剔“杂”补“漏”

王朝璇

求曲线的轨迹方程的过程中往往会产生“杂”点和“漏”点，下面就一些常见的问题说明如何剔“杂”补“漏”，保证轨迹方程的纯粹性和完备性.

一、利用已知条件剔“杂”

例1 如图，动点[M]与两定点[A（-1，0）]，[B（2，0）]构成[ΔMAB]，且[∠MBA][=2∠MAB]，设动点[M]的轨迹为[C].求轨迹[C]的方程.

解析 设[M]点的坐标为[x，y]，

当[∠MBA=90°]时，点[M]的坐标为[2，±3].

当[∠MBA≠900]时，[x≠2]，

由[∠MBA=2∠MAB]，

有[tan∠MBA=2tan∠MAB1-tan2∠MAB]，

即[-yx-2=2|y|x+11-（yx+1）2]，化简后有[3x2-y2=3]，

而点[2，±3]也在曲线[3x2-y2=3]上.

点拨 剔“杂”：由已知条件[∠MBA=2∠MAB]有[x>0，y≠0].故轨迹[C]的方程为[3x2-y2=3x>1].

二、利用图形剔“杂”

例2 如图，椭圆[C0]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0]，[a，b]为常数），动圆[C1：x2+y2=t21]，[b

解析 设[Ax1，y1，]则[Bx1，-y1.]

又知[A1-a，0，A2a，0]，

则直线[A1A]的方程为[y=y1x1+ax+a]，①

直线[A2B]的方程为[y=-y1x1-ax-a]，②

①×②有，[y2=-y21x21-a2x2-a2]. ③

由点[Ax1，y1]在椭圆[C0]上，有[x21a2+y21b2=1]，

从而[y21=b21-x21a2]，代入③有[x2a2-y2b2=1].

点拨 剔“杂”：由图形知，[xM<-a，yM<0]，故直线[AA1]与直线[A2B]交点[M]的轨迹方程为[x2a2-y2b2=1][x<-a，y<0].

三、利用曲线的定义剔“杂”

例3 动圆[P]过点[N（-2，0）]，且与圆[M]：[（x-2）2+y2=8]外切，求点[P]的轨迹方程.

解析 设[P][（x，y）]，因为圆[P]过点[N]，

所以[PN]是该圆的半径，

又因为动圆[P]与圆[M]外切，

则[PM=PN+22]，即[PM-PN=22].

故所求的方程为[x22-y22=1].

点拨 剔“杂”：由定义知，点[P]的轨迹是以[M，N]为焦点，实轴长为[22]的双曲线的左支，其轨迹方程为[x22-y22=1（x-2）].

四、利用变量的取值范围剔“杂”

例4 动点[Px，y]满足[x=1-t21+t2y=2t1+t2t∈R]，求点[P]的轨迹方程.

解析 联想到三角中的万能公式，显然有[x2+y2=1].

点拨 剔“杂”：[x=1-t21+t2=-1+21+t2≠-1]，故点[P]的轨迹方程为[x2+y2=1x≠-1].

五、利用“[Δ]”剔“杂”

例5 已知双曲线[x2-y22=1]，过点[A1，1]能否作直线[l]，使[l]与双曲线交于[P，Q]两点，并且[A]为线段[PQ]的中点？若存在，求出直线[l]的方程，若不存在，说明理由.

解析 假设符合条件的直线存在，设[Px1，y1]，[Qx2，y2]，

则[x21-y212=1]，[x22-y222=1].

两式相减有[y1-y2x1-x2=2x1+x2y1+y2]，

又[A]为线段[PQ]的中点，

则[x1+x2=2]，[y1+y2=2].

所以直线[l]的斜率[k=y1-y2x1-x2=2].

故直线[l]的方程为[y-1=2x-1]，

即[2x-y-1=0].

点拨 剔“杂”： 联立[y=2x-1x2-y22=1]，得[2x2-4x][+3][=0]，其[Δ=-8<0]，所求的直线不存在.

六、利用变量的制约条件剔“杂”

例6 在平面直角坐标系[xOy]中，点[Pa，b][a>b>0]为动点，[F1]，[F2]分别为椭圆[x2a2+y2b2=1]的左、右焦点，已知[ΔF1PF2]为等腰三角形.

（1）求椭圆的离心率[e]；

（2）设直线[PF2]与椭圆相交于[A，B]两点，[M]是直线[PF2]上的点，满足[AM?BM=-2]，求点[M]的轨迹方程.

解析 （1）容易求出椭圆的离心率为[e=12].

（2）因为[e=12]，所以[a=2c]，[b=3c].

所以设椭圆方程为[3x2+4y2=12c2].

又[kPF2=ba-c=3]，

则直线[PF2]的方程为[y=3x-c].

设[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，

联立方程组[3x2+4y2=12c2，y=3x-c]得，[5x2-8cx=0].

则有[x1+x2=85c，x1x2=0.] ①

进而有[y1+y2-235c，y1y2=-95c2，] ②

因为[AM?BM=-2]，

所以[x-x1x-x2+y-y1y-y2=-2]，

即[x2-x1+x2x+x1x2+y2-y1+y2y+y1y2]

[+2=0]，③

将①②代入③得，

[x2-85cx+y2+235cy-95c2+2=0]，④

消去参数[c]，将[c=x-33y]代入④并整理得，

[18x2-163xy-15=0].

点拨 剔“杂”：考虑题目中的隐含条件，将[y=18x2-15163x]代入[c=x-33y]，有[c=10x2+516x>0]，所以[x>0].因此点[M]的轨迹方程为[18x2-163xy-15=0][x>0].

七、根据直线的斜率存在与否补“漏”

例7 已知点[P0，5]及圆[C]：[x2+y2+4x-12y][+24=0].若直线[l]过点[P]且被圆[C]截得的线段长为[43]，求[l]的方程.

解析 设直线[l]的方程为[y-5=kx]，

即[kx-y+5=0]，

将圆方程[x2+y2+4x-12y+24=0]整理为

[x+22+y-62=16].

已知直线[l]被圆[C]截得的线段长为[43]，圆的半径为4，

由垂径定理知，圆心到直线的距离为2.

即[-2k-6+5k2+-12=2]，解得[k=34].

故[l]的方程为[3x-4y+20=0].

点拨 补“漏”：当直线[l]的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为[x=0]，故直线[l]的方程为[3x-4y+20=0]或[x=0].

八、根据直线在坐标轴上的截距的定义补“漏”

例8 求经过点[P3，2]且在两坐标轴上的截距相等的直线[l]的方程.

解析 设直线[l]的方程为[xa+ya=1]，

将点[P3，2]的坐标代入有，[3a+2a=1]，

解得[a=5]，

故直线[l]的方程为[x+y-5=0].

点拨 补“漏”：直线通过原点时，在两坐标轴上的截距为零，所以[2x-3y=0]亦满足题意，故所求的直线方程为[2x-3y=0]或[x+y-5=0].

九、根据两圆相切的定义补“漏”

例9 求与[y]轴相切于右侧，并与圆[C]：[x2+y2-6x=0]也相切的圆的圆心的轨迹方程.

解析 圆[C]方程化为[x-32+y2=9]，

设动圆圆心为[Px，yx>0]，圆[P]与[y]轴相切于点[M]，与圆[C]相切于点[N]，

所以[CP=PM+3]，即[x-32+y2=x+3]，

化简得方程[y2=12xx>0].

点拨 补“漏”：上述解答是两圆外切时的情形，还要考虑两圆内切时的情形.两圆内切时，点[M]，[N]均与原点重合，动圆圆心在[x]轴的正半轴上且不与[C]点重合，满足条件的还有[y=0][x>0且x≠3].故所求的轨迹方程为[y2=12xx>0]或[y=0][x>0且x≠3].

十、根据过点的切线的定义补“漏”

例10 求过曲线[y=x3-2x]上的点[P（1，-1）]的切线方程.

解析 由[y=3x2-2]，有[k=yx=1=1]，故切线方程为[y+1=x-1]，即[x-y-2=0].

点拨 补“漏”：要分辨“过点[P]的切线”和“在点[P]处的切线”的区别，在点[P]处的切线，一定以点[P]为切点，而过点[P]的切线，不一定以点[P]为切点，点[P]也不一定在已知曲线上.其正确解答为：设[Ax0，x30-2x0]为切点，切线的斜率[k=yx=x0=3x20-2]，所以切线方程为[y-][x30-2x0]=[3x20-2（x-x0）]，由点[P（1，-1）]在切线上，将其代入方程整理有[x0-122x0+1=0]，解得[x0=1]或[x0=-12]，故所求的切线方程为[x-y-2=0]或[5x+4y-1=0].