用算子定义的一类特殊解析函数

何涛，李书海

（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024000）

用算子定义的一类特殊解析函数

何涛，李书海

（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024000）

本文引进并研究一类用微分算子定义的解析函数.用最大模原理和从属关系证明该类中函数的系数不等式，然后用此定理证明类中函数的积分算子、单叶半径、凸半径和极值点等性质.

解析函数；单叶；最大模；算子；半径

1 引言

设-1≤B＜A≤1，0≤α＜1，β≥0，f(z)∈T，函数f(z)∈Tσ,k(α, β)当且仅当

其中Dσf为[1]中引进的Salagean算子，且具有如下展开式

利用从属关系可知,当且仅当存在D内满足条件

本文中讨论函数类Tσ,k(α,β)的系数不等式、积分算子、单叶半径、凸半径和极值点等性质.

2 主要结果及其证明

定理1（系数不等式）设0≤B＜A≤1，0≤α＜1，β≥0,函数f(z)∈Tσ,k(α,β)当且仅当

证明充分性,令|z|=1,则

于是,由最大模原理,f(z)∈Tσ,k(α,β)；必要性设f(z)∈Tσ,k(α,β)，那么

|Rez|≤z对于所有的z成立,所以,我们有

推论函数f(z)∈Tσ,k(α,β),则

定理2（积分算子）设c是实数且c＞-1 f(z)∈Tσ,k(α, β)，则函数

证明因为f(z)∈Tσ,k(α,β)，则由F(z)的表达式,得到

因此,F(z)∈Tσ,k(α,β).证毕.

定理3（单叶半径）设c是实数且c＞-1又设F(z)∈Tσ,k(α,β)，则由(5)式定义的函数f(z)在|z|＜R*中是单叶的,其中

为证明f(z)在|z|＜R*中单叶,只需证明在|z|＜R*中有|f' (z)-1|≤1.

由定理1可知

因此,如果

或者

即f(z)在|z|＜R*中单叶.

相同的方法容易证明凸半径：

定理4（凸半径）设f(z)∈Tσ,k(α,β),则f(z)在|z|＜R中是凸的,

证明设

则利用定理1，我们有

〔1〕G.S.Salagean,Subclasses of Univalent Functions[J]. Lecture Notes in Mathematics,vol.1013,Springer-Verlag,Berlin,1983,pp.362_372.

〔2〕李书海.特殊解析函数[M].内蒙古科技出版社,2007.

O174

A

1673-260X（2013）07-0005-02