微积分在数学建模中的应用

张 琪

（山西职业技术学院,山西 太原 030006）

微积分是高等数学的重要组成部分，是高等数学的核心内容。高职院校讲授的微积分主要包括：函数的极限、连续、导数（导数的应用）、微分、不定积分以及定积分。高等数学作为一门重要的基础学科和一种精确的数学语言，以一种高度抽象的形式出现。任何学科，只有走向应用，显示出它在各个领域中的作用，才能真正做到“学以致用”。而数学建模，正是联系数学与应用的重要桥梁，是数学走向应用的必经之路。

一、微积分的发展与数学模型

微积分的创立初衷是为解决17世纪的科学问题，如已知物体的加速度，求物体的速度和距离，求函数的最值，求曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、引力等问题。数学家通过对这些问题的研究，开启了数学最庞大部分的开端，也就是分析部分的开端。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹，总结和发展了几百年间前人的工作而建立了微积分，但他们的出发点是直观的无穷小量，尚且缺乏严密的理论基础。19世纪，柯西和魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的基础上，加之19世纪后半叶康托尔等建立了实数理论，又使极限理论有了严格的理论基础，从而使微积分的基础和思想方法日臻完善。微积分从创立到之后的发展，都与应用结合在一起，伴随着在各个领域的广泛应用，微积分才能形成如此完善、严密的理论体系。

数学模型是用数学符号、数字、公式、文字、图表等形式来对一个特定对象进行刻画描述，根据对象具有的内在规律，在作出必要、合理的简化假设的基础上得到的数学结构表达式。例如，某一地区的地质结构情况并不需要实物进行模拟，它可以用抽象的数学符号、数字和公式来反映。数学模型便是一种模拟，它用数学符号、数学式子、数学图象等来对实际问题进行抽象而又简洁的刻画，从数学的角度对它进行研究，或者能解释某些客观现象，或者能预测未来的发展变化等等。数学模型的建立需要对实际问题作深入细致的观察和研究，并且要巧妙地结合数学知识和数学工具，而这种从实际问题到提炼数学模型的过程，被称为数学建模。数学建模的基本过程可以简单地归纳为四个步骤：模型准备、建立模型、模型求解、模型检验。

二、微积分在数学建模中的应用

微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说是继欧氏几何后数学科学中最辉煌的创造。微积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。人们运用微积分建立了许多数学模型，卓越的英国物理学家、数学家牛顿在研究变速运动过程中发明了微积分（当时称为流术法），又以微积分为工具在开普勒三定律及牛顿第二定律的基础上，推导出牛顿第三定律——万有引力定律，这一发现直到今天仍是物理学中一条基本定律。英国人口学家马尔萨斯利用微积分建立了著名的人口指数增长模型（模型的基本假设为人口增长率是常数）。但从长期来看，人口不可能随时间无限增长，人口增长率会随环境、资源、战争等因素发生变化。19世纪中叶荷兰生物数学家韦尔侯斯特通过微积分建立阻滞增长模型，它不仅能够大体上描述人口及许多物种数量（鱼塘中的鱼群）的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用，例如耐用消费品的销售量。经济学中著名的数学模型道格拉斯生产函数、经济订货批量公式也是由微积分得到的。

微积分微分学主要涉及的科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率、求函数的极值及最值等问题，积分学则更多地运用于求由平面曲线围成的面积、立体图形的体积以及曲线的弧长等等问题。不同的实际问题运用微积分，用不同的数学语言来刻画，得到的数学模型也不相同。

利用导数知识，可以讨论经济学中常用的边际分析和弹性分析，例如商家应该怎样对市场进行预测、分析，产品如何定价及价格的调整会产生多大影响等问题。多元函数的微积分学涉及到多元函数偏导数、偏边际、偏弹性和交叉弹性、条件极值等内容，应用实例有衣物怎样漂洗最干净、相互关联商品的需求分析、拉格朗日乘数与影子价格等。函数的极值、最值多涉及比较简单的优化问题，例如易拉罐的形状与尺寸问题，怎样能提高材料的利用率，降低生产成本，特别是平均每天产量达到成千上万的大企业，成本问题尤其重要。利用积分的微元法，可以验证摆线的等时性（最速下降线问题），确定一条从A点到B点得曲线（B点在A点下方但不是正下方），使得一颗珠子在重力的作用下沿着这条曲线滑落所需时间最短，让人意外的是，它不是连接两点的直线或者圆弧，而是唯一的一条连接A点到B点的上凹摆线。这个结论可以解释为什么我国古代的宫殿庙宇的大屋顶的横截面大多近似呈摆线形状，除了外形雄伟，更具有屋顶雨水流动快的特点。微分方程一般用于建立动态模型，实际对象的某些特性随时间而变化，分析它的变化规律、预测未来的发展，有时会研究如何对其进行有效的控制。不仅在自然科学中存在着大量的微分方程，在社会科学、经济学中也存在着微分方程，例如计算固定资产的折旧、放射性元素的衰变、水库的污染问题等等。

微积分是微分学和积分学的统称，对高职学生来说，除了必要的理论学习与计算之外，更重要的是学习一种数学思想，并且学会运用这种思想来解决实际问题。微分就是“无限细分”，积分就是“无限求和”，“无限”便是极限，极限是微积分的基础，它是用一种“动态”的角度看待问题。如何将微积分与实际问题结合在一起，通过微积分来建立数学模型呢？下面来看两个实例。

1.森林救火模型

我们重点来分析建立数学模型的思路。

问题分析：消防站派出的队员越多，相对来说，灭火速度越快，那么森林的损失越小，但是救援的费用越大。如果为了节省救援费用，只派出少量队员，就会造成火灾持续时间延长，森林的损失就越大。所以需要综合考虑森林的损失费和救援费，使得两者的费用之和最低。显然，森林损失费、救援费与消防队员的人数有直接关系，以总费用最小来决定派出队员的数目。这样，救火问题便可以归结为微积分中的函数极值问题，可以直接用微分法求解。

在对实际问题进行深入分析之后，问题转化为如何建立一个总费用与消防队员人数两者之间的函数关系，即模型的目标函数。森林的损失费与森林烧毁面积成正比，救援费用分为两部分，一是灭火器材的消耗，消防队员的酬劳，与队员人数、灭火所用的时间有关，二是从消防站到火灾现场的运送费等一次性支出费，只和队员人数有关。在明确目标函数如何建立之后，其中一个难点便是如何找到森林烧毁面积B(t)的合理表示。下面我们就借助微积分来解决这一难题。由于森林的损失费用与森林的烧毁面积成正比，而烧毁面积与失火持续的时间有关，在没有任何数据支持的情况下，很难得出烧毁面积与时间之间的函数关系。我们知道，在消防队员到达之前，火势一定蔓延得很快，可以认为火势以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，在消防队员到达现场之后，如果消防队员的救火能力足够强，情况就会得到有效控制，火势就会越来越小。在这种情况下，不如转而去研究烧毁面积函数的导数dB(t)/dt，也就是单位时间烧毁的面积（火势蔓延的程度），这样更为方便和直接。从火灾的开始时刻t=0到灭火时刻t1，这个时间段是火灾的持续时间，那么，我们便可以将森林在这一段时间的烧毁面积表示为在区间[0,t1]上dB(t)/dt的定积分了，问题迎刃而解。然后再对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程度的形式作出假设，就能得到救火总费用的数学模型。

利用导数，便可求得问题的最优解。建立这个模型的关键是对火势蔓延程度的假设，当然在建模过程中，我们没有考虑风力的大小，在风势的影响下，模型还需要进一步改进。

2.微波炉销售模型

在生活水平日益提高的今天，微波炉越来越受到人们的青睐。对于微波炉生产厂家，应该对产品销售的变化规律来进行研究，以科学制定生产计划和促销策略。显然，销售量可以看做是时间的函数，因为微波炉是耐用产品，所以假设人们不会重复购买，产品的累计销售量与购买者人数相等。因此，假设x(t)为t时刻购买微波炉的人数，x1表示潜在消费者总数。在时间[t,t+△t]内，购买者增量△x与已购买者人数和未购买者人数之积成正比，即

△x=ax(t)(x1－x(t))△t(a＆gt;0是比例系数)

取x(0)=b,这就是微波炉销售量的数学模型。

数学建模本身就是一个创造性的思维过程，它是分析问题、解决问题的思维过程，数学建模的内容来自于实际、方法结合于实际、结果应用于实际，要选准切入点，争取将微积分和实际问题有机结合，体现数学建模的思想。在上面的例子中，所有的分析都是从实际问题出发，将实际问题转化为数学语言，例如单位时间烧毁的面积（火势蔓延的程度），正是烧毁面积函数的导数。数学建模能力和纯粹数学学习的能力是不一样的，它需要不断地锻炼和培养。

到目前为止，几乎数学学科的所有分支都存在于自然科学、社会科学、工程技术和信息技术等领域。微积分是高等数学的核心内容，在数学建模中有着非常广泛的应用，优化模型中，如存贮模型、最优价格模型；微分方程模型中的传染病模型、经济增长模型等一系列的经典模型都是利用微积分建立起来的。现在高等数学的教学已经不再仅仅是经典理论的学习，更多的则是将所学知识应用于实际问题中去，很多实际问题，都可以找到对应的数学模型，通过对模型的研究、分析，对实际问题会起到一定的指导作用。微积分从创立开始，就一直与实际应用结合在一起。让学生学会如何通过数学知识来解决实际问题。数学建模提供了一个理论与实际相结合的平台，在微积分教学中融入数学建模思想，不仅可以使学生了解数学知识在生活实际中的应用，还能提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，做到“学以致用”。通过数学建模的实践，提高了学生运用数学知识解决实际问题的能力，也为后续课程的学习打下了坚实的基础。数学建模是数学走向应用的必经之路。了解微积分在众多学科中的应用，理解抽象的定义、公式背后蕴含的数学思想，培养学生从实际问题到数学模型的提炼的能力，对高等数学的教学改革和课程建设都将起到积极的推动作用。

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]谭忠.关于数学成为独立科学形式的历史与哲学成因探讨[J].数学建模及应用，2012，（2）.

[3]洪昕华.微积分思想在实际问题建模中的应用[J].数学教育研究，2011，（22）.

[4]杨启帆，谈之奕，何勇.数学建模[M].杭州：浙江大学出版社，2006.

[5]汪凯.微积分课堂教学与数学建模思想[J].科技信息，2011，（3）.

[6]杨俊萍，赵巧蓉.新编高等数学[M].北京：北京交通大学出版社，2012.