香港数学教科书中数学史的编排特征与启示

谢益民

（暨南大学 华文学院，广东 广州 510610）

数学史对数学教育有重要的价值，在引发学习动机、为数学增添“人情味”、了解数学思想发展过程以及构筑数学与人文之间的桥梁等方面有不可忽视的作用．20世纪70年代起，HPM（History and Pedagogy of Mathematics）研究一直致力于数学史知识的史学形态向教育形态的转化，使数学史为生动活泼的数学教学服务．中国香港地区一纲多本的教科书制度已有五十多年，数学教学引入数学史已经有相当长的时间[1]，现行新学制仍将数学史融入数学课程置于重要地位，新课程指引[2]强调“学生应欣赏数学中的美学及文化”、“课程亦包括个别数学课题的发展和历史背景，让学生明白数学如何从前人的努力中演变出来”以及“欣赏数学的精确性、美感和在文化方面的贡献，以及其在人类活动上所发挥的作用”，等等．香港是中西文化交汇之地，因长期受西方思潮和传统文化的浸染，数学课程具备兼收并蓄的特征，目前香港各版本高中数学教科书不同程度地融入了数学史料，这些数学史料在内容选择、内容分布、呈现方式及内容设计等编排方面颇具特色．这里以香港新学制新版高中数学教科书《数学新思维》（必修部分）[3]为例介绍并分析“数学史融入数学教科书”的编排经验，以期能为中国内地数学教科书编写提供有益借鉴．

1 教科书内容体系

教科书《数学新思维》（必修部分）分为A、B、C、D、E五册，共22章，教学内容涵盖“数与代数”、“度量、图形与空间”和“数据处理”3个学习范畴，其中A、B两册主要涉及“数与代数”范畴，C、D两册主要涉及“度量、图形与空间”范畴，E册主要涉及“数据处理”范畴．

每章末都设有“探究天地”单元，附设在教科书的每一章后面，但不作为一节，共有22个探究单元；每册末还安排一个进阶学习单元“数学的进一步应用”，附设在每册教科书最后，但不作为一章，共5个单元，涉及9个探究专题．各册具体教学内容如表1．

表1 各分册的教学内容

2 数学史融入教科书的编排特征

数学史融入教科书的编排是以文字、图像、图表等为基础，并根据数学史元素和特定数学教学内容的需要进行的一种组织构造性设计，具有外部、内部特征，数学史内容选择、内容分布及呈现方式属于外部编排特征；而数学史内容设计却体现了内部编排特征，并表现出显性与隐性的特质．

2.1 教科书注重数学史内容多元化

以知识点为单位，这套教科书中共有33处数学史内容，具体内容如表2．从整体来看，每册教科书都编排了数学史内容，体现出一定的广度与连贯性，但数学史内容主要集中在A、B两册，共有22处，占数学史知识点总数的66.7%，而这两册主要涉及“数与代数”的教学内容，说明在香港高中教科书中“数与代数”方面的数学史内容比较受重视，这应与香港高中数学课程必修部分注重“数与代数”内容的学习分不开的．所选数学史的类型主要有数学家的生平介绍及其成果、数学家的趣闻轶事、数学问题解决的一些经典方法、数学知识形成与发展的相关史料以及经典数学问题等，例如，A册安排了“韦达生平介绍及其定理”，欧拉首创虚数单位 i等；B册穿插了“塔塔利亚和费罗的数学比赛”；C册重温了“高斯等差数列快捷求和法”；D册介绍了“线性规划的发展”；E册引用了“跳舞人字条里所蕴含的密码学问题”．

表2 各分册中的数学史内容

教科书中数学史内容关涉12个国度（如表3），这些国家先后共被提及31次，但仅出现4次亚洲国家，中国仅两次，出现频率高的国度主要集中在欧洲地域，出现25次，占国家总频数的80.6%，可见该教材比较注重欧洲圈的数学史渗透，这可能源于香港地区独特的历史与文化背景．另外，数学史内容不是站在数学角度以史论史，而是广涉艺术、哲学、测量学、军事学等6个学科领域（如表3），例如探索太极图背后的哲理、从军事学视角了解线性规划等，这就将数学史从多角度融入到数学教科书中．所选主题的史料关涉多个国度，广泛融合多个学科领域，注重数学史的跨学科联系，体现出内容及学科领域的多元化特色．

2.2 教科书将数学史料融入数学探究课题

数学史内容全部分布在相应“内容章节”、“探究天地（如图1a）”、“数学的进一步应用（如图1b）”，因“探究天地”与“数学的进一步应用”单元不作为“节”与“章”，故在此视作两个独立部分与“内容章节”区分，如表4．

表3 各分册数学史关涉国度与学科及频数

图1 教材图示

表4 各分册的数学史分布与呈现方式及频数

“内容章节”分为引言（如图1c）、正文、例题与习题．引 言部分以数学史为背景安排了关于“二次方程”、“黄金比”、“测量”、与“太极图”共4个探究性课题．正文部分是数学史分布的主阵地，共涉及20处，占数学史总数的60.6%，其中以节为单位，分布在各节的有11处；整节以史为主线的有两处；旁注共7处．值得一提的是，“数系”与“对数函数的发展”这两节内容整节以史为主要线索展开数学探究活动，辅以案例、例题阐释历史发展过程中的疑惑．在例题与习题里很少或没有涉及数学史内容，不失为一大遗憾．此外，数学史内容分布在“探究天地”与“数学的进一步应用”的探究活动中，“探究天地”共设 22个探究单元，其中 3个探究单元以数学史作为背景引出或展开，占探究单元总数的13.6%；“数学的进一步应用”共设有9个探究性专题（如表 1），其中斐波那契数列、三次方程、托勒密定理、塞瓦定理与密码学5个探究性专题以数学史为背景展开，占探究性专题总数的55.5%，以史为载体的探究活动更富有文化味与人情味，对学生更有亲和力，易引起学生的探究兴趣与乐趣．

2.3 教科书以“螺旋上升”形式编排重要史料内容

该教科书中的数学史编排并非某处教学内容的点缀，而是以“螺旋上升”的形式将不同课题内容相互关联．例如A册第二章引言部分是关于“黄金比”的探究性问题，本章末的“探究天地”继续探索“黄金比在艺术中的应用”，A册与 C册的“数学的进一步应用”单元分别编排“斐波那契数列”与“托勒密定理”，而且都涉及“黄金比”，这体现了该教科书中数学史分布的衔接性与统整性．以此为基础，完全可以再衍生出关于“黄金比”的更深入的探究专题，这为师生用好教科书留下了更多的思考空间．显然这种数学史编排设计符合学生认知水平发展，也可以帮助教师预测和解释学生在学习过程中可能出现的障碍和错误．

2.4 教科书运用“历史地图”的独特呈现方式

通过表4，可以看出教科书中的数学史除在一处仅以文字叙述之外，其它均以文字、图片配合呈现为主，图片主要有人物肖像、历史图案、数学图案与历史地图等类型，值得注意的是，在“数系”一节末配以一幅世界地图阐述数系的发展史（如图 1d）”，这种呈现方式似乎将数系的曲折发展过程演绎成了一个生动而有趣的历史故事．在数学教科书中以文字、图片呈现数学史内容是公认的呈现方式，而“历史地图”似乎是历史教科书的专利，但该套高中数学教科书以“历史地图”的方式在一幅世界地图上生动再现数系的曲折发展历程，这可能比任何其它方式都更容易使学生在头脑中构建数系及其发展历程的图式．

2.5 教科书融合多种数学史内容设计模式

该套教科书没有阅读材料式的数学史内容编排，数学史内容均融合到各个章节以及相应探究专题中，体现出“数学史融入教学内容”、“数学史为主线的教学内容”与“以史料为背景引出探究课题”3种设计模式．第一种设计模式以学习内容为主线，把蕴含数学思想方法的数学史的文化教育功能发挥出来，让学生在学习数学知识、欣赏数学的美感及文化感的同时并能体验数学思想方法，这是隐性融入的取向，如“高斯等差数列快捷求和方法”将数学思想方法完全融入教学内容．后两种设计模式蕴含“学习内容引出数学史”和“数学史引出学习内容”的理念，是数学史引领数学知识的学习，使学生置身于历史境遇中，对相关知识点形成历史性理解，具有显性融入的特质，例如“对数函数的发展”是“数学史为主线的教学内容”的模式，由对数相关学习内容引出数学史．涉及数学史的“引言”、“探究天地”及“数学的进一步应用”是“以史料为背景引出探究课题”的模式，以数学史作为背景内容引出学习内容．

3 香港经验对中国内地数学教科书编写的启示

随着HPM研究不断深入，学界就数学史与数学学习之关联提出了一系列理论，其中“历史发生原理”[4]认为个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序，这是运用数学史于数学教育的重要理论基础之一．“历史发生原理”在纵向维度提供一个衡量现行知识编排合理性的标准，同时也为设置更加符合学生认知过程的课程提供了指导；在横向维度上又为研究者提供了更加有效地利用历史元素设计教学的方法．香港高中教科书融入数学史的编排中不乏践行了“历史发生原理”的理念，其有益经验能为中国内地高中数学教科书的编写提供借鉴．

首先，教科书中数学史内容选择要注重多元化．多元化不仅要尊重内容及学科领域多元化，也要尊重文化多元化，这样学生自然会看到数学世界多姿多彩的一面．内地高中数学教科书中数学史主要集中在数学家生平、历史名题等内容的介绍，内容及学科领域多元化显然体现还不够．数学史料的内容及学科领域多元化并非将所有与课程内容相关联的数学史编入教科书，而是要本着学生能接受并能促进数学知识的深入理解的原则，针对教科书中不同内容来选取与其相关的数学史内容，并将发散的多领域多学科的搜索聚敛到数学学科的核心本位，即以数学为中心辐射其它领域，而其实课题与课题间在历史上显然不是孤立地发展起来，个中之脉络是最自然的联系．文化多元化也是不可或缺的，“老是讲中国数学比西方数学早多少年”[5]的争论易引发文化沙文主义（chauvinism）和狭隘民族主义，数学史料来源既要照顾民族感情，又要有国际胸怀，如“勾股定理”与“毕氏定理”、“杨辉三角”与“帕斯卡三角”可以同时在教科书中加以标注，以照顾不同的文化情怀．

其次，教科书中数学史呈现手段应强调多样化．在呈现途径上，内地教科书中数学史在“阅读材料”和旁注中呈现居多，如某套新课程标准高中数学必修教材中，数学史的有关内容共有22处，这些数学史内容分别出现在正文、例题、习题和阅读材料中，其中阅读材料占 63.64%[6]．在呈现方式上，内地高中教科书中数学史主要以文字呈现，如某套新课程标准高中数学必修教科书中的数学史 73%以纯文字给出，以纯图片形式给出的没有[7]，显然香港高中教科书中数学史“图文并茂”的呈现方式值得借鉴．但在具体编写过程中，“图”、“文”以及“图文组合”都可以多样化，呈现形式要尽可能丰富化，以激起学生的兴趣．由于学生对数学知识的认知过程和历史上该知识的发展过程存在一定的相似性，在不少教学的情境中融入数学史的目的除了在数学加点“人味”并让学生懂点数学史以外，更要引导学生学会历史地思考与理解数学知识的发生过程，所以数学史融入数学教科书是可以全方位、多样化渗透．

最后，教科书中数学史内容设计要兼顾多模式．虽然目前内地现行高中教科书收录了部分数学史材料，但形式比较单一[8]，数学史融入方式大都采用“附加式”，基本是“阅读材料式”的设计模式仍占主流，有些数学史料未作教育形态的加工，知识性与学术性太强，这种有“阅读材料之嫌”的数学史易被忽视，这就很难为教师研制教学案例、开展课堂教学提供直接的、有效的素材，难以发挥应有的价值[9]．想探讨某些数学概念形成的来龙去脉，又或想设计一些专题活动、想丰富教学话题等，数学史均能提供尚佳的素材，甚至能为数学较佳的学生设计增润活动[10]，所以需要兼顾多种设计模式将数学史料进行教育形态的转化，尤其要注重隐性融入模式的开发，“不提数学史，但用数学史”[11]，使数学史中所蕴含的数学思想方法更有效地融入教科书．另外，港版教科书中用数学史引出探究课题的设计范式无疑值得借鉴，这也刚好契合了中国内地高中数学新课标推崇的三大新增版块之一“数学探究”的理念．

总之，无论香港还是内地，数学史在新数学课程改革中都得到了广泛的重视，数学史不再是被边缘化的学习内容，已进入数学知识体系的重要位置，在教科书中也占一席之地．当前数学史走入数学课堂的焦点已不在于理论层面的“应然性”探讨，而在于具体教学行为中的“实然性”操作．尽管数学史融入数学教学的国际研究已经相当广泛和深入，多种融入模式对开展HPM实践都有很好的、甚至是直接的参考和借鉴价值[12～17]，但最紧迫的是既要立足本土，又要放眼全球，发展出一套从中国的数学传统出发并融合国外数学文化，且适合国人的数学史融入数学教科书的可操作模式，其中究竟如何更有效地促进数学史料形态加工与转化成教育形态并融入数学课程内容，这些都值得研究者们持续关注．

致谢：文章撰写过程中承蒙导师宋乃庆教授的悉心指导，以及杨新荣博士的宝贵建议，在此一并深表谢意！

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