解读课标 研究中考 改进教学——2013年绍兴市中考数学试题浅析

☉浙江省嵊州市城关中学 范浙杨

☉浙江省嵊州市教研室 蔡建锋

笔者有幸参加了2013年绍兴市初中毕业生学业考试数学试卷的命题工作，经历了整个命题过程，经过阅卷工作情况的反馈和师生们的考后反思，现对2013年绍兴市的中考数学试题进行浅析，供同行参考.2013年绍兴市中考数学试卷严格依据2011年版《数学课程标准》，遵循《浙江省2013年初中毕业生学业考试数学考试说明》，试题内容、结构与层次要求都与《课程标准》和《考试说明》的要求相吻合，知识点覆盖合理，贴近教材，应用性和开放性适度，突出数学知识的基础性和综合性，主干知识考查到位，核心知识重点考查，关注“四基”，注重能力，以人为本，促进学生发展，全卷充分体现了新课程标准的评价理念，试卷中所渗透出的教育信息既对今后初中数学教学起到良好的导向作用，也有利于高一级学校选拔学生.其成功之处在于：

一、体现课标，正确导向

中考命题的主要依据是《浙江省2013年初中毕业生学业考试数学学科考试说明》，而《考试说明》的主要依据是《数学课程标准》.随着2011年版《数学课程标准》的实施，虽然今年的毕业生初中三年的学习都是在《数学课程标准》（实验稿）指导下开展的，但两本《数学课程标准》在教学内容要求上有所调整.2011年版《数学课程标准》删去的内容有：（1）能对含有较大数字的信息作出合理的解释与推断；（2）了解有效数字的概念；（3）不要求分母有理化；（4）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题；（5）有关梯形的内容；（6）探索并了解圆与圆的位置关系；（7）关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯带图形的欣赏等；（8）关于镜面对称的要求；（9）会计算极差，会画频数折线图.这些内容2013年绍兴市中考数学试题中都没有考查到，这是2013年绍兴市中考数学试题的一个亮点.因为中考是平时教学的指挥棒，中考的试题内容正确导航着初中数学教学的方向，从今年的中考数学试题中释放出的信号，2011年版《数学课程标准》删去的内容不会再成为考查的重点，如列一元一次不等式组解应用问题，关于梯形的几何内容，圆与圆的位置关系以往都会出现在中考试题中.

二、立足课本，注重基础

绍兴市2013年中考数学试题继续坚持“立足课本和关注基础”这一中考数学命题的方向，一些考题直接来源于课本或是课本的改编题，通过把课本的题目给出新的情景、改变设问方式、适当变更条件等手段改编而成.如试卷中的第1、2、3、4、5、6、11、12、13、15、17、18、20、21、22题等都能在课本上找到“影子”，这给初中数学教学起到很好的导向作用，要求教师平时注重课本，少用质量不高的教辅资料，切实减轻学生的学业负担，而且对以后的教学有着积极的导向作用.

例1 （2013年绍兴市第21题）如图1，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC．当伞收紧时，动点D与点M重合，且点A，E，D在同一条直线上．已知部分伞架长度如下表：（单位：cm）

图1

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（1）求AM的长；

（2）当∠BAC＝104°时，求AD的长（精确到1cm）．

备用数据：sin52°＝0.7880，cos52°＝0.6157，tan52°＝1.2799．

评析：本题来源于浙教版教材数学八年级（下）第4章命题与证明中目标D（4.4节）第12题（P91），原题的图形不变，增设了一个定点M，把原题是在静止的状态下来解决问题，改编为在运动的情况下解决问题，通过改编提高了思维量和接近了伞的实际应用，并结合三角函数来解决问题.

图2

例2（2013年绍兴市第15题）如图2所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架.若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是______.

评析：本题来源于浙教版教材数学八年级（上）第2章特殊三角形中目标D（2.7节）第15题（P50），从背景的条件和设问的方式上进行了一些改编，比原题的思维量和难度都有些增加，但解决问题的基本方法保持不变.这类试题紧扣书本和课标，体现了基础性和学好课本知识的重要性，有着较好的导向作用.对于引导师生重视基础、重视书本、研究教材、重视教材、用好用活教材，均有裨益.因此在中考复习时，师生注意对课本知识的学习与挖掘，以达到灵活变通的目的.

三、立意能力，持续发展

2013年绍兴市中考数学试题注重了与2011年版《数学课程标准》的理念和精神接轨，关注“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识.”坚持能力为重，关注学生可持续发展，试题在考查学生的基本运算能力、数据分析能力、初步的空间想象能力、逻辑思维能力以及运用数学知识分析和解决简单实际问题的能力的基础上，又突出考查了学生观察、动手操作能力、探索创新能力和数学建模能力.试题中出现了多道与2011年版《数学课程标准》理念接轨的新颖题.

例3 （2013年绍兴市第9题）小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：

（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图3.

（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连接BD，如图4.若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形的边长BD的等式是（ ）.

图3

图4

评析：本题是一道形式新颖的几何试题，它通过在作图过程中获得一些信息作为已知条件，再通过逻辑推理的方式进行推理和计算得出正确结论.这是一道能力型试题，对考查学生的数学素养和数学能力有较好的区分度.

例4 （2013年绍兴市第22题）若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形.如图5，在矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形.

（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）.

图5

（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连接两边对应的等分点，以这些连接线为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图6所示.

图6

①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B4C4为一边的矩形是不是方形？为什么？

②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上高的长度之比.

评析：本题是一道课本改编题，来源于浙教版教材数学八年级（下）第1章二次根式1.2节中的例7（P16），它从改变已知条件和问题情境的方式上进行了一些改编，通过新定义的形式让学生经历了阅读和思维的过程，增加了原题的思维量和难度，同时也较好地渗透了分类讨论的数学思想.

四、注重应用，数学建模

2011年版《数学课程标准》中指出“数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面.”在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式及各种图表、图形等都是数学模型.2013年绍兴市中考数学试题注重数学与学生日常生活的联系，鼓励学生用数学的眼光看世界，用数学方法去解决现实问题.能结合地方特色、学生生活实际和社会热点等素材创设问题情景，引导学生关注身边的数学，强化了数学的应用意识，较好地考查了学生解决实际问题的能力.

例5（2013年绍兴市第6题）绍兴是著名的桥乡.如图7，圆拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ）.

图7

A.4m B.5m C.6m D.8m

评析：本题以绍兴是著名的水乡和桥乡学生熟悉的生活实际为试题背景，学生看了试题有一种亲切感.本题从圆拱桥中抽象出一个圆的几何图形，给出相关数据，求水面AB的宽.考查了学生数学建模能力，是一道极具实际意义的问题，不空洞且也不难.真正体现了新课程理念，学习有价值的数学，有用的数学.

图8

例6 （2013年绍兴市第16题）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至3℃，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图8.为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是（ ）.

A.7：20 B.7：30 C.7：45 D.7：50

评析：学校教室里的饮水机，是学生比较熟悉的生活背景，通过饮水机的通电加热、停止加热，到水温下降这样的一个变化过程中，给出了一个分段函数，这是一道典型的图像信息题，不仅要求学生读懂题意，更要读懂图像，从图中获得有用数据.由于饮水机接通电源就进入自动程序，它在不断地有规律地进行循环变化着，因此试题还设置了一个周期性变化的思考问题，让一部分学生无法或难以找出接通电源的时间，有效考查了学生的思维能力，有较好的区分度.现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用.从生活中提炼出的数学问题使学生倍感亲切，一份中考数学试卷，处处透着时代的气息、地域的芳香.这是学生学习的主方向、源动力.

五、精彩压轴，有效测试

中考数学试题中的压轴题是整份试卷的核心内容之一，是一份成功试卷的标志.其功能是在考查初中数学核心内容的同时，更注重考查学生运用已学知识分析问题和解决问题的能力，重视学生分析能力和数学思想方法的运用，使整份试卷更具有区分度和有效性.

例7（2013年绍兴市第23题）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上.

图9

图10

（1）如图9，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求证：EF=CD.

评析：本题是一道中考数学压轴题，有效考查了学生的构建基本图形、等价转化、逻辑推理能力，较好地体现了2011年版《数学课程标准》的新理念.它以直角三角形的特殊图形为背景，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，全等三角形，直角三角形等初中数学中的核心知识.本题低起点、入口宽、多角度、重能力，在第（2）小题的解法中出现了很多新颖的不同解法，既有构建基本图形、利用三角形相似求解，又有直接计算代数方法和利用四点共圆求解，反映出学生的思维相当活跃，也反映出本试题的亮点所在，是一道考查学生能力和数学素养的佳题.

例8（2013年绍兴市第24题）如图11，抛物线y=（x-3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点.

（1）求点B及点D的坐标.

（2）连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E.

图11

①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标.

②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标.

评析：本题为一道中考压轴题，综合性很强，它是函数、方程、几何的综合应用，试题有一定的难度和区分度.特别是要通过添加辅助线来构建基本图形，再利用相似三角形的性质、特殊三角形的性质和一次函数的图像来综合解决问题，能力要求最高.本题添加辅助线的方法很多，可以从不同的角度进行一题多解，它较好地考查了学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，体现了数学知识的综合性.第（2）、（3）小题考查了学生构建基本图形的能力，根据点M在对称轴左右进行分类讨论，从而得出两种不同点的坐标，在解题过程中较好地渗透了数学中的数形结合和分类讨论的数学思想.

六、典型错误，分析反思

在阅卷过程中我们发现第18题的第（2）小题和第21题的第（1）小题，学生解题出现错误很多，得分分别在68.6%和73.4%.下面是对学生错解剖析如下：

例9（2013年绍兴市第18题）某市出租车计费方法如图12所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图像回答下面的问题.

图12

（1）出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y与x的函数关系式.

（2）若某乘客一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程.

解：（1）8元，y=2x+2.

（2）错解：32-8=24，把x=24代入y=2x+2，得24=2x+2，

解得x=11，所以11+3=14.

答：这位乘客乘车的里程为14km.

评析：本题直接来源于浙教版教材数学八年级（上）第7章第7节一次函数的简单应用中课内练习题2（P163），只做了数据上的一些修改.学生的错误主要原因是对起步价的实际意义和函数的概念没有理解.已知车费为32元，实际上是已知了函数y=2x+2的值，根据函数的对应关系，就能直接求出对应的x的值为15.

例10（2013年绍兴市第21题）见例1.

错解：（1）因为当伞收紧时，AB就与AM重合了，所以，AM=AB=86.

评析：本题也是一道课本习题的改编题，把原题静止的状态变为动态的形式，增加了学生思维的空间，使试题有了新意.学生的错误原因主要是对题意“当伞收紧时，动点D与点M重合，且点A，E，D在同一条直线上”的不理解，同时缺乏空间想象力和平时应用的观察力.只是做了直观推出，误认为AB与AM重合.

七、对今后改进教学的启示

2013年绍兴市初中毕业生学业考试数学试题，较好地体现了新课程的基本理念，全面评价学生在数学知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等方面的表现，较好地体现了“课标”所规定的学习要求.整卷的语言、图形、文字准确和规范，试题呈现形式多样、美观，注重试题的开放性、探索性和应用性，试题背景材料公平而新颖.有利于学生展示自己在数学学习中取得的成就，也有利于教师改进和完善教学方法.2013年绍兴市初中毕业生学业考试数学试题，给我们平时的数学教学有很大的启示.

1.教学要以人为本

2011年版《数学课程标准》指出：“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性.”这指明了义务教育阶段数学课程的基本属性，义务教育的基本出发点是以学生发展为本.

教学中，我们不仅要关注学生的发展，更应该给学生更多的爱.我们不仅要以一丝不苟、严谨踏实的态度传道授业，也要以一颗“幼吾幼以及人之幼”的爱子之心来爱我们的学生，使他们成长为一个有血、有肉、有灵魂、有思想的人.不仅要创造和谐诚信的学习环境，还要创设和谐的人文环境；不仅要让学生学到数学知识，还要强化其学习兴趣.把培养学生的态度情感与自信心作为数学教学的一个目标，以此来激发学生学习数学的兴趣，提高学生自主学习的积极性，促进学生运用数学解决问题的动力和能力.

2.教学要注重“四基”

2011年版《数学课程标准》有一个十分明显的变化，即在课程目标中明确提出“四基”，除了我们熟悉的“双基”（基础知识、基本技能）外，还增加了“基本思想”“基本活动经验”.“基本思想”突出了数学的本质，“基本活动经验”突出了学生主体，这两方面合在一起，就是要求我们数学教学在关注知识技能的同时，更好地关注学生.数学教学要让学生参与整个教学过程，体现活动性，要求我们从学生的角度去设计一系列的、有学生参与的、动手与动脑的活动，如果教学环节中没有学生活动，没有学生的参与，那就没有达成课程目标的要求.

3.教学要突出“核心”

2011年版《数学课程标准》中提出了与四个学习领域相关的10个核心概念，核心概念在整个初中数学教学中是很重要的，它们是整个课程标准内容体系的核心点.核心概念在教学中的位置是不同的，章建跃博士指出：“教师自己不能准确把握教学内容，对于哪些是重点和核心，心中无数，数学核心概念和思想方法得不到应有重视，而细枝末节的东西却让学生反复训练；有时以自己所教班级学生好为借口，‘深挖洞，广拓展’，无限地扩张内容、拔高要求.可这样的教学不但不能达到使学生深刻理解数学的效果，反而还会因为过分追究细枝末节而扰乱了学生的思路，陷于具体细节不能自拔，最终干扰了学生的数学理解.”

4.教学要培养“四能”

2011年版《数学课程标准》中提出“：通过义务教育阶段的学习，增强学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力”.分析和解决问题固然重要，但发现和提出问题更是培养学生创新意识所需要的.从中考立意上看，已从知识立意转化到能力立意上，不断加大能力考查的力度.中考不仅考查学生对初中数学知识的掌握情况，而且以这些知识情景为素材，考查运用数学知识和数学思想方法分析问题、解决问题的能力.要想在中考中有所突破，没有能力的提升，不挖掘能力的潜能是很难实现的.如中考中有阅读理解题、探索性试题，这类题一般题干都较长，需要学生有认真仔细读题的良好习惯，有观察、操作、分析、反思的能力.这些都要在平时的教学中加以重视和培养.