超幂零群的性质研究

张 佳，郭继东

（伊犁师范学院 数学与统计学院，新疆 伊宁 835000）

超幂零群的性质研究

张 佳，郭继东*

（伊犁师范学院 数学与统计学院，新疆 伊宁 835000）

幂零群的研究一直是有限群理论研究的重要组成部分。我们知道幂零群G存在正规群列：G=G1▷…▷Gr=1，因子群GiGi+1≤Z(GGi+1)。本文研究幂零群的推广。假设群的因子群是超中心的及GiGi+1是循环群，在此基础上，引出超幂零群的概念。利用有限群理论对有限超幂零群的性质进行研究，得到一些有意义的结果。

超中心；群列；超幂零群；特征子群

1 引言及预备知识

有限群的可解性质和幂零性质一直是有限群理论研究的热点，国内外群论工作者对此做了许多研究，取得了很多成果［1-14］，这些研究对有限群的同构分类有很大的作用。我们知道，超可解群是幂零群的推广，对群的超可解性和幂零性也有很多研究成果。本文主要研究介于这两种性质之间的群的性质。首先引出超幂零群的概念，进而对这类群的性质做研究。

定义2 设G是群，如果G有正规群列：G=G1▷…▷Gr=1，使得GiGi+1是循环群，且GiGi+1≤Z∞(GGi+1)(i=1，2，…，r)，那么称此群列是G的超中心群列。

定义3 具有超中心群列的群称为超幂零群。

本文所讨论的群均是有限群。本文的 A是G的特征子群，记 AcharG，所用符号参照文献［1］。

引理1［15］设A◁A，B=A∪B，则A∪BA≅BA∩B。

引理2 若G是有限群，A≤G，则Z∞(G)∩A≤Z∞(A)。

证明 因为G是有限群，所以只须证明：Zn(G)∩A≤Zn(A)，n∈Z+。

因为G的任意性，所以，对n运用数学归纳法。当n=1时，Z1(G)∩A≤Z1(A)显然成立。

假设n=k时，Zk(G)∩A≤Zk(A)。则当 n= k+1时，因为

A∩[Zk+1(G)，G]≤Zk(G)∩A=Zk(A)，所以，[A∩Zk+1(G)，A]≤Zk(A)。

又因为Zk+1(A)Zk(A)=Z(AZk(A))，所以，A∩Zk+1(G)≤Zk+1(A)。

综上所述，由归纳法可知，Zn(G)∩A≤Zn(A)，即Z∞(G)∩A≤Z∞(A)。

引理3［15］若G是群，A和 B是G的子群，且G=A×B，N◁A，则G N≅(A N)×B。

引理4 若A和B是有限群，则Z∞(A×B)= Z∞(A)×Z∞(B)。

证明 因为A和B是有限群，所以只须证明

2 主要结果及其证明

定理1 超幂零群的子群和商群是超幂零群。

证明 设G是超幂零群，则G有一超中心

群列G=G1▷…▷Gr=1。

考虑G的任意子群H，构造H的正规列H≤Z∞(G)。

证明 由引理7，推论显然成立。

定理5 幂零群、超幂零群、超可解群有如下关系：

幂零群⊂超幂零群⊂超可解群。

证明 由三者的定义，显然上述关系成立。

下面举例说明上述关系。

1）幂零群⊂超幂零群

例1 设G是有限内循环群，|G|=pqm，且G的Sylow-p子群H正规，Sylow-q子群K循环不正规，即G=a，b。定义关系：ap=1，bqm=1，b-1ab=ar，p，q是互异的素数，m，r是正整数。参数满足：r与1模6不同余，即rq≡1 mod(6)。

显然，G是内幂零群，即G不是幂零群，但是，G存在正规群列：G▷H▷1。由内幂零群的性质，易证此列是超中心群列。所以，G是超幂零群。

2）超幂零群⊂超可解群

例2 设有 pq阶非交换群G，(p＜q)。

显然，G是超可解的。但是，因为G的q阶子群 Q正规于 G，所以，G有正规群列：G▷Q▷1。显然，此列不是超中心群列，所以，G不是超幂零群。

综上所述，我们得到三者的关系：幂零群⊂超幂零群⊂超可解群。

注 定理5表明，超幂零性刻画了幂零群与超可解群之间的群的结构性质。

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［15］杨子胥，宋宝和.近世代数习题解［M］.济南：山东科学技术出版社，2006.

Research of Properties of Super Nilpotent Group

ZHANG Jia，GUO Ji-dong
（College of Mathematics and Statistics，Yili Normal University，Yining 835000，Xinjiang，China）

The research of nilpotent groups is a important part of the research of finite groups' theory.The research report of nilpotent groups is plentiful.Decribing properties of nilpotent groups is also difficult.As known，nilpotent groupsG have a normal subgroups series：G=G1▷…▷Gr=1 which makes GiGi+1≤Z(GGi+1)(i=1，2，…，r)discusses the generalization of nilpotent groups. Assumes that the factor group is super central andGiGi+1is cyclic group.According to it，intro⁃duces a definition of super nilpotent groups.Discuss super nilpotent groups'properties with using the theory of finite groups，obtains some meaningful conclusions.

super center；group series；super nilpotent group；characterization subgroup

O152.1

：A

：1673-0143（2013）01-0023-04

（责任编辑：强士端）

2012－09－23

国家自然科学基金资助项目（11071229）；新疆自然科学基金（2010211A38）；新疆伊犁师范学院2012年度大学生课题（2012YJS013）

张 佳（1988—），男，硕士生，研究方向：群论。

*通信作者：郭继东（1965—），男，教授，硕士生导师，研究方向：代数学、复分析与调和分析。

E-mail：guojd662@yahoo.com.cn