时消除噪声对弱边界分割的影响．

4 结语

为扩大Snake模型外力场的捕获范围，解决噪声对弱边界分割效果的影响，文中提出了一种新的参数活动轮廓模型，融合了Snake模型的外力场和卷积向量场作为文中模型的外力场，使其能够扩大外力场的捕获范围，缩小噪声的捕获范围，进而得到全局向量场．文中模型能够驱使轮廓曲线向凹陷区域运动，对轮廓曲线的初始位置有很好的适应性，同时克服了噪声对弱边界分割效果的影响．仿真实验结果表明，文中模型能够解决传统参数活动轮廓模型无法解决的含有噪声和弱边界的分割等问题，获得更准确的分割结果．将文中模型的外力场应用于图像跟踪，扩大其应用范围，是下一步研究的重点．

［1］Kass M，Witkin A，Terzopolos D．Snake:active contour models［J］．International Journal of Computer Vision，1988，1(4):321-331．

［2］Vard AliReza，Monadjemi AmirHassan，Jamshidi Kamal，et al．Fast texture energy based image segmentation using directional Walsh-Hadamard transform and parametric active contour models［J］．Expert Systems with Applications，2011，38(9):11722-11729．

［3］Das Sitansu Kumar，Mukherjee Dipti Prasad．Parametric active membrane for segmentation of multiple objects in an image［J］．Pattern Recognition，2011，44(2):173-186．

［4］Zhang Fan，Li Rui，Liu Shuai．Contour extraction of gait recognition ［J］．Procedia Engineering，2010，7:275-279．

［5］Zhang Fan，Zhang Xinhong，Cao Kui，et al．Contour extraction of gait recognition based on improved GVF snake model［J］．Computers and Electrical Engineering，2012，38(4):882-890．

［6］江焯林，黎绍发，贾西平，等．基于非参数聚类和多尺度图像的目标跟踪［J］．华南理工大学学报:自然科学版，2009，37(1):34-41．Jiang Zhuo-lin，Li Shao-fa，Jia Xi-ping，et al．Target tracking based on nonparametric clustering［J］．Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2009，37(1):34-41．

［7］Tsechpenakis G，Rapantzikos K，Tsapatsoulis N，et al．A snake model for object tracking in natural sequences［J］．Signal Processing:Image Communication，2004，19(3):219-238．

［8］Sun Zheng．An intensive restraint topology adaptive snake model and its application in tracking dynamic image sequence［J］．Information Sciences，2010，180(16):2940-2959．

［9］Gai Jiading，Stevenson Robert L．Robust contour tracking based on a coupling between geodesic active contours and conditional random fields［J］．Journal of Visual Communication and Image Representation，2011，22(1):33-47．

［10］Xu Chenyang，Prince J L．Snakes，shapes，and gradient vector flow ［J］．IEEE Transactions on Image Processing，1998，7(3):359-369．

［11］Li Bing，Acton Scott T．Active contour external force using vector field convolution for image segmentation［J］．IEEE Transactions on Image Processing，2007，16(8):2096-2106．

［12］Li Bing，Acton Scott T．Automatic active model initialization via poisson inverse gradient［J］．IEEE Transactions on Image Processing，2008，17(8):1406-1420．

［13］Li Yibo，Li Junjun．Harris corner detection algorithm based on improved contourlet transform ［J］．Procedia Engineering，2011，15:2239-2243．

［14］Kovacs Andrea，Sziranyi Tamas．Harris function based active contour external force for image segmentation［J］．Pattern Recognition Letters，2012，33(9):1180-1187．

［15］Ghita Ovidiu，Whelan Paul F．A new GVF-based image enhancement formulation for use in the presence of mixed noise［J］．Pattern Recognition，2010，43(8):2646-2658．