无失效数据下滚动轴承的可靠性估计

但召江，楼洪梁，李兴林，郭明月，陈炳顺

(1.中国计量学院 质量与安全工程学院，杭州 310018；2. 杭州轴承试验研究中心 博士后工作站，杭州 310022；3.杭州诚信汽车轴承有限公司，杭州 310024)

随着轴承质量的提高，在可靠性定时截尾试验过程中会出现大量的无失效数据。由于缺乏足够的试验信息，传统的估计方法无法对其做出适当的可靠性估计。因此有必要对无失效数据下轴承的可靠性估计方法展开研究。轴承寿命服从两参数Weibull分布，两分布参数估计的准确性决定轴承可靠性估计的准确性。在无失效数据这种乏信息的试验过程中，Bayes估计方法能充分利用验前信息和试验信息，显示了其独特的优越性。无失效数据的产品可靠性研究起源于文献[1]，自该文献发表以来，对无失效数据的研究逐渐受到重视，并取得一定的成果。

目前，在无失效数据情况下，Weibull分布参数的估计中，由于参数的先验信息难以获取，大多数都从失效概率入手。在无失效情况下，失效概率大的可能性小，小的可能性大，根据这一特性利用共轭分布方法确定失效概率的先验分布，然后通过Bayes估计方法得出一组不同时刻的失效概率估计值，再通过最小二乘法求得分布的2个参数[2-3]。事实上，形状参数是Weibull分布中极其重要的参数，其数值决定了Weibull分布曲线的形状，如果能获得形状参数的先验信息，对提高参数估计的准确度具有较大意义。文献[4]用数理统计方法对轴承形状参数进行了深入研究，提出了轴承形状参数的具体分布，为轴承可靠性估计带来方便。

下文将Weibull分布转化为指数分布，以指数分布的失效率为切入点，在无失效数据下，利用共轭分布方法确定失效率的先验分布。Weibull分布形状参数的先验信息用2种方法取得：(1)通过文献[4]的研究成果，拟合一分布作为形状参数的先验分布；(2)根据生产经验以某一区间上均匀分布作为先验分布，然后利用无失效试验数据，得出失效率和形状参数的Bayes估计，进而计算得到轴承寿命的估计值，并在先验信息和截尾时间改变的情况下讨论其稳定性。

1 无失效数据模型

轴承寿命T服从形状参数为m,特征寿命参数为η的Weibull分布，其分布函数F(t)为

(1)

其中，m,η未知。现从中随机抽取n个样品分成k组，各组样品数分别为n1,n2,n3,…，nk，且n1+n2+n3+…+nk=n，各组样品分别独立地进行定时截尾试验，截尾时间分别为t1,t2,t3,…，tk，结果无一失效，则获得一组无失效数据(ti,ni),i=1,2,3,…，k。

若令λ=η-m,t*=tm，则Weibull分布形状参数和特征寿命的估计可转化为讨论指数分布的失效率估计[5]。

设产品寿命T*服从参数为λ的指数分布，其分布函数为

F(t*)=1-exp(-λt*),λ>0,t*>0。

(2)

影响Bayes估计准确性的关键因素是先验分布。将Weibull分布转化为指数分布有利于先验信息的获取。文献[5]提出先验分布应取共轭分布(Gamma分布)。

2 先验信息的获取

针对以上模型，在无失效数据下指数寿命型产品的失效率λ小的可能性大，大的可能性小，因此应选取减函数作为失效率λ的先验分布，由于模型中关于λ的信息极少，故采用共轭的方法确定先验分布。

在给定形状参数m情况下取Ga(a,b)为λ的先验分布密度，其中a,b为分布的超参数，由文献[6]可知，当00时，概率密度递减。则在给定m条件下λ的先验分布密度函数为

(3)

其中,a,b由2种方法确定[7]：(1) 由专家经验确定；(2) 用2个分位数确定，分位数可以根据先验信息和历史资料确定。例如用上下四分位数λU和λL，则a,b须满足

对于形状参数m的先验信息，可以从产品的历史信息中获得，例如对于某一型号的轴承，可以从历史试验数据中取得m的先验分布函数，至少根据生产方的经验可以确定形状参数的分布范围，最坏的情况下取形状参数m的先验分布为某一区间的均匀分布。关于形状参数的分布，文献[4]分别以滚子轴承、球轴承和轴承总体为母体讨论了其分布范围和平均值，并绘出了柱状图，这为以后轴承可靠性的评价提供了便利。在此根据文献[4]提供的数据，以球轴承为母体，将拟合得到的形状参数的概率分布作为先验信息。

对于文献[4]中的数据，通过拟合试验，在95%的置信水平下，形状参数m的先验分布符合Weibull分布。用Matlab提供的方法拟合得到形状参数m的分布密度函数π(m)为

(4)

式中：d=1.743 9；c=2.176 0。

对于某一型号的轴承，通常无法确定形状参数的具体值，但可以根据以往的生产经验，确定形状参数的区间，因此，也可以用该区间内的均匀分布作为形状参数的先验分布。在得到所有的先验信息的基础上，就可以利用试验数据对参数λ,m进行Bayes估计。

3 参数λ,m的Bayes估计

由(3)和(4)式得λ,m的先验联合密度分布π(λ,m)为

π(λ,m)=π(λ|m)π(m)=

(5)

在无失效数据下，相应的似然函数L(0|λ,m)为[8-9]

(6)

根据(5)和(6)式得λ,m的后验联合密度函数h(λ,m|0)为

(7)

由(7)式得到m,λ的后验边缘分布h(m|0)，h(λ|0)为

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

有了Weibull分布的参数后，就可以对寿命和可靠度作出估计，即

(13)

(14)

对形状参数m服从区间为[m1,m2]均匀分布的情况，只需将(4)式改为

(15)

将(15)式代替(4)式，进行(5)～(14)式计算，即可得到形状参数服从均匀分布情况下轴承寿命的可靠度估计。

4 实例分析

利用文献[10]中6203轴承定时截尾试验结果(表1)对上述方法进行验证，得到的一组无失效数据见表2，表2的截尾时间靠近失效时间。

文献[10]用最佳线性不变估计(BLIE)、最佳线性无偏估计(BLUE)和最大似然函数(MLE)3种方法得到估计结果，见表3。根据方法1和表2的数据，用(4)式作为形状参数的先验分布，先验信息中超参数a=0.01,b=1.5时，得到的估计结果见表3；用方法2，在先验信息中超参数a=0.05,b=5, 形状参数先验分布取[0.5,4]区间的均匀分布，得到的估计结果见表3。

表1 6203轴承定时截尾试验数据

表2 无失效数据的截尾时间

表3 文献[10]的估计结果和文中估计结果的对照

当先验信息不变，截尾时间分别为表2的0.4，0.6和0.8倍时，2种方法的估计值见表4。

表4 截尾时间按比例变化的Bayes估计结果

由表4可以看出，随着截尾时间延长，形状参数的变化不明显，但特征寿命在不断增加。对于方法2，当截尾时间取表2中的0.5倍，形状参数先验信息的均匀分布区间伸缩与平移变化时，估计结果的变化见表5。

由表5可以看出，当形状参数的均匀分布区间伸缩变化时，形状参数变化不大，特征寿命的变化较大。当形状参数的均匀分布区间平移变化时，特征寿命变化不大，形状参数的变化较大。这说明先验信息的改变对估计结果的影响比截尾时间改变带来的影响更大些。

表5 形状参数的均匀分布区间变化时估计结果

5 结论

(1)在无失效数据Bayes估计方法中，先验信息的选取对结果的影响很大。在先验信息准确的情况下，可以得到相对准确的估计结果。

(2)在Bayes估计中，先验信息的改变对估计结果的影响更明显，截尾时间的影响相对较小。

(3)从理论上说，方法1更可靠些，但需要较多的形状参数历史数据；方法2则相对简单易行。因此，具体使用哪种方法需要根据实际情况而定。

此外，文中提出的方法能否在轴承可靠性估计中推广使用，还需要更进一步的实践检验，毕竟Bayes法先验信息的取得在很大程度上是主观的。