“问题”是提升数学思考力的金钥匙

许克城

数学思考是学生进行数学学习的核心，让学生经历数学思考的过程，是唤起学生对数学的好奇心，激发并维持学生主动和自主学习的根本保证，是提高学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的有力措施，是培育学生实践能力和创新意识的有效途径。数学思考作为一种“过程性目标”，实际上是让学生经历“做数学”的过程，也就是让学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程。真正有效地让学生进行数学思考。那么，如何抓住“问题”这把金钥匙，将“数学思考”目标作为数学课堂教学设计与实施的一个基本出发点，笔者试从“发现问题”、“提炼问题”、“探究问题”、“贯通问题”、“深化问题”、“提升问题”这几个层面进行探索，以促进学生数学能力的发展，帮助学生运用数学的思维方式进行思考。

一、强化自主意识，引导学生提出数学问题

1.在读书中发现问题

苏霍姆林斯基说过：“学会学习，首先要学会阅读。”数学课本是依据《数学课程标准》，并考虑不同年龄学生认识的特点按数学知识的内在联系，由浅入深、循序渐进，精心编写出来的。学生不仅要利用课本来理解教师讲授的内容，还要利用数学课本来进行预习、复习和作业等。我们的学生认为阅读只是学习语文、英语的事，只是把数学教材当成习题集，阅读教材成为教师的专利，学生只要听懂就满足了，即使教师布置预习，学生也只是蜻蜓点水，浮光掠影读不出要点，读不出字里行间所蕴藏的精髓，长此以往，学生的阅读数学课本的能力和习惯就得不到提高，阅读正在成为阻碍数学教学质量提高的绊脚石。因此，笔者在教学中充分发挥数学课本的作用，不断创设机会，培养学生认真阅读数学课本的能力和习惯，培养学生发现问题的能力。

例如，在学习“百分数”这一单元组时，学生通过阅读课本，就可以发现很多的问题：百分数的含义和作用是什么？生活中百分数运用在哪些地方？百分数和分数的不同之处在哪里？教育储蓄存款和国债是怎么回事？它们的利率是多少？等等。又如，学习“小数的认识”，学生可以从课题中发现为什么会产生小数？什么叫小数？小数的计数单位是什么？小数是怎样组成的？在生活中哪些地方会用到小数？等一些具有探究性的问题。学生的习惯是从小培养的，只有老师经常这样训练，学生才能慢慢地形成“在读的过程中去发现问题”的良好习惯，进而带着问题走进思维的殿堂，在课堂中去思考。同时教师要不断地引导学生质疑，质疑能使学生观察得更仔细，发现问题的能力更快捷，思考问题更缜密深刻，步步为营，步步提升。久而久之，学生在阅读时，也学会抓住关键，多问些为什么，思维的深刻性、敏捷性随之培养。

2.在讨论中提炼问题

学生在自主学习中，相互讨论是必不可少的环节，而相互讨论是以提炼问题为前提的。教师给出一个问题，学生经过讨论能够对问题了解得更加深入，更臻于完整。

在学生学习了长方体的体积之后，出示一块不规则的彩泥，让学生讨论怎样计算它的体积。在学生的讨论中，提出了“把彩泥变成长方体”或“把彩泥放在水中”等想法，这时教师同时将学生的想法演示出来，让学生观察彩泥是怎样变形的；接着出示一杯水，再让学生讨论怎样计算这杯水的容量。最后教师提问：“为什么要把彩泥转化成长方体或放置水中？彩泥“变形”了（这是外观性），它的体积“变化”了没有（这是核心性）？让学生在讨论中得出彩泥“变形”，只是外在的变化，并没有改变它所占的空间，因此它的体积没有改变，这是内在的，在这种“形”变“体”不变的思维中，渗透了转化的数学思想，使学生的思维达到上位性的思维。

再如，“妈妈今年43岁，女儿今年15岁，几年前妈妈的年龄正好是女儿的5倍？”这个问题对学生来说看似有点复杂，其实其中蕴含的却是非常简单的数学原理。教师可以让学生自己讨论，将问题精简化，把上述问题通过数学建模用式子表示出来：由于问的是几年前，我们就假设成a年前，这样可得出5×（15-a）=43-a，进而求得a=8，就是8年前妈妈的年龄正好是女儿的5倍。这样，通过讨论，学生能利用已有的“用字母表示数或等式”的数学经验把应用问题提炼成数学等式，求解未知数a，简单明了，有利于培养学生提炼生活化数学问题的能力。

二、创设思考环境，促进学生探究数学规律

1.在练习中探究问题

所谓实践是检验真理的唯一标准，在教学中，教师应创设条件，留出教学空间和时间，引导学生主动参与、实践，练习，提供让学生独立思考的机会。对学生在数学练习的探究过程中的点滴成绩，要给予及时的表扬鼓励，正视学生之间的差异，实施分层评价，使每个学生都能体验到探究成功的喜悦，从而获得更强烈主动的探究知识欲望。在练习中，教师应着重对解题思路、解题方法进行指导，这种指导要求教师及时捕捉学生思维的火花，运用自身的知识积累、经验和智慧，给学生以点拨和启发，即所谓的“点到为止”，将思考和更多想象的空间留给学生，让学生自己去发现、探究、解决。

例如，笔者在教学中有过这样一道思考题：“一只蜗牛从5米深的井底向井口爬，它白天向上爬3米，晚上滑下2米，那么要几天爬到井口呢？”大多数学生是这样想的：蜗牛白天向上爬3米，晚上滑下2米，就等于一天爬1米，井深5米，那不就是要5天了吗？通过引导学生自主探究，画图操作，拓展了思路，帮助他们找到了问题解决的关键：第一天向上爬3米滑下2米等于只向上爬1米，同理第二天也只向上爬了1米，这样两天共向上爬了2米，这时的蜗牛距井口只剩下3米，那么第三天再爬3米就直接到了井口不会再滑下去了，所以只需3天就可爬到井口了。用画图的方法把抽象的问题具体化、直观化，在练习实践中实现探究，从而能帮助学生迅速地搜寻到问题解决的途径。

2.在思考中贯通问题

发现问题是关键，善于思考是重点，让学生学会数学思考，是学生数学素养的核心内容。因此，数学学习活动在突出让学生经历数学化的过程，让学生从自己的数学经验出发，经过自己的思考、实践，在思考中贯通问题，才是数学教学的终极目标。

例如：教学“有余数的除法”时，教师给每个小组的学生准备了一些小棒，让他们摆出自己喜欢的图形，并且要重复摆这个图形，直到小棒不够摆一个完整的图形为止……小组活动后，引导学生思考：“这个摆小棒活动能用简洁的数学式子表示出来吗？”学生们写出了“17÷3=5……2”、“17÷4=4……1”等不同的数学式子。“那最后面这个数叫什么数呀？”“叫余数！”，通过摆小棒，学生主动建构了“余数”这一概念，这就是思维的前后贯通，但这只是第一层面。接着，教师让学生猜一猜“任意一个数除以5可能会余几？”有了之前摆小棒的活动经验，学生们很快就发现余数可能会是0、1、2、3、4，教师追问：“为什么不可能余其它的数呢？余数和除数有什么关系呢？”学生们通过观察、思考、检验，自己总结出“余数一定比除数小。”这才是第二层面的，也是深化性的贯通，比第一层面仅停留在概念上的更重要。这样的教学，注重问题的设计，但更注重思维的前后贯通性，学生人人体验到了思考的价值，解决问题的快乐。

三、拓宽思维广度，引领学生揭示数学本质

1.在交流中深化问题

交流是学生进行有效学习的一种手段，面对困难，学生在小组交流过程中，能够表达和交流自己的想法，让思维进行碰撞，相互启发，相互认可，使得每个人都在迷惘中找到了方向，让模糊的认识变得渐渐清晰，深化对数学知识的理解，最终解决问题，获得了巨大的成功体验。其次，交流应是双向的，实现有效的互动与教师创设的问题情境密切相关，教师在课堂教学中只有创设一些具有一定思考性、探究性、思想性、趣味性和能引起学生认知冲突的问题与讨论性练习，才能够实现师生、生生之间有效的互动。

例如，学习了“长方体的表面积”一课后，教师从茶叶的包装入手，启发学生参与交流思考问题，并主动动手实践：装6小盒茶叶，包装成一个礼盒，你能设计出几种不同的包装方案？可用茶盒代替，为了便于表达，大面用A表示，中面用B表示，小面用C表示，有的学生按接触面来思考，有的则以两个或三个茶盒为一组作为一个整体进行设计，通过有序思考，得出一共有9种不同的包装方法。之后，教师接着追问：商场里茶叶礼盒又是怎样包装的，为什么要这样包装？将大面设为6，中面设为3，小面设为2，学生通过计算得出有的表面积较小，有的表面积较大，并感受到这是因为重叠部分面积大小所决定的，至于不同的包装样式，有的是考虑到经济实用，有的是考虑到美观大方，有的则考虑到方便。这样的问题呈现，这样的交流平台，学生有思考、有实践、有交流，师生互动、生生互动，且策略多样，既培养了学生解决问题的能力，又让学生体验数学学习的价值。

又如，在进行“十几减9、8”的教学时，一位学生问：“老师，15-9，5-9不够减，我就用9-5=4，再用10-4还是等于6，这样做对不对？”这种思考方法，是老师没想到的，结果老师也没多想就武断地说了一句：不对，减法是不能颠倒做的。其实，这个学生的说法是正确的，只是他现在还不明白这个算理而已[15-9=l0+5-9=10-9+5=10-（9-5）]。这时教师应该组织学生进行有效交流、有效互动，让学生在互动中去感悟，让思维更加深刻。

因此，我们要引导学生在学习活动中相互交流，还应关注学生个体积极主动的求知、充分的言语实践活动，这样“互动”才能落实，问题的探究才能更加深入。

2.在总结中提升问题

现代的课堂教学重心已从勤奋的操练和练习转向学生的理解和对知识的运用上，课堂上的具体操作就是凸显学生自主对知识点的归纳和总结。笔者认为，数学课堂教学可以结合知识树、图表等运用，以提高效率，知识树、图表的应用要以整体建构思想为依据，用不同形式来体现整个知识的结构和知识点的内在联系，依据其从属关系，反映出整个知识系统，把整个单元看作是一个整体，把整册教材看作是一个整体，把整个学段看作是一个整体。

例如，教师在执教“同分母分数加减法”一课，老师在和学生一起学完了同分母分数加减法的法则和注意点之后，师生合作构建了一棵知识树体系：在树根上写着4+3=7，最上面则写着4个苹果+3个苹果=7个苹果。

知识树呈现之后，提出一个问题：观察每道一题，想想“什么变了，什么没变？”让学生逐步感悟出：第一题中苹果的个数变了，但是苹果没变；第二、三题中单位的个数变了，但是单位没有变；第四题4×75+3×75，老师追问：“这道题里的苹果是什么？”最后一题，老师又问：“现在你能解释为什么同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减吗？”学生的回答十分精彩，直指本质：“因为单位没变，只是单位的个数变了！”言下之意就是分数单位不用相加减，而只把代表分数单位个数的分子想加减。老师从生活中最简单的4个苹果和3个苹果加起来一共是几个苹果入手，到整百数相加，再到小数加法、乘法分配律、同分母分数加法，透过简单的内容看到背后的本质，把这个知识跟更为普遍的一般规律联系起来。

又如，在学习了除法、分数、比的知识后，可以引导学生对三者进行比较，师生共同完成知识图表，准确地掌握除法、分数、比三者之间的区别与联系，使学生对这三部分知识有一个更加明确的认识，如它们之间可以相互改写成：a÷b=a：b；除法（商不变性质）、分数和比的基本性质也有密切联系，明确数学的各部分知识之间是有紧密联系的，不是相互孤立的，而是一个整体。

总之，学生的数学思考力是教师培养学生发展的重要内容之一，教师在教学中一定要抓住学生这一主体，利用“问题”这一载体，创新教学方法，活化教学方式，将数学思考力培养和发展贯穿整个教学活动始终，实现学生数学能力的有效提升。

（责任编辑：陈志华）