函数与方程思想的应用

白保建

摘 要：函数一直是高中数学的一个重点知识，它贯穿于高中数学的始终，而方程也是函数问题的一种特殊形式，所以学习中要注意函数与方程思想的应用，关键是函数与方程之间的转化问题.

关键词：函数；方程；转化；应用

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系的数学模型，从而进行研究.一般的，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，对所给的问题观察、分析、判断、比较，产生由此及彼的联系，构造出函数原型.具体来说可以这样去理解：

一、函数的思想

利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题的思想方法，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，其本质是对函数概念的认识.

二、方程的思想

在对方程概念本质认识的基础上分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程（方程组）或者构造方程，通过解方程（方程组）或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.

例1.如图，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向做匀速移动，速度为v（v>0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）.E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v-c×S成正比，比例系数为 ；②其他面的淋雨量之和，其值为 .记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100，面积S= 时，

（1）写出y的表达式；

（2）设0

解：（1）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为 v-c+ ，

故y= v-c+ = （3v-c+10）.

（2）由（1）知，

当0

故y= -15，0

+15，c

①当0

②当

评析：这道题由物理意义和几何关系构造了变量，利用物理性质和变量间相互关系而得到方程，进而进行转化求出最值和单调性.

三、方程的思想与函数的思想密切相关

方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的图象与x轴的交点的横坐标；函数y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0，方程f（x）=a有解，当且仅当a属于函数f（x）的值域；函数与方程的这种相互转化关系十分重要.

例2.（2012年高考北京卷文科5）函数f（x）=x x的零点个数为（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】B

【解析】f（x）=x - x的零点，即令f（x）=0，根据此题可得

x = x，在平面直角坐标系中分别画出幂函数x 和指数函数 x的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.

评析：这道题就是一个高考中常见的类型，它把函数的零点个数问题转化成了方程解的个数问题，在平时我们遇到这类问题就是构造一个方程即：f（x）=g（x），进而利用求解或数形结合求出方程解的个数.

我们应用函数与方程思想的几种常见题型的解决办法是：遇到变量，构造函数关系解题；有关不等式、方程、最值的问题，利用函数观点加以分析；在含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，应翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；在数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决，这样的例子很多，在此不做一一表述，只想起到抛砖引玉的作用.

（作者单位 河南省开封市第二实验高级中学）