论微积分求导公式的一种全新推导模式（解方程法）及贝克莱悖论的彻底消除

沈卫国

（《区域供热》杂志编辑部，北京 100026）

一、基础微积分导数推导中的“贝克莱悖论”

众所周知，牛顿等在微积分导数的推导过程中，会产生所谓“贝克莱悖论”。就以最简单的二次函数y＝x2为例，牛顿等对其导数的推导步骤为：

令Δx→0，则有

见图1所示。图中B点沿曲线趋近A点，并重合。这时产生一个问题：当Δx→0而Δx≠0时，式（1）等号右边的Δx≠0，最后结果2x显然得不到；但当Δx＝0时，数学中分母不能为0，此式为“不定式”，是非法的。此即著名的“贝克莱悖论”。

图1

二、传统微积分理论中对“贝克莱悖论”的解决方案及其问题

微积分在牛顿、莱布尼茨时代，不甚注重严格性。推导中的粗疏和不严格之处并未引起多大注意。只是在贝克莱提出这个著名悖论后，方才引起人们的重视。其后，经过欧拉、拉格朗日、波尔查诺、柯西、达朗贝尔等的工作，终于得到现在已成经典的“ε－δ方法”［1］［2］。一般认为，这一方法本质上是建立在潜无穷观上的，它允许Δx→0，但Δx≠0，取极限后，用人为“定义”的方法令这个极限值即为该点的函数值，以保持函数在该点的连续性。此方法只是表面上消除了牛顿求导方法中的在Δx＝0时的贝克莱悖论问题。［1］但实际上，由于此种方法的人为性，它并未给出在某点的导数求解过程中，在该点究竟发生了什么。它号称“求出”了某点的某值，又不允许到达该点而獉只能无限接近，同时该点函数之值又被人为“定义”也就是“规定”出而非求出它刚好能够（可视为“碰巧”）等于该点所具有的、别的点趋近于它的“极限”值。如此拖泥带水的方法很不自然，不能令人满意。比如，文献［1］中举的一个有关求某点速度的例子，最后得到：

其中Δs为距离增量；Δt为时间增量；v为某点速度。很显然，Δs／Δt是有明确的物理意义的，Δt不能等于0。可是在Δt＝0时的那一瞬间（时刻），究竟发生了什么？为什么还会有、且唯一有精确的、原本只作为Δt→0而Δt≠0的极限存在的v值？这一切都没有给出令人信服的解释。我们知道，速度这一概念按传统理解，为单位时段物体所运动的距离。离开了“时段”概念（无论其多小），还能有速度概念吗？我们所说的或所认为的“瞬时速度”、“某时刻的速度”，究竟所指为何？难道不是吗：在Δt＝0时，即时间看起来“静止”时，Δs的确也只能为0，那么Δs／Δt顺理成章地为0／0不是很自然吗？但如此一来，又明显违反基本数学原则。物理上也解释不通这个“瞬间速度”究竟是什么。但多少年来，人们又在毫无顾忌地使用这个概念。总之，问题仍旧没有从根本上被解决和解释。

还有一个问题。微积分求导的“现代解释”中的潜无穷观点及过程不能自然到达所求点，只能靠“定义”，而现实中的运动、速度，“到达某点”及经过某段路径都是实实在在的，本质上是一个实无穷过程，这是一个矛盾。总之，现在的微积分理论并不像一些人所声称的那样在逻辑上是“严谨”的，用人为“定义”所求点函数存在且连续的不自然的方法，只是在表面上消除 “贝克莱悖论”。我们不应忘记，微积分中某点的导数是被牛顿等（推导、计算）出来的，而不是定义出来的。在这个意义上，贝克莱悖论并未在根本上被解决，它依然存在。事实上，如前文所述，即使要用“定义”某点连续的方式来消除贝克莱悖论，也要事先求出该点极限值，但事实上存在一个ε－δ方法潜无穷极限悖论：设有ε，总有δ，就意味着不可能有到达Δt＝0之时，那怎会知道存在一个极限？很显然，这是已知Δt＝0时函数之值后才如此说的。而如果事先已知Δt＝0时函数有值，为何又偏说到达不了Δt＝0的位置，只因为此时会出现情况？靠外部定义（如文献［1］中所言）不能解决（Δt＝0处的）理论问题，它只是权宜之计，不是理论推出来的。

也就是说，如果极限值不是求出来的，你怎么会知道由ε－δ法会接近它（因ε－δ方法永达不到它）？而如是求出来的，又会出现情况，产生悖论，可见此类方法还是很有问题的。

总之，所谓ε－δ方法，实质隐藏了贝克莱悖论。它说的是存在一个极限，只要对任何（所有）│xx0│ ＜δ的x，都有│f（x）－A│＜ε，则f（x）在x＝x0处有极限A，但如何保证（证明）对所有x都有上述极限？你还得认为在x＝x6时函数已经有了A值。A即是如此已经被“求得”的，因为在我们得到（求出）存在极限A的结论之前，它已经存在于│f（x）－A│＜ε的式子中了。也只有如此才能证明ε－δ方法可用。所以这是逻辑循环，不过只明说一半来“消除”悖论，贝克莱悖论被隐藏起来了。牛顿是同时令Δx＝0、Δx≠0，而ε－δ方法本质上实际是事先用Δx＝0求出极限（无论人们承认与否），再定义其处连续，然后再令Δx≠0，不承认有Δx＝0这回事罢了。固一旦求出Δx＝0的值，再令其为不可达的极限，再令（定义）其有值（连续），曾经的Δx就不再出现，即Δx＝0与Δx≠0不过是不像牛顿方法那样出现罢了，这里是不同时出现，但仍然出现过。它是“潜在”地使用实无穷，而“实在”地使用潜无穷罢了。实无穷并未如所认为那样“彻底出局”，只不过是将贝克莱悖论由显形式变为了隐形式。

图2

以上，笔者从函数极限、连续性的角度揭示了贝克莱悖论并未像人们宣称的那样被消除。实际上，那还只是一个间接矛盾。更明确的悖论，是直接从定义、定义域出发来看问题。我们说，ε－δ方法、极限、函数的连续性等本质上依赖曲线上二点的方法对其它函数都适用，但对导函数、对速度函数不适用。此点竟被以往论者所未见。这里有一个直观的说明，见图2。一个直角三角形，设有直接定义在Δx、Δy之上的函数即该三角形的两个直角边（或言“长与宽”、“底与高”）之比。在被赋与物理意义后，我们完全可以理解成是速度。显然，在Δx→0而Δx≠0时，上述函数都有定义。无论Δx（进而Δy，也就是三角形）多么小。这时传统的ε－δ方法当然可用。但一旦到达A点，Δx＝0（Δy＝0），三角形根本不存在了，也就根本谈不上已消失了的“三角形的两个直角边之比”了。比如，我们可以设Δy＝Δx，则在Δx→0时也如此。在Δx＝0时，显然这个函数是有其极限的，即极限也等于1。但函数本身为不定式，说明根本没有定义。函数按定义在A点不连续，因为此时三角形已不存在了。所以，我们完全可以根据此函数的特殊性（直角三角形二直角边之比），补充一个明确的定义：该函数在A点无值、无定义（或言不确定、定义域不包括A（Δx＝0时）点）。所以函数在某点有极限，但完全可以不连续和没有确定值，除非重新用定义“令”其有值。但如此一来，则与原定义（定义域）直接矛盾，形成真正意义的逻辑矛盾或悖论。这实际就是贝克莱悖论的本质。可见，所谓的“无定义”有两种：一种只不过是“缺失”，补充定义即可；另一种则是“公理保障”性的“无定义”，实际即等价于“不允许有定义”。如两条边的长度比之于三角形的顶点、速度的本源性定义之于某时刻等等。

因此，传统上那种认为由ε－δ方法，在Δx、Δy之上直接定义也仅由它们的定义之下求出极限，再定义极限点导函数有值并连续的悖论消除法，不但没有如愿，反倒使矛盾更明确了。

因此，贝克莱悖论完全未被消除，其本质并不只是传统上认为的广义的、大多数的、一般意义的函数能否在A点连续、有极限的问题，而是导数、速度函数及更直接地直角三角形的二直角边之比这个特殊的函数，在三角形的顶点A究竟有无定义的问题，也就是一个定义域包括不包括A点的问题。以往传统上的ε－δ方法，只是给出了的连续性问题，但不可能解决导函数、速度函数这个特殊函数在A点的连续性问题。如果强行定义，必与原定义直接矛盾。而所谓原定义，就是：导函数、速度函数在传统方法下在A点“无定义”。

以往，这个“原定义”没有被明确提出，它仅以隐形式存在，这里我们将其“发现”并明确提出，作为“补充定义”。它直接与ε－δ方法的导函数在所求点连续、有值的“定义”矛盾。由此我们可以看出，所谓的“第二次数学危机”，并未像人们宣称的那样被消除，而只是被掩饰了。它依然存在。

有人认为，教学中学生在理解ε－δ方法、极限概念及贝克莱悖论的消除上有困难，实际上，这一点不奇怪。因为在导函数这一类特殊函数中，贝克莱悖论实际根本就未被消除。一个本身就有破绽的理论，怎么能被人毫无疑问地接受呢？

顺便提一下，图2中A点的“三角形二直角边的比”（或等价地“导函数”、“瞬时速度”）还可以被定义吗？以下我们将会看到，当然可以。但这不能由传统作法那样用这里的Δx、Δy来得到或定，这个三角形在A点已经收缩成一点了。但它可以由另一个三角形的直角边Δx′、Δy′来定义，即以下我们可以看到，如此一个简单之极的思路与办法，是如何最终不但巧妙、而且与现实数学、物理世界完全协调并极其自然地解决了这个竟然延续了如此长时间的问题（悖论）的。

三、有关导数的一种全新求解方式及其与传统方法的比较

我们仍以二次函数y＝x2为例。设其与一直线y＝bx－c有两个或一个交点，我们求其交点。联立二方程，有：

将下式代入上式，则有x2－bx＋c＝0，其通解为：

当b2＝4ac时，直线与曲线y＝x2只有一个交点（解），为曲线y＝x2的切线，即而b为直线（此时为切线）的斜率，即

与微积分牛顿方法得到的（1′）式完全一样。我们设Δy′、Δx′为该直线上任意两点间的纵、横坐标差，则显然

参见图3。

图3

总之，当曲线上的Δx＝0时，切线上的（曲线外的）Δx′完全可以甚至必须不等于0，Δx、Δx′是两回事，我们要求的实际是Δx＝0时的值。这在以往，没有从根本上搞清楚。至于导的理论解释将在下文进行进一步的讨论。可以看出，当曲线上的Δx≠0时时显然仍有确定值，这就是Δx＝0时所求的曲线在该点的切线斜率，或该点的“瞬时速度”。总之并不理会Δx是否为0。在Δx为0与不为0时，它都存在。因此我们完全可以有把握地宣告，这一方法将彻底消除微积分导数的基础推导中的无穷小量、潜无穷疑难和由之产生的贝克莱悖论。

这是此方法与牛顿等的方法及现代微积分的ε－δ方法的根本区别，它无需人为“定义”函数的连续性等等。对直线斜率，这里再进一步明确证明一下（其实多余）。

设：y＝bx＋d，同时有y＋Δy′＝b（y＋Δx′）＋y，前式代入后式，消去同类项后，得到：

Δy′＝bΔx′，即有

显然，公式（1）中的无穷小Δx是无法舍弃的，它再小在图1中也与曲线上二点的连线为同一数量级。显然不要求Δx′、Δy′分别为无穷小量，而是宏观量。它的意义是此时刻质点突然不再受力时的直线匀速运动的速度。总之，定义在曲线与其割线的二个交点之间的线段的斜率函数（A函数，或称为变速运动时实际存在着的平均速度函数），是以曲线与其割线的两个交点为自变量的复合函数，它在这二点重合时（成为切点）无值。而且它无论与曲线的切线的斜率函数（B函数，即瞬时速度函数，只以曲线上的一点（切点）为自变量），还是与定义域不受这个曲线与其割线的两个交点的限制并可以过渡到曲线的切线（当然只与该曲线交于一点，即切点）的斜率函数（C函数，变速运动时的实际平均速度也就是A函数的扩展函数，在二或一个交点时都适用）根本就不是同一个函数，尽管C函数在大多数情况下（⊿x≠0时，即在割线状态下时）与A函数的数值一样。这也是人们长期未能严格区分它们的原因。这里我们可以十分清晰地看出，传统理论（无论牛顿、莱布尼兹还是ε－δ法），都是在A函数下讨论问题的，但它们又都认为在曲线与其割线的两个交点合二为一时仍有值（这可看成是传统微积分理论的公理体系及其核心），这直接导致贝克莱悖论，即产生矛盾。而在本文实际上已经提出的微积分的公理体系下（B函数，特别是C函数。篇幅所限，不再详述），则再也不会产生悖论了。

至此，牛顿等的方法及所谓ε－δ方法对可导函数在运算上和求实际问题上是完全可以的，但在理论解释上有问题的原因已获澄清。

对比公式（1）和公式（5）可以看出，牛顿方法中Δx＝0（公式（1））即公式（5）中的，即b2＝4ac，但牛顿实际求出的是作为切线的直线的斜率而不是Δx＝0时曲线上割线的清楚此点后，牛顿方法在操作意义上就可以放心使用了。

虽然如此，但实际我们可以有更易理解的方式。见图4。此实际就是中值定理的结果。我们完全可以不像图1那样，令B点趋向A点，曲线的割线旋转，斜率变化。而是沿箭头方向平推，直线斜率保持不变。A、B点最后汇集于C点（割线变切线）。此时依赖于曲线上A、B二点作为端点的无意义；但不依赖A、B点作为端点的割线斜率在成为切线后仍有值，而在割线状态时都是平均速度，不过一个仅限于曲线范围（定义域仅在曲线定义域内），另一个可以不限于曲线的定义域范围而已。当割线（平均速度）变到切线（瞬时速度）时，斜率数值不变，完全不用考虑什么极限。ε－δ、潜无穷、无穷小等等，这一过程的描述，更能突出本文的导数求导思想与牛顿法及ε－δ法的本质区别，也更好理解。我们可以理解成是用一个更直接了当的方式，彻底摒弃潜无穷、无穷小、极限之类的概念，而得到中值定理。当然，每一种新的思路与方法，都应该能够解决哪怕是部分原先的理论所解决不了的问题。比如所谓函数在某点或处的连续但不可导的问题，分形的不可导问题等，我们应认为现之所谓的“不可导”，实际只能是指在牛顿法或ε－δ方法下不可导。这反映了这类方法的局限性。本质是：如果求导必须依赖函数上二点的相互无限接近，当函数在某点附近的振荡频率趋于无穷时，自然找不到导数所要求的函数的单值性，所以“不可导”。但在本文提出的思路及方法下，仅只求函数曲线上一点的切线，只要函数在该点连续就应该有导数，原则上也应能被求出。或虽不好求或全部求出，但可证导数肯定处处存在。就如无理数无法全部列出，但肯定完备一样。即如果在某函数曲线的某点处，函数“振荡”次数趋于无穷，传统上这当然不可导。但既然“允许”函数趋向某点时可以“振荡”无穷次，那其“波长”也应被“允许”是趋于无穷小的。虽如此，但其毕竟还是波长，还是连续的，也就应有定义在无穷小区间上的拐点及其位置处的切线，也就是导数，除非不承认这种无穷次振荡的函数存在。此种思想，可能也可用到测度、积分理论上。更深入的研究与讨论，完全是可以期待的，本文只是抛砖引玉。

图4

图5

四、对一些基本概念（速度、瞬时速度、平均速度）的更详细、严格的讨论

还是先从前文已详细讨论过的贝克莱悖论开始。如：在二次曲线y＝x2下，有Δy＝2x·Δx＋Δx2，在Δy、Δx→0而不等于0时，都对。也可以说Δx决定Δy值。但当Δx＝0时，上式为：0＝2x·0＋x·0，也对，即纵、横坐标的增量都没有了，割线的二交点汇集到二次曲线上的一点。但一旦把Δx除到等式左边的分母上，就有在增量Δx为0时，2x是什么？不好解释了。如果我们像牛顿一样，给Δy、Δx赋与物理意义，这反映了在Δx即时间增量（进程）为0时，即在某曲线（可理解成有加速运动）上的增量也自然为0，其比0／0不存在。但该点（瞬时、时刻）究竟还有没有值？（其中Δy′、Δx′；dy′、dx′为切线、割线上的，所涉及的二点与曲线可以无关且任意，见前文）。显然，Δx、Δy直接与曲线上的二点相对应，当然都是可以为0（曲线上二点化一点）的，但此时其比值不成立。中的dy、dx，尽管我们可以认为其为无穷小量，但由于前文理由，此时贝克莱悖论仍存在，即存在一个等式右边的无穷小量dx的与等式左边分母上的无穷小量dx不能同时舍弃或不舍弃的问题。唯一可以保证逻辑上无问题的，唯有值，它们与曲线上二点直接相关的Δx、dx等于0与否无关。它们唯一地决定于曲线上的点而非两点，即与切线相交的那一点，另一点无论远近，都明确在曲线之外、切线之上。而非曲线上“真实的运动”。真实运动的轨迹与时间的比为平均速度，而直线（切线）上的斜率处处一样，自然在该点也一样。除该点外，与曲线y＝x2无任何关联。这就是曲线上该点的“瞬时速度”概念，即在Δx＝0时刻，物理质点如突然不再受力，该质点将沿该直线（切线）运动而脱离曲线y＝x2。在这个意义上，瞬时速度也是“真实的”。但如果实际的运动轨迹是曲线y＝x2，物理上即是质点始终受力，则此时的“瞬时速度”，即不是现实中的速度，因为即使一个无穷小的时间“进程”，也有无穷小的速度增量。加速度及速度增量是无法用令时间间隔Δx→dx即达到无穷小而不等于0来彻底消除的。

我们可以十分尖锐地以一个实例来揭示此问题：设一个匀速运动的质点，在某时刻受到一个瞬时力，产生瞬时加速度（无论是改变运动方向还是运动速度），请问，该时刻（瞬时）的速度、加速度为何？

由于该质点受瞬时力后，运动轨迹或其速度矢量图将出现折线，转折点即受力点，如图5。因此，该点的速度是A点后的折线（实线3），还是A点后的延长线（虚线2）、还是A点前一刻的实线1？

不彻底搞清“瞬时速度”、“瞬时加速度”等概念，此问题别看简单，却很难回答。事实上，此问题在本文之前，别说回答，甚至都未见提出。我们说，在理论上，某绝对意义的瞬时、时刻，只能有一个物理动作、事件发生。在绝对意义的该时刻，不可能又启动施力，又撤消该力。换言之，该“瞬时力”的撤除或消失，必在理论上的下一时刻，而无论这一时段多短。也就是说，既然“产生”、“发生”属于这一时刻了，那“撤除”、“消失”只能属于下一时刻。总之，任何力，从产生、存在到消失都必须要有一个时段，尽管此时段在理论上可以无穷小下去，但必存在于两个时刻、两个瞬时之间。一个绝对意义的抽象的“脉冲”，只可能属于一个抽象意义的时刻，而一个时刻不可能同时又有、同时又无脉冲。无脉冲的只能是下一时刻。在此意义上，图5的折线实际放大来看在折点A处是弯曲的，如图6①，即使力为绝对意义的、抽象的脉冲（作用时间间隔为0），也是图6②的情况。

图6

总之，A、B分别为不同的时刻，无论其间隔可以多小，A为开始施力处，B为力的撤消处。如此我们可以看出，所谓A点（时刻）的“瞬时加速度”，使其后的B点（时刻）速度改变或运动方向改变了，因此A点（时刻）的瞬时速度不应该是图中A点后的实线3了，而只能是实线1或虚线2，其二者实际是一回事，只不过解释稍有不同，即实线1的解释是：A点（时刻）的瞬时速度，是施力前的质点速度；而虚线2的解释是：A点（时刻）的瞬时速度，是在A点如该瞬时力未实施时的A点后的速度。这二种解释当然是同一个事物的两面。由此，我们可以看出，在匀速直线运动时，由于平均速度与瞬时速度完全一样，因此尽管本质上速度概念要涉及一个时间段（再小也要有），因此仍然存在何为“瞬时速度”的问题，但它被掩盖了，而且无足轻重。但在变速（加速）运动时就完全不一样了，此问题再也含糊不下去了。否则就会产生贝克莱悖论。而笔者由一个新的微积分导数的求解思路进而引伸出的对瞬时速度的理解与定义，既可以使无时间段大小的瞬时（时刻）速度在曲线运动、加速运动时有定义（定义在抽象的时间点即时刻上，而不是时间段上（哪怕再小）），又使速度（任何速度，无论平均、瞬时、加速、曲线等）的需要一个时段的本质得以被解释及说明，而在传统微积分理论中，此二者是直接矛盾的。所以我们说，传统微积分的问题，并不仅限于微积分，实际上它是对这些基本概念没有厘清的必然结果。下面，我们根据以上分析，给出曲线运动或有加速度时的瞬时速度的一个完整定义：曲线运动、加速运动时的瞬时速度，是指该时刻如果施于运动质点的力突然撤消时的质点作匀速直线运动的速度；或在该时刻一个匀速直线运动突然被施力加速时，施力加速前一时刻的速度（对应图上实线1）。或为与前一定义统一，我们也可认为是如果在该时刻本应施加的力未施加时的（还未施加就被撤消了）匀速直线运动速度（对应图中虚线2）。注意，此时虽然名为“瞬时速度”，其本质仅是在运动曲线上该点（瞬时）的的二点间（二时刻间）、但此二点在切线上并不固定而可随意选定的匀速直线运动速度，此切线的一点与所论曲线相交，另一点无论远近，都在所论曲线之外。

以上，我们用曲线运动时在某瞬间突然不受力后的质点运动状态，来定义该瞬间的“瞬时速度”。但还应回答为什么质点在该瞬时突然不受力，质点会沿切线方向运动。以下给一证明。

证明曲线上某点上的质点如突然不受力，只能沿切线方向运动：曲线上某点的切线与曲线只有唯一交点。在此点，物理质点受力则作曲线运动，不受力则作切线方向的直线匀速运动，所以不可能沿其它直线运动。其它直线，不是与曲线不相交（无关），就是与曲线有两个交点，而后者意味着，一个沿曲线正向运动或反向运动的质点，不受力后比始终受力的情况弯折度还大。如图7，显然不合理。

图7

总之，以往的微积分理论之所以会产生问题，本质上就是没有分清质点受力时的“真实的”变速运动与一旦在某时刻不受力时质点的匀速直线运动（此为该点的瞬时速度，因始自该点）之间的区别。几何直观上，平均速度在曲线上用二点间的割线表征，只要二点不重合成一点，割线再小也是割线。由于速度随时在变（方向、速率），所以仅就“速度”概念而言，此时在现实中只能是“平均”的；而二点重合的某时刻、瞬间的“瞬时速度”，既然有值，就不会是在该实际曲线上现实发生的。但速度概念按定义又离不开“时段”概念，抽象的“点”、时刻是无“时段”可言的，于是只能是该点（时刻）切线上的二点间的斜率，而绝非曲线本身上的二点。以往之所以人们未能意识到此问题，恐怕还有一个原因，那就是在不受力的匀速度直线运动中，平均速度和瞬时速度在数值上是一样的，人们将二者混为一谈。延及曲线、变速运动，就未能严格区分二者在概念上的绝大差异，因此带来理解上的困难，以致完全忽视了这个问题。总之，由笔者此文的分析，在微积分的导数推导中可以彻底摈弃“无穷小”、“无限接近”、“潜无穷”、“极限”这样的概念的，并澄清了贝克莱悖论。我们可以再一次以一个简单的图来表示这个思想（见图8）。

图8

我们甚至可以给出一个证明：瞬时速度只能是离开曲线的直线（匀速）速度。因：速度或导数定义：既为比值，自然离不开的自变量的不为0，即Δx≠0，否则就有不成立、无定义。但瞬时速度又必须每点有定义，即在Δx＝0时有定义。而这与速度的一般定义即要求Δx≠0表观矛盾。所以只能是在该点与曲线相交的一条直线上的Δx′≠0的速度（在曲线的Δx＝0时），即有（直线上的），得证。简而言之，切线与曲线之间，不可能有两个以上的交点；而割线和曲线之间，不可能只有一个交点。而速度按其本源性定义，要求定义线段上的二点以对应区别于“时刻”的“时段”，所以在切点我们所谈论的速度，只能是涉及切线上的二点的。它既不可能涉及曲线上的二点（一如牛顿、ε－δ法那样），也不可能只涉及曲线上的一点。正确的理解应是：它可以定义在曲线的一点上，但必须与切线上的另一点相关联。即：作为本源性定义，它必须定义在切线上的二点上（定义域）；而作为次生定义，它可以定义在曲线与切线的交点上。但我们必须清楚，作为速度的本源定义只能与一个时段相关联。在“时刻”上并无本源性速度可言，如要给以定义，必须按本文的理解来解释这一次生的定义才行。

总之，只有在匀速直线运动中，才应该有现实中发生的速度、瞬时速度概念。在现实中发生的变速、曲线运动中，严格讲应该没有这两个概念，只有“平均速度”及“加速度”概念。如果说有，也是在本文定义下的，即需要“实际”在某点之后脱离曲线的切线上的“线段”的纵、横坐标差之比，也仅在此意义上，我们才可以把这个东西看成曲线上该点的“瞬时速度”。它虽然在曲线上每个点都有值，但不要忘了其“物理”、“现实”意义究竟是什么。也就是：在点（不是线段）上是无法定义本源性的“速度”的，速度只能是某时段中质点走过的路程与该时段之比。瞬时速度是在这一基本定义上派生出来的“次级定义”，即在某时刻如不受力，质点下一步将以什么样的速度（匀速）运动下去。著名的芝诺悖论中的“飞矢不动”悖论，也说明这个问题：时刻只与位置关联。某时刻运动物体只有某位置。可以说某时刻到达某位置，但这不是速度，速度只与“时段”相关联而非“时刻”。通常说某“时刻”的速度，只有指匀速直线运动时在该时刻（点）的前一时段或后一时段的速度，即该点（时刻）的到达速度与离去速度，为该点“瞬时速度”。而在曲线、加速运动时，则为一旦在该时刻、瞬间质点解除所受之力，则下一“时段”应具有的速度为该曲线、加速度在该“时刻”的瞬时速度。由于其前一时段必受力（否则不会是曲线运动），所以不能再用前一时段的平均速度来定义该点（时刻）的瞬时速度了。通俗些讲，飞矢不动（芝诺悖论）的正解为：运动定义：随时间流动（时段内）的位置差的变化；静止（不动）定义：随时间流动（时段内）位置不变。原因自然是现实中时间总在“流动”，不会静止不动。飞矢不动，指“瞬时”，即时间如果固定时的情况，此时的“不动”，不能理解成“随时间流动不动（无位置变化）”，而是指时间不流动（固定）时，位置也固定。这在现实中当然不可能发生（原因自然是没有不流动的时间），过去将二者混为一谈了。因此，严格讲在某时刻我们只能说“到达”（处于、位于）某位置，而不能说“静止”于某位置，即使真的静止也一样（严格讲，因这里针对的是“时刻”而非“时段”）。

既然“静止”的定义是在某时间段内物体保持位置不变，那么在此时间段内，我们才可以说“每时每刻都静止”，即才有每一的静止概念。它是一个“次生”的概念。

同样，运动、速度是相对静止而言的，也是定义在某时间段上的，正是有了这个本源性的定义，我们才可以说“每时每刻都在运动”、“每时每刻都有速度”这样的话。也就是，由这里的运动、速度定义，在该时段内每一时刻所论物体不会静止，于是它只有在该时刻也在运动、也有速度。虽然在该瞬时，它运动的距离为0，但这不是“静止”，这是两个概念。前文已经说了，“静止”严格讲其本源性的定义是指在某内的运动距离为0，而不是某的运动距离为0。所以某瞬时的运动距离为0，不能作为“静止”的定义，也自然不能就看成“静止”。于是，它就完全是在运动状态下的情况，即看成在该瞬时运动和有瞬时速度，尽管在该瞬时所论物体的运动距离为0也罢。该瞬时的速度与运动，也可理解成在下一时刻（瞬时），物体必不再留在原地，而是位置有变，这就是前一瞬时有运动、有速度所致。

总之，严格讲，速度就是匀速，变速是改变了的匀速、变化了的速度。速度是不变的，才可能在无穷小时或有限时仍有确定值，微积分研究变速自然要赋与新意了。时间过程（进程）不能为0，最多只能是无穷小，但再小也要有，时间过程而时间到达无过程，只能到达、经过，“时刻”本身没有甚至无穷小的过程。时间过程和到达时刻为两个不同的概念，不能混淆。能证明此点的其实正是贝克莱悖论。其逻辑是：如不区分，必推出0又非0的贝克莱悖论，所以必为二个概念。总之，由速度的定义，离不开时段与距离，但它又是在每一时刻有定义、有值的。本质上，它就是矛盾的，表观上也是如此。只不过在匀速直线运动时，速度、平均速度、瞬时速度其值全一样，因此人们并未深究。但在加速、曲线运动时就不一样了，深层次的矛盾暴露了出来。主要体现在传统微积分求导过程中的贝克莱悖论上。其本质是没有严格对速度概念进行彻底澄清。按本文提出的瞬时速度定义，当可彻底消除贝克莱悖论，而且揭示了瞬时速度这一物理概念的本质，其相应数学内涵也得到了说明。从另一角度看，由于任何力作用产生的效果（比如使质点轨迹弯曲）都需要作用时间，而抽象的“瞬时”无这种必要的时间段，所以可视为在此抽象的“瞬时”质点未受力，或力不起作用。因此，虽然抽象时点（瞬时）上本没有本源性的“瞬时速度”定义，也就是说抽象的瞬间、瞬时、时刻、时间点上，无定义速度必须要有的要素“时段”，但由于在其上未受力的意义上，可以把在该瞬时如不受力的时段上的直线匀速运动的速度成该抽象时间点上的“瞬时速度”。这是一种外延、外推性的瞬时速度定义，这个意义上，瞬时速度又是处处现实存在的。以往这种细微的区别，是没有被彻底澄清的，由此才产生诸多问题，也是贝克莱悖论产生的根本原因。在这方面，某种“辩证思维”的确是需要的，也就是，我们应分清一种概念在何种意义上（前提下）成立，在何种意义上（前提下）不成立。

对于这个重要的问题，我们可以总结如下：在某一抽象的、绝对意义的时间点（时刻、瞬时），正像在直角三角形的顶点不会再有“长、宽比”一样，不会有现实中已发生的速度（无论等于0还是不等于0的）存在。因在此时刻时段为0（时刻的定义），而速度的本原性定义，是必须建立在时段不为0的基础之上的。固然，在赋值而非本原的意义上，我们可以强行定义或赋值直角三角形的长宽比（二直角边之比）在该顶点仍有值（对应于匀速直线运动），但如果此直角三角形的斜边为曲线（对应于变速运动），由于随二直角边的长度的改变，其比值不是常数，无固定值，因此在其顶点不可能再有确定的、涉及三角形二直角边比值的赋值存在。对速度在某点的赋值性定义（即前面提到的“次生定义”）而言，情况也是如此，而这正是传统微积分理论的症结所在。

最后，对第三节中求导的解方程法再做一些更严格的讨论。必须说明，当4式的方程组中的直线方程为x＝D（D为常数）时，等于强行令二次方程的通解（5式）中的x只取一值，而放弃了在通解公式中存在的另一值，因此该直线与曲线不但不可能再有两个交点，而且必然与曲线交叉而不是切线。但这并不是这里的做法所得到的结果。这是因为，当上述直线方程x＝D中的系数（这里仅仅是D）改变时，其与曲线只有一个交点的性质不会改变，这意味着它是与曲线交叉的直线而不是切线。因为如是切线，当方程中的a、b、c等系数单独或共同有很小改变时，几何上意味着此时曲线的切线不是斜率不变地平移，就是以切点为轴心地旋转，或二者的叠加。这必然导致：不是直线将与曲线有两个交点，就是直线与曲线脱离接触而再无交点可言。而这正是5式中根号下的部分为0时才可能发生的的情况。也就是，只要令其等于0，得到的与曲线只有一个交点的直线，就是该曲线在交点处的切线。因此，前文中4式到7式所给出的求曲线的切线（导数）的方法，是完备的。这里的论述可以看成是一个证明。

对于微分，本文没有涉及。这主要是笔者认为微积分理论中最关键的部分还是导数问题。导数问题澄清了，微分问题自然迎刃而解。此外，篇幅也不允许笔者再对微分问题多做讨论。这里只做一些相应的简单提示：对于微分公式中dy、dx等是否无穷小的问题，历来颇有争论。显然，导数的求得（或更确切地说是得到）依赖于dx的趋于0，并且还不止于此，还要在dx＝0时“有极限”并“有定义”。而公式中包含导数的微分被定义成全部增量的“主部”或更确切的“线性主部”、“线性部分”，其中的dx却可以是宏观量。不同的东西，却用相同的符号表示，其本质是显示了这里面有未被澄清的东西。特别是在需要积分时令dx趋向于0时，其是否到达0，及“线性主部”外的“高阶无穷小”是否为0的问题，又将显现。有人强辩说微分的一般定义、公式是无问题的。因它不涉及无穷小。但那没有用，因为微分的价值和经常的使用，正是需要dx趋于0的（在积分中）。在笔者此文的讨论中，这个问题根本不存在了。这从1＇式和7式的区别就可以看出来。7式正是作为直线的切线的斜率，它不依赖于无穷小等等，其中的增量是用dx＇等表示的，而用牛顿及极限方法求得的1＇式，严重依赖于无穷小、潜无穷等概念，其中的增量是用dx等表示的，明确地表示区别。于是，这个疑难问题不再存在。

五、辩证地看待微积分基础问题

笔者曾有专文讨论“辩证逻辑问题”［5］。在那篇文章中，笔者提出即使空间中的一个点，如欲准确描述其状态也得用多维空间的视角。这就是所谓“辨证”的本质，就是全面地看问题，多维、“立体”地看问题，“多视角”地看问题，不要平面地看问题。因此可说这些都是等价命题。多维视角，就是辩证视角。这样，不同维中的“正”、“负”概念及表观的对立、矛盾概念，可以不再相互矛盾。微积分的基础性推导问题，本质也属此类问题，是辩证法、辩证逻辑的一个生动体现。以往它为什么会产生“悖论”、“矛盾”？本文中已彻底搞清楚了，那就是未能严格区分匀速运动时的速度、瞬时速度和变速、曲线运动时的平均速度间的本质差异和区别。在匀速运动时，这些概念起码在数值上是无差异的，但一旦推广到变速，就需要我们扩充“视角”，从“多视角”的角度来看问题了。如果还是“平面”地、“线性”地看问题，势必产生矛盾、悖论，也解释不了“非线性”的现象。而一旦严格区别不同概念、论域，则知它们代表的是完全不同事物，矛盾、悖论立消。

［1］徐利治．论无限—无限的数学与哲学［M］．大连：大连理工大学出版社，2008．

［2］［美］卡尔·B·波耶．微积分概念发展史［M］．上海：复旦大学出版社，2007．

［3］沈卫国．论熵、不可逆过程及数学中的无穷［M］．福州：海风出版社，2009．

［4］沈卫国．论自然科学的若干基本问题［M］．福州：海风出版社，1998．

［5］沈卫国．辩证逻辑与智能［J］．智能系统报，2011，（04）．