数学建模思想融入高等数学教学的探讨

袁 媛

（桂林电子科技大学信息科技学院，广西桂林 541004）

随着普通高校教学改革的全面推进以及全国大学生数学建模竞赛影响力的日益扩大，越来越多的数学教育工作者提出将数学建模思想融入高等数学的教学中，改变高等数学的原有教学体系，将传统的注重数学理论的教学逐渐转变为现代的注重数学应用的教学，这已成为当前高等院校数学教学改革的发展方向，因为这样不仅能激发学生的学习兴趣，还能培养学生应用数学的意识，提高学生解决实际问题的能力[1]。

独立学院作为应用型的新型本科院校，以培养地方、区域社会发展需求的高素质复合型、应用型人才为目标，因此，在高等数学的课堂教学中，理论教学应以够用、实用为度，以兼顾知识体系为原则，突出数学的应用性，让学生知道自己所学的知识能应用在哪里、怎样应用。而作为知识应用的一个方面，数学建模是一个很好的手段。但是，参与数学建模竞赛的学生毕竟占少数，借助竞赛提高不了大多数学生的数学应用能力，我们应该以数学建模竞赛为契机，将数学建模思想融入日常的高等数学教学中，使之成为“大众化”的教学，让学生尝试用数学建模的思想方法思考问题。本文立足于独立学院的实际教学情况，探讨如何将数学建模的思想方法融入高等数学的教学。

1 独立学院高等数学教学的现状分析

高等数学作为理工科学生的公共必修课程，为后续专业课程的学习奠定基础，因此无论是哪所高校，都将高等数学的教学从大学一年级第一学期开始安排，独立学院也不例外。为适应独立学院的发展需求，高等数学的课时被大大地缩减，然而高等数学本身具有高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性等特点，课时的缩减无形中增加了教学的压力。按照原有的教学体系进行教学，大部分教师都感受到课时的紧张。因此，在课堂教学中，常常出现有些教师因为注重讲授数学知识的科学性、系统性而采取“填鸭式”、“满堂灌”的教学方式，忽视学生作为学习主体的地位，不利于学生主动获取知识能力的培养，教学效果不太理想。

另外，独立学院的学生大多数学基础薄弱，数学的计算能力、逻辑推理能力等都不太好，而且在学习上的惰性很强，遇难就退，没有良好的学习习惯。高等数学是一门逻辑性强、比较抽象的学科，其概念、性质、公式、定理繁杂，学生不易掌握，极易产生畏惧的情绪，从而逐渐失去自己能学懂的自信心。又加上高等数学的教学还是采用“老师台上讲，学生台下听”的“板书式”传统教学模式，教学流程一般都是先从实例中引出定义，从定义出发推导公式、定理等结果，再应用结论去解决纯粹的数学问题。教学过程死板、枯燥，学生完全体会不到数学的魅力，难以吸引学生的注意力。他们往往会拿数学与所学专业进行比较，得出的结论是数学无用或学了不会用，数学没用应用价值，“数学无用论”的消极思想滋生蔓延开来，严重影响了学生学习数学的情绪，也极大地影响了教师教学的积极性[2]。

2 数学建模思想融入高等数学的教学探讨

基于上述关于独立学院高等数学的教学现状，为提高学生学习数学的兴趣，在高等数学中融入数学建模的思想方法是行之有效的方法之一。“融入”不能等同于简单的“插入”，即将数学建模的实例插入教材中，或用几个学时讲解一两个由浅入深的数学模型范例。这样，虽然在一定程度上可以激发学生对应用数学的兴趣，但还远不能培养学生自己动手建立数学模型的能力，而且这些应用范例往往会游离于课程的知识体系之外[3]。应当在不影响“高等数学”的课程体系的基础上，尽量充分地与课程知识有机结合，达到真正融入的效果。下面我们举两例说明数学建模思想融入高等数学的具体做法。

2.1 极限概念的引入与应用

高等数学中的许多概念如极限、导数、定积分等都有具有数学建模的特征，因此在讲授数学概念时，可以借助概念产生的背景，通过对实际背景问题的抽象、概括、分析和求解过程的引入，让学生切实体会到从实际问题中抽象出数学概念的方法，逐步培养学生数学建模的思想和意识。

极限是高等数学区别于初等数学的显著标志。高等数学中几乎所有的概念（如导数、微分、积分、级数等）都离不开极限。因此，理解好极限概念将有助于高等数学后续内容的学习，同时也对主讲教师提出了更高的要求：适时地融入数学建模思想方法以突出课堂的亮点而不淡化教学重点，向学生展示一堂耳目一新的概念课教学。

由于学生在高中阶段已学习过了极限的描述定义，并会求一些简单函数的极限，如果按照书本的设计，按部就班地直接给出描述定义与分析定义，教学过程流程化，学生听着毫无新意，不利于学生对极限概念的深入理解，并与实际应用脱节。为此，我们先利用多媒体课件演示刘徽“割圆术”的思想方法和“Koch雪花”的形成过程，让学生对“变化趋势”、“无限趋近于”有一个感性的认识。在学生兴趣正浓之际，列举5个具体数列，动画演示它们在数轴上的变化趋势并很快得出结论，再以其中一个为例进行具体分析，通过向学生提出分析与解决问题的数学思想方法和详细过程，将其抽象概括到数学上即引出了极限的概念。这样让学生参与从具体到抽象的教学过程，加深学生对所学知识的理解，同时让他们亲身体会数学家们从实际问题中抽象出数学概念的成就感，增强他们学好数学的自信心。

作为极限的应用实例，可选取计算“Koch雪花”的周长和面积。求解过程不一定在课堂上完全解决，在老师的引导下可以先找出周长和面积的递推关系，剩下的留做课后练习，结果会让学生大吃一惊：这种由有限的封闭曲线围成的图形，几何直观显示周长、面积都应该是有限的，但是求解得结果却是当边长无限增多时，雪花的面积有限，而周长无限[4]。通过本问题，让学生动手解决，从中体会数学之美。

2.2 微分方程的应用

高等数学中微分方程以微积分为基础，其教学内容相对独立，学生只要记住不同类型的方程所对应的不同解法就基本上达到了教学要求，对于微分方程的应用一节一般都是轻描淡写，甚至让学生自学。学生常常会问：“学习微分方程能解决什么样的问题？”教师一般都敷衍地回答：“解决你们的专业课涉及的微分方程。”至于究竟能解决怎样的实际问题则不能很好地给出解释。其实，利用实际案例讲授好微分方程的应用既能使学生掌握数学建模的思想方法，又能深刻体会到数学是解决实际问题的锐利武器，极大地调动学生学习的积极性。

以一名律师为其当事人辩护需要而建立的数学模型为例，他的当事人被控嫌疑谋杀，人们怀疑他曾为了逃避追捕从一个高30英尺的窗户跳下来，辩护律师力图申辩的是：人的腿是虚弱的，如果他从那扇窗户跳下来，就可能受伤。建立数学模型是为了估计他着地时的速度，从而判断他能否当即站起来并逃走[5]。

问题可明确为：如果一个人从30英尺的高度下落，他着地时的速度是多少？

在建模之前，提出问题让学生思考：（1）人体的下落需要考虑空气阻力？如果考虑，在模型中如何体现？（2）身体的尺寸对下落有影响吗？

通过对力学知识的了解，回答上述问题，从而将人体想象为一个质点，应用牛顿运动定律建立模型：其中x是时间t内人体垂直下落的距离，v为下落速度，空气阻力表达为R=k1v2，最终简化模型为

利用“极限速度”的概念（指人体在介质中下落最终的恒定速度，人体极限速度是120mile/h）求得k=0.00341，那么关于人体从窗户坠落问题的数学模型是一个一阶微分方程：

通过看似一个与数学无关的辩护问题，用数学知识却能很快地解决，并且其结果具有强有力的说服力，可以培养学生应用已有知识的意识以及从实际问题中提取数学语言的能力。作为青年教师，如何在高等数学中成功地融入数学建模的思想方法以促进独立学院的数学教学改革，培养学生的创新意识、创新思维、创新能力，是一条漫长的教改之路，还需要在教学中不断地探索与实践。

[1]黎彬,陈小强,李世贵.数学建模思想融入大学数学教学研究与实践[J].重庆科技学院学报:社会科学版,2007(4):171-172.

[2]盛光进.将数学建模思想融入“高等数学”教材的研究与实践[J].高等理科教育,2006(6):16-19.

[3]覃思义,徐全智,杜鸿飞,等.数学建模思想融入大学数学基础课的探索性思考及实践[J].中国大学数学,2010(3):36-39.

[4]苑静.数列极限的实际应用[J].科技信息,2010(4):492.

[5]徐全智,杨晋浩.数学建模[M].2版.北京:高等教育出版社,2008:89-92.