逆指数分布参数的Bayes和经验Bayes估计

肖世校，阳连武

（1.集美大学诚毅学院，福建 厦门 361021；2.宜春学院 数学与计算机科学学院，江西 宜春 336000）

逆指数分布参数的Bayes和经验Bayes估计

肖世校1，阳连武2

（1.集美大学诚毅学院，福建 厦门 361021；2.宜春学院 数学与计算机科学学院，江西 宜春 336000）

基于完全样本,在平方误差损失、LINEX损失函数下研究了逆指数分布参数的Bayes估计和经验Bayes估计.文末通过Monte Carlo数值模拟例子对各类估计结果进行比较.

最大似然估计；Bayes估计；经验Bayes估计；平方误差损失函数；LINEX损失函数

1 引言

关于可靠性分布模型参数的Bayes统计推断问题得到了众多学者的关注和研究，并成为近年来数理统计学研究的热点方向.文献[1]基于逐步递增的I型截尾寿命试验，研究了复合瑞利分布参数的最大似然估计以及Bayes估计问题;文献[2]基于逐次定数截尾样本讨论了Burr Type II分布参数的最大似然估计和逆矩估计问题；文献[3]研究了定数截尾样本情形下逆Weibull分布参数的Bayes估计和预测问题；文献[4]基于逐次定数截尾样本讨论了比率危险率分布模型参数的Bayes估计问题；文献[5]讨论了Burr Type XII分布参数的Minimax估计问题；文献[6]讨论了具有二项随机移除的广义指数分布参数的最大似然估计以及置信区间估计问题.本文将在完全样本情形下研究逆指数分布参数的最大似然估计、Bayes估计以及经验Bayes估计问题.

设随机变量X服从两参数逆指数分布,相应的概率密度函数和分布函数分别为：

和

其中θ为未知参数.

2 估计

2.1 最大似然估计

设X1,X2,…,Xn为来自逆指数分布(1)的样本容量为n的一个简单随机样本,其中(x1,x2,…,xn)为(X1,X2,…,Xn)的样本观测值.给定(x1,x2,…,xn)下参数θ的似然函数为：

由（3）得对数似然函数：

相应的似然方程为：

得到参数θ的最大似然估计为

2.2 Bayes和经验Bayes估计

在这一部分,我们将考虑在平方误差损失、LINEX损失函数下讨论逆指数分布的尺度参数θ的Bayes估计问题.以下均设X1,X2,…,Xn为来自逆指数分布(1)的容量为n的一个样本

(i)在平方误差损失函数：L(θ^,θ)=(θ^-θ)2下参数θ的Bayes估计为：θ^BS=E[θ|X]；

(ii)LINEX损失函数：L(Δ)=ecΔ-Δ-1,c≠0,其中Δ=θ^-θ,θ^为参数θ的估计,c为损失函数的形状参数,则在LINEX损失下,参数θ的Bayes估计为：

定理1 设X=(X1,X2,…,Xn)为来自逆指数分布(1)的样本容量为n的一个简单随机样本,其中x=(x1,x2,…,xn)为相应的样本观察值,t为T的观察值,并设参数θ的先验分布为伽玛分布Γ(α,β),则

（i）在平方误差损失函数下,参数θ的Bayes估计为：

(ii)在LINEX损失函数下,参数θ的Bayes估计为：

证明 设参数θ的共轭先验分布为伽玛分布Γ(α,β),即相应的概率密度函数为：

再由(3)及Bayes定理,参数θ的后验概率密度函数为：

于是参数θ的后验分布为Γ(n+α,β+t).

则（i）在平方误差损失函数下,参数θ的Bayes估计为其后验均值,故参数θ的Bayes估计：

（ii）由(11)有

于是在LINEX损失函数下,参数θ的Bayes估计为：

注2 当超参数α已知时,定理1中的Bayes估计依赖于超参数β的选取,且当超参数β未知时,我们可借用经验Bayes估计方法进行估计.由(3)和(10)我们得到x的边缘概率密度函数：

现在我们将β^替换Bayes估计中的参数β,便得到参数θ的经验Bayes估计分别为：

3 实际应用例子和结论

利用Matlab软件，通过Monte Carlo数值模拟生成一组样本容量为20的服从参数θ=2.0的逆指数分布(1)的简单随机样本样本,具体样本值见表1.

表1 数值模拟数据

由表2和大量的数值模拟试验我们得到如下结论：

(i)参数的Bayes和经验Bayes估计值在样本量n较小的情况下受超参数的影响较大,但随样本容量的增加超参数对参数估计值的影响逐渐变小,并且本文得出的经验Bayes估计θ^EBS恰好等于最大似然估计θ^ML;

表2 参数的Bayes和经验Bayes估计值

(ii)LINEX损失函数下的Bayes和经验Bayes估计会受到损失函数自身的形状参数c的影响.

〔1〕Abushal T A.Estimation of the unknown parameters for the compound Rayleigh distribution based on progressive first-failure-censored sampling[J].Open Journal of Statistics,2011,1:161-171.

〔2〕王炳兴.Burr Type XII分布的统计推断[J].数学物理学报,2008,28A(6):1103-1108.

〔3〕Kundu D.,Hatem H.Bayesian inference and prediction of the inverse Weibull distribution for Type-II censored data[J].Computational Statistics and Data Analysis[J]. 2010,54:1547-1558.

〔4〕王亮,师义民.逐步增加II型截尾下比率危险率模型的可靠性分析[J].数理统计与管理,2011,30(2):315-321.

〔5〕Yarmohammadi M.,Pazira H.M inimax estimation of the parameter of the Burr Type XII distribution [J]. Australian Journal of Basic and Applied Sciences,2010,4 (12):6611-6622.

〔6〕Yan W.A.,Shi Y.M.,and Song B.W.etc.Statistical analysis of generalized exponential distribution under progressive censoring w ith binomial removals[J].Journalof Systems Engineering and Electronics.2011,22(4):707-714.

〔7〕Dey S.Inverted exponential distribution as a life distribution model from a Bayesian view point.Data Science Journal,2007,29(6):107-113.

O212

A

1673-260X（2013）11-0003-02

江西省自然科学基金项目(20114BAB211005)