中澳高中数学教材的比较及启示:以澳大利亚VCE课程与人教版高中数学教材函数与映射章节为例

张笑谦，胡典顺 ，2

（1．华中师范大学 数学与统计学学院，湖北 武汉 430079；2．华中师范大学 教师教育学院，湖北 武汉 430079）

1 引 言

VCE（Victoria Certificate of Education）是澳大利亚维多利亚州课程评估署（Victorian Curriculum and Assessment Authority，简称VCAA）所颁发的大学预科（高中）课程合格证书，其课程内容主要面向该国十年级后的学生，与中国高中学生年龄及学力层次相当．获得此证书的学生可以直接申请进入澳大利亚的大学．

由于VCE课程在国际上享有盛名，不但在本国学生中有很强的影响力，也是许多国际高中学生的首选课程之一．完成其课程的学生学力水平受到欧美澳各国大学的普遍承认，因此其课程内容是研究者进行课程设计和评估的良好参照样本，也是中国新课程改革可以依据的良好样本．

这里将通过对比较分析 IBID出版社出版的 Mathematics: Higher Level (core) 教材与中国人民教育出版社出版的数学1必修（A版）教材中函数与映射相关的章节，就知识顺序，知识设置，知识处理方式，习题设置4个维度进行比较，提出对中国教材内容改进的建议，为今后更为细致地研究积累材料．

2 中澳高中数学教材比较

2.1 中澳教材知识顺序的比较

2.1.1 中澳教材知识顺序比较概览

函数与映射是现代数学奠基性的知识之一，也是高中数学必修的内容，Mathematics: Higher Level (core) 教材使用第五章一章进行介绍，共分为4节；人教版数学1必修（A版）教材使用全书共分3章进行介绍，共分为7节，其内容对照如表1所示．

需要说明的是，由于澳大利亚将集合的定义及运算相关内容安排在初中学习，因此，为保证比较范围对等，这里未将中国人教版（A版）教材中第一章1.1节“集合”纳入比较的范围之内．

2.1.2 中澳教材在知识点安排顺序上区别明显

通过比较，澳大利亚教材的章节安排按照由浅入深的直线型顺序对知识进行安排．这种知识安排方式，最大程度地尊重了知识发生的过程，能够帮助学生一气呵成地理解整个知识版块的结构；学生所学知识由浅入深，由直观到抽象，符合学生认知发展的模式．并且由于知识内容的逐渐深入，教材本身即能够传递给学生将生活中的情境逐渐抽象成为数学模型并运用数学工具进行研究的思想，帮助学生更好地进入数学理论学习的氛围．

相对比，中国教材的章节安排则呈现出一种抛物线型的模式，在前期部分强调由浅入深的知识发生过程；在后期部分更重视回归直观现实，强调培养学生将抽象的数学知识回归实际问题的能力．中国新课程标准中要求，学生应通过课堂学习，掌握将所学知识应用到生活生产实际的能力．人教版的教材很好地满足了新课程标准的要求；但其局限性在于，由于知识内容有限，刚刚进入抽象性数学理论的学习，就回归具体的实际问题，在营造数学理论学习的氛围上则有所不足．

可见，澳大利亚的数学教材更多地注重培养学生数学理论学习能力，希望通过高中的数学学习，为大学学习更抽象系统的数学理论打好基础，注重学生学术方面的发展．中国的数学教材则更注重生活实际，强调学以致用，希望帮助学生培养快速地将所学知识转化为生产力的能力．另外，中澳教材在函数和映射两知识点的先后顺序，基本初等函数和函数基本性质的先后顺序两方面差异明显，值得探讨．

表1 函数与映射章节设置一览

2.2 中澳教材知识设置的比较

2.2.1 中澳教材中出现的相同和相似的知识点

中澳教材中共有如下7个相同的知识点：映射的定义，函数的定义，分段函数，指数函数，对数函数，幂函数，反函数．其中，在分段函数这一知识点中，澳大利亚的教材通过函数图象简单给出了“不严密（weak）”[1]的函数连续性定义，中国教材仅给出分段函数描述性定义[2]；在反函数这一知识点中，澳大利亚的教材给出了大量一般性的反函数相关知识，包括特征函数I(x)=x，，一般性的反函数定义、性质和计算方法[1]，中国教材仅给出了模糊的定义和特例[2]．

2.2.2 中澳教材中出现的不同的知识点

中国教材中出现了如下4个独有的知识点：函数的单调性与最值，函数的奇偶性，函数与方程，函数模型及应用，其中“函数与方程”和“函数模型及应用”两个知识点偏重训练学生通过函数工具解决实际问题的能力．澳大利亚教材中出现了如下4个独有的知识点：映射的性质，绝对值函数，函数的代数运算与复合，其中函数的代数运算与复合知识点难度较大，具有很强的抽象性．

2.2.3 中澳教材知识点的设置

从知识点的设置上看，中国偏向于直观性较强的知识，如函数的单调性，奇偶性，函数在方程求解中的应用和数学建模中的应用，学生能够在教师的指导下通过实例训练来熟悉与掌握．这样的知识点设置，符合新课程改革降低学生学业负担的要求，同时也能满足在培养学生运用所学知识解决实际问题的能力方面的要求．另外，中国教材中还渗透有现代数学思想．例如中国教材在介绍正实数指数幂及运算时，通过列表求近似值探究的近似值[2]，渗透无限逼近求极限的数学思想，而相对应部分澳大利亚的教材则忽略了这一点．可见中国教材一定程度上满足了新课标对于数学思想和数学文化的渗透，如果教师能合理使用，非常有利于学生的后续发展和数学品质的形成．

另一方面，澳大利亚的教材偏向于抽象性较强的知识，强调为学生营造数学理论学习的氛围．这一点在映射的定义，函数的代数运算，复合和反函数这两个知识点上体现得非常明显．澳大利亚教材映射的定义以集合的笛卡尔积为基础，构建线性空间给出定义，即映射是可以表示为二维实数空间中一列有序实数对组成的子集[1]，这里的映射特指实数集到实数集的映射．反函数的定义以复合函数为基础进行定义，即定义特征函数I(x)=x，对任一函数f(x)，若存在函数f-1(x)使得则称与互为反函数[1]．这种以抽象性知识点为主的知识点设置形式，更加有利于培养学生的抽象思维和理论分析能力，帮助学生更好地靠近现代数学对数学学习者的要求．

2.3 中澳教材知识处理方式的比较

2.3.1 中澳教材知识引入方式的比较

中国新课标提出，数学课程设置应“在数学应用和联系实际方面需要大力加强”，“力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用”，“数学与日常生活及其它学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识”[3]．根据这种理念，中国教材在大部分知识点的引入部分均采用现实实例，如函数的概念用“炮弹的射高”，“南极上空臭氧层空洞”和“我国城镇居民恩格尔系数”3个实例[2]引入．指数函数用“我国GDP平均增长率”和“生物死亡时间与体内碳14衰减规律”两个实例[2]引入．而澳大利亚的教材仅在介绍映射的定义使用了“中学生年龄与体重的对照关系”一个实例[1]引入，其余知识点均以学过的知识发展得到．这种引入方式更加尊重数学知识之间的逻辑联系的呈现，更有助于学生了解所学知识之间的联系，发展系统性的认知结构．

2.3.2 中澳教材知识学习方式的比较

中澳教材的知识学习方式差异不大，均以引入，介绍新知识，例题分析组成．区别在于中国教材每一小节后会配有习题供学生训练，并在每节和每章后设有A、B两组复习题，每章后设有实习作业和整章小节．澳大利亚的教材仅在每小节后设置习题，未设置小节或实习作业．下面以指数函数小节为例，进一步具体比较．

中国教材首先从前一小节学过的“生物死亡时间与体内碳14衰减规律”实例引入，给出一般的指数函数的定义；然后选取多个不同的指数函数，通过描点法绘出函数图象，通过函数图象直观总结指数函数的基本性质，并列表总结．接下来利用3个不同例题，分别训练学生利用指数函数性质求自变量或函数值，比较数的大小和实际应用的能力．最后提出与实际相联系的探究性问题，给出练习题．澳大利亚的教材以描点法比较的图象为起点，并考虑多个不同底数大于零的指数函数图象后给出一般的指数函数定义．接下来通过考虑不同情况的底数时图象的联系和区别，总结指数函数的基本性质，并列表总结．插入介绍自然对数后，通过4个例题训练学生指数函数及与指数函数相关的简单复合函数的求值和作图能力．

可见，中国的教材更注重引导学生运用掌握的知识点解决实际问题能力的培养，而在学生思维发展方面安排不足，难度较低．澳大利亚的教材没有设置实际问题的讲解和例题，着重培养学生数学思维，不断加深难度，营造数学理论学习的氛围，为后续学习作铺垫．澳大利亚教材的另一优点在于信息技术与学习过程的紧密结合；中国教材中信息技术的应用以课后阅读材料的形式给出，而澳大利亚的教材则在知识介绍和例题解答过程中以插图的形式穿插配合，不但案例多，而且更易于学生的学习和使用．中国教材的优点在于课后小结以框图的形式总结了本章知识点及相互关系，并以回顾与思考中的设问形式帮助学生回顾本章知识点，分清重难点，有利于学生课后自主学习．

2.4 中澳教材习题设置的比较

中国教材函数与映射相关章节习题共分 3类：小节练习，节后习题和全章复习参考题．其中节后习题与全章复习参考题按难度分为A、B组．澳大利亚教材相应章节习题未分类，均置于相关小节之后．具体数量如下：中国教材小节练习39道，节后A组66道，B组26道；复习参考题A组34道，B组16道；澳大利亚教材习题共有111题．从题目分类来看，中国教材分类更细致，有益于教师和学生选择难度和数量适合的练习，澳大利亚的教材习题则更需要教师对教材和知识的把握和对学生情况的了解．

从习题涉及内容上看，中国教材习题分数学知识训练和涉及实际问题的习题两类．涉及实际问题的习题大多数安排在节后习题和全章复习参考题中，约占总题数的50%～60%，大多数与现实生活、生产相联系，体现了新课改中强调数学知识在应用和联系实际方面的需要．澳大利亚教材均为数学知识训练题，其训练角度较中国教材习题分类更细致，每一题基本均对应一个知识点．另外，其练习中大量出现复合函数和分段函数，其中部分难度较大，要求学生综合运用所学知识解答．因此在深入训练学生数学思维能力和数学理论知识综合运用方面则更优于中国教材，对于学生进一步学习更有益处．

3 思考与建议

3.1 关于教材编写应如何切合知识发生过程

通过比较发现，中国高中数学教材与澳大利亚数学教材，在知识的安排顺序上有两个重要的区别，即函数与映射概念的先后顺序和基本初等函数和函数基本性质的先后顺序．究其原因，中国在初中设置函数版块，介绍了简单的函数相关知识；而澳大利亚的数学课程中函数部分则完全是在高中完成．因此，中国高中数学教材中，以初中函数相关知识作为背景，进一步讨论函数的定义和简单性质，再进一步学习新的函数形式；而澳大利亚的教材则按照先介绍函数后讨论性质的顺序处理．

而从知识发生的顺序上看，映射是函数的上游概念，基本初等函数是函数基本性质的上游知识；因此研究者希望通过以函数与映射概念的先后顺序为例，讨论关于教材编写应如何切合知识发生过程的思考．

在课程改革的讨论声中，对于函数与映射孰先孰后的问题，一直是争论较多的话题之一．国内许多学者和教师认为，映射概念的教学应置于函数概念的教学之前[4]，与澳大利亚的教材处理方式相同；而在课程标准中，也提出了中国教材的处理方式的原因．

对于先映射后函数的处理方式，主要有 3个方面的原因：

其一，先映射后函数符合数学知识发生的顺序．无论是函数还是映射，都不能避免“对应”的思想，在理解了“对应”思想的基础上，应用集合语言的工具可以将两个集合联系在一起，建立对应关系，形成映射的概念；而函数的概念是在映射的概念中进一步加强对应关系的约束条件得出的更特殊的情形．因此从发生的顺序上讲，映射的概念先于函数的概念形成．

如果跨越映射概念直接进入函数概念的学习，则可能影响到学生对“对应关系”的正确理解，并误以为只有类似于函数的“一个原象有且仅有一个象”的“对应关系”才能称为“对应关系”，造成先入为主的错误观念．反之，先学习映射的概念，再学习函数的概念，则是在原有概念的基础上，通过概念同化给出函数的概念，水到渠成．

其二，映射概念比函数概念更直观和易于理解．上面已经讨论过，映射是一种集合间元素的“对应关系”，函数是一种定义在实数集上的“一个原象有且仅有一个象的对应”的特殊“对应关系”．因此，比起函数概念，映射的概念更容易在生活实际中找到学生易于理解的直观例子进行分析．例如，学校为方便管理，给每位学生编制学号；超市中每一个商品都有对应的条形码；每辆私家车都有唯一的车牌号，等等．可见，映射定义比函数定义更直观，而由直观到抽象则是数学学习的基本要求之一，因此先映射后函数从理解的角度上优于先函数后映射．

最后，先函数后映射是为了讲映射而讲映射．人教版（A版）教材中映射的概念安排在“1.2.2 函数的表示法”小节的最末，给出了映射的概念和几种不同类型映射的例子；下一小节“1.3.1 单调性与最大（小）值”继续讨论函数的相关知识．由此可见，映射放在1.2.2小节最末讲解，不但打断了函数从定义到性质的知识发展顺序，而且与前后，特别是后文联系不紧密，显得异常突兀，表现出“为了讲映射而讲映射”的特征．如果该节将映射的定义这一部分删除，不但不影响这一章节知识，而且整体上更加流畅．

中国人教版（A版）中先函数后映射的编写方式，也有自身的原因．

在欧美国家，函数概念是在高中给出的．而在中国，初中已经用“变化的量的相互关系”介绍了函数概念．因此从初中的函数概念出发，给出初中函数概念无法解释的现象，引起认知冲出，引出新的概念，也符合知识发展顺序和学生认知发展规律，且更符合中国中学数学教学的实际情况．因此建议，可以将映射的定义和简单性质置于课外拓展阅读部分介绍，供学有余力的学生补充学习，这样既不影响课本知识的连贯性，对于映射的介绍也不用担心因为教材篇幅等原因只能对映射浅尝即止．

3.2 关于知识内容中直观性和抽象性知识的取舍

通过对比发现，中国高中数学教材知识设置与澳大利亚教材在知识的选取和设置上有明显的区别．中国教材以直观性强的知识为主，澳大利亚的教材以抽象性强的知识为主．例如，中国教材在函数与映射章节中设置了“函数的基本性质”一节，置于“基本初等函数”一节之前，主要介绍了函数奇偶性和单调性两个性质，而澳大利亚教材相对应的部分置于“基本初等函数”之后，介绍函数的运算，复合函数与反函数．以下是关于这一部分的一点思考．

其一，函数的奇偶性，其本质是函数的图象的对称性的一种特殊情况，是函数线性变换性质中特殊的一种．而中国教材在浅尝辄止地引导学生观察函数奇偶性与函数图象关系后，由于缺少合适的案例，没有进一步引导学生从变换的角度看待函数和函数的图象，再加上该章节后续知识的学习中很少有能用到函数奇偶性的部分，因此函数的奇偶性安排在此处显得非常突兀．而该章后面要介绍的幂函数和学生未学习的三角函数均是对称性极强的函数形式，为函数的奇偶性的探究提供了非常合适的案例，更适合学生理解和运用函数的奇偶性，同时也是学生了解函数线性变换的绝佳案例，并能以此为基础渗透以运动与变换的视角观察函数的数学思想．类似地，由于未学习导数与微分，学生对于函数的单调性这一知识点只能从图象的变化上进行直观理解，而通过定义判断函数的单调性的方法适用范围窄，可操作性低，特别是无法快速确定函数的单调区间．按照现有学生的认知水平，只能进行简单地识记，而无法进行有效而广泛的应用，有“为介绍单调性而介绍”的嫌疑．因此，“函数的性质”这一小节的安排是否恰当还有待商榷．

其二，澳大利亚教材没有介绍函数的奇偶性，而是细致介绍了复合函数和反函数知识点．理解复合函数是理解和解决复杂的函数的问题的基础，高中数学中遇到的函数问题绝大多数都是基本初等函数复合而成，其重要性不言而喻．而且，利用已学过的函数的定义、基本初等函数等知识就能很好地构建高中所涉及的复合函数知识，可很好地与学生认知结构相联系．另外，由于指数函数与对数函数为该章节中的上游知识点，为反函数提供了良好的案例；复合函数为反函数定义和性质的数学符号表述提供了良好的工具，反函数本身“为认识后续各类函数及其关系、性质提供理论支撑，有利于学生从联系的观点认识各类函数”[4]．因此通过反函数的学习与理解，能帮助学生进一步培养自身抽象思维等数学思维能力，为后续学习更为抽象和系统的数学知识打好坚实的基础．而中国教材则由于新课标的降低难度的要求而删除了复合函数，反函数也仅仅要求进行直观理解，对于学生抽象思维的发展，用联系的视角看待函数的思想的培养均不利，因此这种改动是否合适还有待商榷．

研究者建议，中国教材在函数的基本性质这一部分的安排上可以按如下形式处理．

第一，函数的单调性置于“函数模型及其应用”这一章，以通过函数工具寻找实际问题的最优解为参考切入点，以直观理解的方式简单介绍，使学生对函数的单调性和某一区间的最值有直观认识，并通过实例问题加深理解，练习初步的应用．

第二，函数的奇偶性可安排在“幂函数”中作介绍．由于幂函数这一节着重讨论的内容既在初中有所接触，又在高中有进一步发展空间．因此将奇偶性置于这一节介绍，不但可以将学生已有知识点与高中所要介绍的函数的对称性、线性变换等知识相联系，而且还能渗透现代数学中重要的变换的思想，更有利于学生形成系统的认知体系，并为未来进一步发展打好基础

第三，复合函数和反函数在课程标准中不要求学生掌握，但是依旧是学生需要了解的重要内容．因此在现有课程标准的要求下，复合函数和反函数可以安排在基本初等函数一章结束后，以课外拓展阅读的形式进行介绍，不但满足课程标准，也为有能力的学生进一步加深对函数的认识与理解，为其进一步发展作准备．

3.3 关于理论性和实践性两者的平衡

中国新课程标准要求“学习有用的数学”，“增强联系实际和应用能力的培养”[3]，同时要求避免数学理论难度过高．因此在教材编写方面，中国的教材更注重体现数学的实践性．而澳大利亚VCE课程则更注重学生未来的发展，即学生现有水平与认知结构和大学数学学习的要求之间的联系，在教材编写上更注重数学的理论性．由此，中国和澳大利亚教材从各方面都有较大区别．

从整体上看，中国教材其形式类似于一部问题解决集，即遇到实际问题，介绍数学理论，回归实际问题．澳大利亚教材形式则更像一本系统介绍数学理论的书，以连贯系统的方式呈现数学理论．从知识设置和处理上看，中国教材更注重实践性知识的介绍，使用大量篇幅介绍各类实际问题，因而限制了教材对于数学理论本身的介绍篇幅，因此也限制了学生所接触的知识的广度与深度，使其数学理论的发展空间受到了一定的局限．澳大利亚教材则更多介绍理论性数学知识，有一定的深度，能进一步发展学生思维，而且澳大利亚的教材在知识的连贯性上非常好，有利于学生知识体系的形成，有助于引导学生进行知识体系构建和拓展．

由此，中国中等教育需要注意中国高中生在数学学习上学力下降的风险．从外国教育改革的历史经验来看，美国和日本在进行教育改革中都遇到过降低学业标准带来的高中毕业生学力下降的问题，导致许多选择升学的学生进入大学后无法很好地适应大学的学习，许多选择就业的学生只能从事简单机械的劳动，以及很多相关的社会问题．因此，为了尽量避免这种问题的产生，研究者建议，能否参照澳大利亚的教材模式，在介绍数学理论的部分，系统而连贯地介绍数学理论，尊重知识的连贯性和完整性．同时发挥中国教材设有实习作业和课后导读的优势，通过实习作业以数学建模为载体介绍该章节的数学知识在实际生活中的运用方式，通过课后导读介绍对该章节知识进行拓展和深入，渗透现代数学思想．由此进一步使不同的学生各取所需，尽量避免强调数学实践性时过于牺牲理论性的数学学习．

[1]Buckle N, Dunbar I. Mathematics-higher Level (Core) [M].Victory: IBID Press, 2007.

[2]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书 数学1必修（A版）[M]．北京：人民教育出版社，2004．

[3]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[4]俞求是．高中数学课程标准实验问题研究[J]．教育学报，2009，5（6）：36-44．

[5]Victorian Curriculum and Assessment Authority. Principles and Guidelines for the Development and Review of VCE Studies [EB/OL]. http://www.vcaa.vic.edu.au/, [2009-3]