关于几何直观的思考

■文/周伟萍

著名数学家M.阿蒂亚指出“几何是数学中这样一个部分，其中视觉思维占主导地位……几何直觉仍是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养”。几何直观不仅在“图形与几何”中，而且在整个数学中都发挥着重要作用。

一﹑几何直观概念的内涵

在数学教育文献中，直观是直接“从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想（状态）的能力”。徐利治先生提出，几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。《标准（2011年版）》对此的阐述是：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把抽象的数学问题变得简明﹑形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

二﹑几何直观把抽象的数学问题变得简明形象

数学是对抽象的东西作具体的研究，而抽象就是在思想上把事物的本质属性、特征抽象出来，并把这些本质属性、特征抽象与其他属性、特征抽象分离开来的思维过程。

在平面几何教学中，教师引导学生通过抽象思维在钝角三角形、直角三角形、锐角三角形中抽取出“三个角”和“三条边”的共同特征。但单一地用文字表述“钝角、直角、锐角、180°、等边”等相关概念，对初学者来说是无法理解的，但使用几何直观，则一目了然。

三﹑几何直观培养要在整个数学学习过程中实现

借助图形直观研究问题，通常先把研究的“对象”抽象成为“图形”，再把“对象之间的关系”转化为“图形之间的关系”，从而把所研究的问题转化为关于“图形的数量或位置关系”的问题，然后借助图形直观进行思考分析。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在“数与代数”、“统计与概率”的学习过程中都发挥着重要作用。如计算（-2）+3，我们用一个㈩表示+1，用一个㈠表示 -1，用㈩㈠表示 0，则（-2）+3=1。如合并同类项中使用几何直观，用小长方形表示8n、5n，求整个长方形的面积。长方形的面积可以用代数式表示为8n+5n，或(8+5)n，从而 8n+5n=(8+5)n=13n。先借助图形直观感受，再利用乘法分配率，使学生学习合并同类项由感性认识上升到理性的认识，有助于学生更好地理解掌握合并同类项法则。

四﹑学生的几何直观会随经验的积累逐渐增强

几何直观基于经验，几何直观的培养依靠学生亲身参与知识学习活动，观察、操作、思考、类比、归纳、判断等。如学习单项式乘以多项式，我们使用几何直观来说明等式成立，从“形”这一侧面来了解“数﹑式”。随后学习多项式乘以多项式﹑平方差公式﹑完全平方差公式时，学生会自觉联想和使用几何直观来探究问题。随着经验的积累，学生几何直观的使用能力会逐渐增强，直接带动解题能力的提高。

五﹑防止几何直观给学生解题带来负迁移

我们把数学教材中的公理说成是不经证明而采用的数学命题。这“不经证明而采用”被部分教师解释为“显而易见的事实”。其实，一个公理显然真实的性质并不是选它为公理的凭据，而是它便于推导其他命题。如北师大教材中“两直线平行，同位角相等”，更方便推出“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”。然而，这种“显而易见的事实”的说法，可能给学生造成错误的印象。在证明几何题时，几何直观给学生带来负迁移。凭图形的直观，把某个显然真实的东西作为理由来论证，这对学生的学习是非常有害的。教学过程中，借助几何直观把复杂的问题变得简明﹑形象，同时又要防止几何直观给学生解题带来负迁移。

在代数推理中，因为几何直观的直观性﹑具体性，所以能有效地帮助学生理解和记忆代数结论的意义和结构，使代数结论变得看得见，摸得着，易掌握。

在几何学习中，让学生以直观的认识为基础进行说理，将几何直观与简单推理相结合，发展学生的空间观念和推理能力，解决实际问题。凭学生的经验和直觉，发展合情推理，逐步渗透演绎推理，最后发展到两者并举。几何直观在几何学习中更显重要性。

在统计与概率的教学中，借助几何直观能很好地解决问题，如通过列表﹑画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能的结果，了解事件的概率。

几何直观能有效地帮助学生理解问题，说明问题，解决问题，更能帮助学生预测结果，记忆结果。要真正培养学生的几何直观，必须注意“对直观的培养不能单纯依赖传授，更重要的是依赖本人亲身参与其中的活动，包括观察﹑思考﹑判断等”。