第二个重要极限公式的一个新的推广及应用

慕晓凯，任建功

（广东培正学院 人文学科与基础教学部，广东 广州 510830）

慕晓凯，任建功

（广东培正学院 人文学科与基础教学部，广东 广州 510830）

本文通过对第二个重要极限公式特征的分析，得到了一个新的推广形式并加以证明.最后，通过实例说明了推广式的应用.

第二个重要极限；推广；应用

极限是高等数学中的一个有力工具，连续、导数和积分等概念的建立均离不开极限思想.在计算极限的各类题型中，利用两个重要极限公式进行求解是一个重要方法，其中第二个重要极限公式尤为常见.但是该公式特征不易把握，首先，底数必须是1加上一个无穷小量；其次，指数一定要与底数中的无穷小量互为倒数.因此，初学者往往会顾此失彼.此外，在利用第二个重要极限公式解题时常常要用到配系数法或变量替换法，不仅比较繁琐，而且也更容易出错.

为此，文[1]对指数与底数中无穷小量的倒数关系进行了推广，得到如下结论：

引理1 设函数u(x)、v(x)在点x（0x0可以为无穷大）的某一个邻域内连续，且满足如下条件：

此后，文[2]中又对公式中的底数进行了推广，得到下面的结论：

引理2 设a0,a1,a2,…,an为任意实数，则

这些结论无疑使第二个重要极限公式的应用范围得到了更大的扩展.本文在此基础上将这一公式做了进一步的推广，得到了更为一般的结论：

定理 已知limu(x)=1,limv(x)=0,limφ(x)=∞（.注：符号lim下面没有标明自变量的变化过程，是指对x→x0和x→∞都适用.）若.

〔1〕唐晓芙,裴银淑.重要极限的推广[J].鞍山师范学院学报，2003-04,5(2);25-27.

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1673-260X（2013）02-0001-01