一类奇异积分算子的加权估计

朱伟杰,刘素英,赵凯,江修田

(青岛大学数学科学学院,山东青岛 266071)

一类奇异积分算子的加权估计

朱伟杰,刘素英,赵凯,江修田

(青岛大学数学科学学院,山东青岛 266071)

假设A是一个Young函数,M#D为广义sharp极大函数.本文首先引进了LA-H¨ormander条件,对于满足LA-H¨ormander条件的算子T,得到了与T相关的广义sharp极大函数的估计.然后,再利用该估计得到了算子T的加权Lp范数被Hardy-Littlewood极大函数和与¯A相关的极大函数的加权Lp范数所控制(0＜p＜∞).

sharp极大函数;Young函数;Hardy-Littlewood极大函数;奇异积分算子

1 引言

众所周知,奇异积分算子在调和分析中起着非常重要的作用,并得到了广泛的研究.1970年,文献[1]研究了经典奇异积分算子的Lp估计.1972年,文献[2]得到了经典奇异积分算子的加权Lp估计,即:对于0＜p＜∞和ω∈A∞,T的加权Lp范数被Hardy-Littlewood极大函数的加权Lp范数所控制.1989年,文献[3]研究了光滑面积函数的加权范数不等式及加权Sobolev不等式.1997年,文献[4]证明了1＜p≤∞时线性及非线性的奇异积分算子交换子的sharp加权估计.文献[5]证明了分数次Orlicz极大算子在齐型空间中的局部加权端点估计.2005年,文献[6]对于经典奇异积分算子T的核引进了LA-H¨ormander条件,在该条件下得到了算子T的加权Lp范数被与相关的极大函数的加权Lp范数所控制(0＜p＜∞).文献[7]引进了广义sharp极大函数,得到了类似于经典sharp极大函数的Fefferman-Stein估计.

自然地,可以考虑具有非光滑核的奇异积分算子的类似问题,这里研究了文献[8]中的在L2上有界的具有非光滑核的奇异积分算子的加权估计.首先引进了非光滑核所满足的LA-H¨ormander条件,得到估计

2 预备知识

定义2.1[7]若对集合X赋予距离d及非负Borel测度µ,且对x∈X和r＞0,µ满足双倍条件:

其中B(x,r)={y∈X:d(x,y)＜r},则称(X,d,µ)为齐型空间.

由双倍条件可得,对x,y∈X和r＞0,存在cµ≥1和0≤N≤n,使得

3 主要结果及其证明

[1]Stein E M.Singular Integral and Diffrentiability Properties of Functions[M].Princeton:Princeton Univ. Press,1970.

[2]Coifman R.Distribution function inequalities for singular integrals[J].Proc.Natl.Acad.Sci.,1972,69(10): 2838-2839.

[3]Wilson J M.Weighted norm inequalities for the continuos square functions[J].Trans.Amer.Math.Soc., 1989,314(2):661-692.

[4]P´erez C.Sharp estimates for commutators of singular integrals via iterations of the Hardy-Littlewood Maximal functin[J].Fourier Anal.Appl.,1997,3(6):74-756.

[5]田茂茜.分数次Orlicz极大算子在齐型空间中的局部加权端点估计[J].纯粹数学与应用数学,2011,27(5): 622-627.

[6]Lorente M,Riveros M S,de la Torre A.Weighted estimates for singular integral operators satisfying H¨ormander conditions of Young type[J].Fourier Anal.Appl.,2005,11(5):497-509.

[7]Martell J M.Sharp maximal functions associated with approximations of the identity in spaces of homogeneous type and applications[J].Studia Mathematica,2002,161(2):1-28.

[8]Duong X T,McIntosh A.Singular integral operators with non-smooth kernel on irregular domains[J].Rev. Mat.Iberoamericana,1999,15(2):233-265.

[9]Rao M M,Ren Z D.Theory of Orlicz Spaces,Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics[M].New York:Marcel Dekker Inc.,1991.

Weighted estimates for a class of sigular integral operator

Zhu Weijie,Liu Suying,Zhao Kai,Jiang Xiutian
(College of Mathematics,Qingdao University,Qingdao266071,China)

In this paper,suppose that A is a Young function and M#Dis a new sharp maximal function.First, we introduce LA-H¨ormander condition.For the operator T satisfying LA-H¨ormander condition,we obtain the weighted estimates for the new sharp maximal function associated with operator T.Then,we use this result to prove that the Lp(ω)norm of the operator can be dominated by the Lp(ω)norm of a maximal function associated to the complementary function of A and a maximal function,for any weight ω in A∞and 0＜p＜∞.

sharp maximal function,Young function,Hardy-Littlewood maximal function, singular integral operator

O174.2

A

1008-5513(2013)03-0293-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.03.011

2013-01-03.

国家自然科学基金(11041004);山东省自然科学基金(ZR2010AM032).

朱伟杰(1990-),硕士生,研究方向：调和分析.

赵凯(1960-),博士,教授,研究方向：调和分析和小波分析.

2010 MSC:42B20