无压流圆形断面收缩水深的简易算法

滕凯

（齐齐哈尔市水务局，齐齐哈尔 1610060）

圆形断面具有结构简单、施工方便、水力学及力学条件好等优点，是城市供排水及水利水电工程中较常采用的断面形式之一。由于其水力计算涉及超越方程求解，无法通过解析法直接获解，而传统的计算方法[1-3]（图解法、试算法）不但过程繁复、依赖图表且精度较差，因此有关圆形断面正常水深及临界水深计算方法的研究已得到较多学者的关注，并获得较好成果[4-18]，无论公式的表达形式，还是计算精度都取得了令人满意的结果。

由于在闸后连接的圆形断面时常产生收缩水深，而截至目前，在圆形断面收缩水深计算方法的研究上，还没有一套人们较为认可的计算公式。文献[19] 通过对圆形断面收缩水深基本方程进行恒等变形，获得了计算收缩水深所对圆心角θ 的迭代式，并采用优化计算法给出了迭代初值计算式，进而求得收缩水深。但由于该方法的迭代初值及迭代公式表达形式比较复杂，计算过程相对繁琐，不便实际工程应用。为进一步简化圆形断面收缩水深的计算过程，提高求解成果精度，采用优化拟合的方法，将方程中的超越函数进行拟合替代，并以标准剩余差最小为目标函数，获得了一种表达式简捷、计算精度高的简化计算公式，具有实际应用推广价值。

1 圆形断面收缩水深基本方程

依据水力学理论，收缩水深的基本方程为[20]：

2 圆形断面收缩水深简化公式及精度分析

式中：E0为以收缩断面底部为基准面的过水建筑物上游总水头，m；hc为收缩断面处的水深，m；Q 为过水流量，m3·s-1；g 为重力加速度，通常取9.81 m·s-2；φ 为流速系数；Ac为与收缩水深hc相对应的抛物线形断面面积，m2。

对于圆形过水断面（见图1），其水力要素为：

式中：θ 为与收缩水深hc相对应的圆心角，rad。

图1 无压流圆形断面Fig.1 Free flow in circular section

由式（3）经整理可得圆心角为：

将式（2）、（4）代入式（1），并设

式中：k 为无量纲已知综合参数；x 为无量纲水深；β为已知中间参数。

经进一步整理即可获得求解无量纲水深x 的公式为：

在式（6）中，理论上x 的值域范围为[0，1]，而在实际工程中[19]，x＜0.05 情况无实际意义；另一方面，由于受净空高度限制，相应的x＜0.8；即工程的适用范围为0.05＜x＜0.8，且有0.01≤hc/E0=β·x≤0.5。

2.1 简化公式的建立

式（6）为含有开平方及反三角函数的超越方程，无法由解析法直接获解。为避免利用式（6）求解超越方程问题，现设：

同时假定y1′=f（x）和y2′=f（x，β）函数在工程实用范围内可以分别替代式（7）中的y1和y2，并根据式（7）展绘y1～x 及y2～（β·x）关系曲线，经对曲线形式分析及数值相关回归，并以标准剩余差最小为目标函数[21]，即为：

经逐次逼近拟合[22]即可获得如下替代函数，即

将式（8）代入式（6）经进一步整理即可求得收缩水深hc为：

其中：

式中：A 为中间变量。

2.2 拟合公式的精度分析

为比较式（9）与式（6）的拟合替代精度，考虑在工程实用范围内（即0.05＜x＜0.8，0.01≤β·x≤0.5），取不同的xi及βi值即可由式（6）计算出与之相对应的ki，再将ki及βi分别代入式（9）及式（10）求得xi′，进而由下式完成式（9）替代式（6）的拟合相对误差计算，并完成拟合误差包络图绘制，见图2 所示。

式中：zi为拟合相对误差，%。

图2 拟合误差包络线Fig.2 Fitting error envelope

由图2 可见，式（10）的最大拟合相对正、负误差zi分别为0.76%和-0.78%，当0.1≤x≤0.7 时，正、负相对误差的包络线基本平行于x 轴，且负误差的绝对值小于正误差，而当x≤0.1 和x≥0.7 时，正误差随着x 的减小（x≤0.1 时）和增大（x≥0.7 时）而减小，而负误差则相对增大，并分别增大至x=0.05 时的-0.76%和x=0.8 时的-0.78%。由包络线对称性可见，横轴以上正误差包络线所围面积与横轴以下负误差包络线所围面积基本相等，说明式（10）的平均误差较小，具有较好的拟合替代精度。

通过对公式表达形式比较可见，式（10）较文献[19]公式的表达形式更加简单直接，从计算过程比较可见，式（10）仅需完成1 个间接参数计算即可直接获解，计算不易出错，而文献[19]公式则需完成5 个间接参数计算才能获解，容易发生计算错误，比较而言，文中公式实际应用更加简便快捷。具体比较见表1 所示。

表1 圆形断面收缩水深公式形式比较Table 1 Comparison of circular cross-section form of contracted depth formula

3 应用举例

选文献[19]算例：已知某引水隧洞闸前断面总水头E0=12 m，隧洞圆形断面设计直径为d=15 m ，设计过水流量为200 m3·s-1，流速系数φ=0.95，试计算闸后洞内的收缩水深hc值。

解：根据算例中已知参数，由式（5）可求得：

将β=1.25、k=0.487 84 分别代入式（11）求得A值为：

A=1.450 4-0.160 7 kβ1.48=1.341 33

进而由式（10）即可求得收缩水深hc为：

该例收缩水深的精确解为hc=2.107 m，公式（10）求解成果的相对误差为-0.19%。

4 结语

针对目前圆形断面收缩水深计算方法存在的问题，经对求解计算公式等式两边超越方程的优化拟合替代，获得了表达形式简单且具有较高拟合精度的替代函数，具有以下主要优点：

（1）借助经验拟合曲线，较好地解决了常规计算方法所存在的问题，有效提高了该种断面水力计算的工作效率。

（2）公式的中间变量参数少，表达形式更加简单直观，实际工作仅借助计算器即可方便快捷地完成解算，适于广大基层工程技术人员实际推广应用。可为较复杂断面（如马蹄形及蛋形过水断面）收缩水深近似计算公式的建立提供有益的参考。

（3）通过精度比较及算例计算分析表明，在工程实用范围内，文中公式具有较好的计算精度，最大拟合相对误差仅为0.78%，完全可以满足实际工程的设计精度要求。

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