混沌理论在滚动轴承故障诊断中的应用

吴参，李兴林，孙守迁，张燕辽，张仰平

(1. 杭州轴承试验研究中心 博士后工作站，杭州 310022；2. 杭州电子科技大学 机械工程学院，杭州 310018；3.浙江大学 现代工业设计所，杭州 310027)

振动分析法是通过安装在轴承座或箱体适当位置的振动传感器监测轴承振动信号，并对此信号进行分析与处理来判断轴承工况与故障的方法。由于滚动轴承早期故障振动信号容易湮没在大量噪声背景下，使得振动分析法的应用受到极大的制约。一般来说，振动烈度、峰值因子、偏态和峭度是判断滚动轴承故障的常用特征值。但实际上，当轴承出现微弱故障时，其振动烈度不一定突然变大，很难在测量得到的振动信号中分辨提取出故障特征。近年来，一批国外学者采用了先进的信号处理方法和技术，以期达到更好的检测效果[1-5]，但是仍没有得到较好较稳定的效果。

混沌故障诊断是振动分析法中的一个重要分支。混沌是指确定性系统中出现的一种貌似无规则的、类似随机的现象[6]。混沌系统对初始条件的敏感依赖，是系统内在的、固有的随机性引起的，这是非线性系统在一定条件下表现出的特有现象。由于混沌系统对初始条件和参数的极度敏感，只要将被测的微弱信号加入到混沌系统中，就会导致该混沌系统的动力学行为发生本质的变化，应用这一特点可以检测噪声背景下的微弱信号。

1 轴承工作中的混沌振动

滚动轴承在工作过程中会产生大量的混沌振动。文献[7]研究了游隙对滚动轴承振动形式的影响，提出了包含游隙的滚动轴承振动模型，分析了游隙大小和轴承转动频率对最大Lyapunov指数、Poincaré截面的影响。文献[8]研究了空气动力学影响下带偏心力的四叶径向轴承的振动情况，从功率谱密度图以及分叉图中可以发现大量的混沌现象。文献[9]基于试验研究了滚动轴承通向混沌的路径，数据表明有分谐波道路和拟周期道路两大类。

除了轴承本身以外，轴承座、轴、负载情况都会造成轴承的混沌振动。文献[10]研究了齿轮负载下考虑动力学冲击和摩擦的滚动轴承振动模型及其混沌振动情况。文献[11-12]研究了轴承座的弹性阻尼对轴承混沌振动的影响。

由此，可以看到轴承的工作中包含了大量的混沌振动信号，轴承的混沌故障检测是可行的。

2 混沌故障检测

混沌故障检测是由美国学者Birx在20世纪90年代首先提出的设想和设计[13]。而后国内、外众多学者在混沌故障检测上深入探索，并与其他信号处理方法交叉，取得了较理想的理论成果。在方法上，文献[14-15]分别研究了基于混沌粒子群优化算法(CPSO)和支持向量机(SVM)的故障诊断算法。文献[14]测试了冲击、偏置、短路和漂移4种信号情况下的诊断结果，研究表明在大量试验的基础上该算法可以通过自学习得到较准确的诊断结果。文献[15]对多故障并发状态进行了检测，结果表明在经过适当数据量的训练后，该算法能够较好地对并发故障进行分类。另外，文献[16]提出了一种根据引入混沌振子系统中二维近似熵变化来判定故障模式的故障诊断方法。在应用上，文献[17]将阵发混沌与滑窗符号序列结合，用于液压泵的故障诊断，取得了良好的效果。此外，混沌故障诊断技术也被广泛用于医学信号分析，如文献[18]研究了一种时空小波混沌方法应用于脑电波图的老年痴呆症诊断。

目前，对滚动轴承振动信号的检测基本依赖于压电式加速度传感器，该类传感器体积小，精度高，能够满足工业现场安装的要求。其安装方式一般如图1所示，图中2个压电式加速度传感器分别安装在轴承座的12点和9点方向，测量轴承平面内垂直方向和水平方向的振动情况。在某些精度要求较高的场合，会安装一个光学探针来测量滚动体的运动情况，从而更精确地估计轴承的故障频率。

图1 轴承检测传感器布置图

3 混沌理论在轴承故障诊断中的应用

从现有文献看，将混沌理论应用于滚动轴承故障诊断的方法主要有两种：(1)引入混沌振子系统，通过临界状态的变化判定故障模式；(2)用混沌动力学方法提取特征值，标识各种故障模式。

3.1 混沌振子系统的应用

目前,混沌振子系统在滚动轴承故障振动检测中的运用主要是混沌检测模型相变的检验，即将混沌检测模型参数调至阈值点，使系统处于一种临界状态，将待测微弱信号作为系统周期策动力的摄动，引入到检测模型中，依据系统从混沌状态到周期状态发生的相变，检测出微弱信号的存在。

国内众多学者在利用混沌振子检测微弱信号方面作出了重大贡献。如文献[19]用混沌振子检测湮没在高噪声背景下的方波信号。文献[20]提出了一种强噪声背景下的频率测量方法。此外，文献[21]采用Melnikov方法作为混沌判据，利用混沌振子阵列实现对噪声背景下微弱信号的检测，并通过仿真试验表明其检测方法简单、有效，检测的精度也比较高。文献[22]利用混沌振子检测出淹没在强噪声背景中的微弱三角波信号。文献[23]将混沌系统检测弱信号方法与自相关方法和滤波方法相结合，得到了弱信号检测的新方法(联合检测)。文献[24]对淹没在强分形噪声中的信号进行多尺度小波变换，根据分形噪声信号小波系数的平稳性，建立状态方程和观测方程，利用模糊自适应Kalman滤波和Duffing振子对噪声的免疫力，来检测微弱信号。

混沌检测模型最常见的是Holmes型Duffing系统[25-27]，其方程为

(1)

式中：ω0为任意频率；c为阻尼比；F0cos(ω0t)为Duffing系统内部周期驱动力。当加入被测周期信号和噪声干扰后，(1)式变为

(2)

式中：ω1，θ分别为被测周期信号的频率和相位；N为服从正态分布的随机噪声。如果将c固定，随着F0的增大，该系统经历了小尺度周期运动、分叉、混沌运动和大尺度周期运动4种状态。一般选择混沌运动和大尺度周期运动的临界点作为检测点，具体方法如下。

(1)将Duffing系统内部驱动频率ω0设为被测信号频率ω1，即ω0=ω1。ω1取值为轴承内圈、滚动体或外圈故障频率等轴承故障特征频率。

(2)应用Melnikov方法等计算系统从混沌运动到大尺度周期运动的临界点Fd值。

(3)将F0设为略小于临界点Fd。此时，若被测信号输入为0，则系统处于混沌运动状态。当被测信号输入不为0，只要F0+F1>Fd，该系统就会由混沌运动转变为大尺度周期运动。根据系统运动状态的改变，监测信号中是否含有频率为ω1的轴承故障信号。

但是这种运用混沌振子系统的方法对于不同的检测对象有其适用的前提条件：(1)由于需要预先确定ω0，ω1的值，因此在检测前轴承可能的故障频率(即被测周期信号频率)必须是已知的。而在实际情况中，该信号频率只能通过动力学理论公式大致计算得到，其值并不精确。同时，对于不同的检测对象要调整不同的诊断系统参数，需要“一机一调”，给工程实际应用带来较大不便。(2)通过动力学理论公式计算得到的轴承故障频率应贴近实际故障频率，并在其邻域内不存在其他周期成分，否则会影响诊断结果。而实际工程中由于外部噪声原因可能引入周期信号，比如电网波动周期信号，在实际工程应用上存在不可避免的缺陷。

3.2 混沌动力学分析的应用

混沌动力学分析是将被测数据赋值给一个单变量时间序列{xn}，对该时间序列进行相空间重构，提取该序列的混沌特征量。由于混沌特征量是混沌动力系统最根本的几何不变量，因此只有当轴承发生故障时，即该混沌动力系统发生变化，其混沌特征量才会随之发生变化。其基本思想是：任意混沌系统在经过初始的收敛过程后，会产生一种规则的轨迹，即混沌吸引子。由于系统中的任意变量都是与其他的变量相互作用，相互影响的。因此，所有这些相关变量的信息都包含在一个变量的变化过程当中。所以，可以通过观察足够长度的某一变量的变化，从该时间序列中提取和再现原有系统的动力学规律[6]。

对被测数据作以下相空间重构

(3)

从而形成m维状态空间，在重构的m维状态空间中可以建立数学模型

xn+1=G(xn)。

(4)

形成m维空间，只要m≥2d+1，动力系统的几何结构就能完全打开，其中d为系统中吸引子的维数，τ为时间延迟间隔。由于状态空间Rm中的吸引子的几何特征与原动力系统的几何特征完全等价，所以原动力系统的任意微分或拓扑不变量可以在重构的状态空间中计算。

目前，在故障诊断中常用的混沌特征值主要有最大Lyapunov指数、关联维数和Kolmogorov熵等。

3.2.1 最大Lyapunov指数

从时间序列中计算最大Lyapunov指数的最早工作是轨线法。文献[28]提出了小数据量法求最大Lyapunov指数的方法，该方法在相空间重构后，其基本步骤如下：

(5)

(2)对相空间中每个点xn，计算出该一对邻点的i个离散时间步后的距离dn(i)为

(6)

(3)对每个i，求出所有n的lndn(i)平均y(i)，即

(7)

q为非零dn(i)的数目，并用最小二乘法作出回归直线，该直线的斜率就是最大Lyapunov指数。

3.2.2 关联维数

关联维数是分形维数的一种，能定量地描述混沌吸引子的分形特征，由于计算方便，在轴承故障诊断中应用较为广泛。在相空间重构后，其基本步骤如下：

(1)计算相空间各向量间的距离

rij=|Yi-Yj|；

(8)

(2)在min(rij)和max(rij)间取一适当的r，计算得

(9)

式中：C(r)为距离小于r的向量对在所有向量对中所占的比例；r为吸引子自相似结构的无标度区；H(x)为

(10)

(3)计算关联维数

(11)

3.2.3 Kolmogovov熵

Kolmogorov熵定义为信息的平均损失率，但在不知系统动力学方程时，Kolmogorov熵难以计算得到。由于K2≤K1≤K0,其中K2为Renyi熵，K1为Kolmogorov熵，K0为拓扑熵。因此通常计算K2熵作为Kolmogorov熵的近似。其计算方法与关联维数的步骤(1)，(2)相同，而后计算

(12)

混沌动力学分析方法目前已经引起众多学者的关注，但是也存在着不可回避的问题：(1)混沌动力学方法在时间序列赋值前一般需要进行滤波，该滤波频率及方法与后续混沌动力学分析之间的关系缺少理论指导，目前的文献中该滤波一般凭研究人员经验自行决定。(2)混沌特征量包含众多参数形式，如何选择及选择多少个混沌特征量都是悬而未决的问题。

4 结束语

到目前为止，对于混沌理论在滚动轴承故障诊断中的应用，国内还主要停留在理论研究或实验室阶段，在市场上还没有以混沌理论为基础的的滚动轴承故障诊断设备问世。混沌理论在滚动轴承故障诊断中的应用在以下方面有待进一步研究。

(1)混沌理论的应用能够通过检测故障特征判定滚动轴承故障。但是相同的特征量变化对于不同的滚动轴承可能意味着不同的故障模式，因此需要明确故障模式与混沌故障特征的映射关系。

(2)目前混沌理论在故障诊断中的应用基本都是对单一故障提出的，而实际工程应用中，故障模式往往是并发甚至是多发的，因此在并发或者多发情况下混沌故障特征的变化能否满足故障识别的要求还要进一步探索。

(3)混沌理论的应用主要起到了滚动轴承故障特征提取的作用，仍需要进行诊断决策算法的研究。