CEV下考虑突发事件影响的有交易费用的交换期权定价

干晓蓉 于凤雪 全志勇 陈蔚

摘要 在股票价格满足CEV且受布朗运动和泊松过程共同驱动的模型下，对支付交易费用的交换期权定价进行研究，给出了期权价格满足的偏微分方程，并发现定价模型中股票价格的幂指数与波动率弹性α的选取有关，同时交易费用受泊松强度参数λ的影响，且随着λ的变大而变小.

关键词 交换期权；CEV模型；布朗运动；泊松过程；交易费用

1引言

1973年，Black和Scholes提出BlackScholes （以下简称BS）模型[1]，对股票期权的定价作了详细的讨论.但该模型的假设如：波动率为常数、市场无摩擦等与实际市场是不符的。后来放松BS模型的假设并对其加以修正，成为期权定价领域的热点问题，特别是具有交易费用的期权定价问题.

BS模型假设波动率为常数，Andersen[2]，Baski[3]的实证研究表明随机波动率模型能够较好地拟合市场数据，具有较好的定价性能.Cox和Ross[4]提出常波动率弹性（Constant Elasticity of Variance，以下简称CEV）下期权定价模型，特别在α=2时，可见股票价格满足的即是几何布朗运动过程.Boyle[5]，谢赤[6]采用数值方法逼近CEV过程，分别研究了回望期权、障碍期权.陈刚和周玉昆[7]在CEV下讨论了有交易费用的彩虹期权定价问题.

1985年，Leland[8]第一个讨论了支付交易费用的期权定价，并给出小额交易费用和固定摩擦系数下欧式期权定价的解析解.Toft[9]继Leland在修正的B-S模型下讨论了支付交易费用的期权定价.Hoggard，Whalley和Wilmott[10]采用推导B-S方程的无套利均衡分析方法，给出了支付交易费用的期权定价模型.许少敏，蒋鲁敏[11]给出了支付交易费用的衍生物的定价公式；吴永红，叶小青[12]对支付交易费用的欧式期权定价进行了研究.

B-S模型用布朗运动描述了连续市场信息波动对股票价格的影响.实际市场中，股价还受一些时刻不确定的突发事件（如突发的战争，重大政治事件，金融危机等）影响. 考虑到这两方面的因素，Li[13]构建了波动率服从泊松跳跃过程的期权定价模型.Wang等[14]将泊松过程引入B-S模型，假设股价满足方程：

研究了有交易费用的回望期权定价问题.

但对于多资产期权，目前仍无文献从波动率、交易费用、红利、突发事件影响等多个因素来考察期权定价.本文将以交换期权这种多资产期权作为研究对象，在模型（1）下研究其定价，以期为投资者提供有应用价值的反馈公式.

2CEV下考虑股票价格受突发事件

影响下的交换期权定价

交换期权是典型的两个风险资产新型期权， 它赋予期权持有人在到期日有权在多个原生资产中取得最佳回报的权利.

3支付交易费用的交换期权定价模型

在实际的金融市场中，标的资产的价格是不断变化的，为了运用连续交易保值策略，投资者要进行频繁的交易，这样不得不面对数目可观、不可忽视的交易成本，所以在改进B-S模型时有必要研究交易成本.本文考虑的成本以交易额的固定比例K来获得。若假设期权存续期Δt时间内股票S的头寸发生了ω份的变化，则在Δt时间内产生的交易成本为KωS（ω>0表示购买，ω<0表示出售）.

定理2设交换期权的标的资产在风险中性概率下满足方程（2），则支付交易费用和连续红利的交换期权价格V（S1，S2，t）满足偏微分方程

4结论

本文获得了股票价格在CEV下考虑突发事件影响的交换期权定价模型.在定理1中，当λ=0时， 得到CEV模型下交换期权的定价公式；当λ=0，α=2时，得到标的资产在几何布朗运动下的交换期权的定价公式.对于定理2，当λ=0时，得到CEV模型下支付交易费用和连续红利的交换期权的定价模型；得到标的资产在几何布朗运动下支付交易费用和连续红利的交换期权的定价模型.研究发现， CEV过程使得股票价格幂指数与波动率弹性α的选取有关；期权费用项受泊松强度参数λ的影响，随λ的增大而变小，并且当λ达到一定限度时会暂停交易，这与实际市场的风险管理策略是一致的.本文得到的CEV下基于布朗运动和泊松过程的的交换期权定价方法，容易推广到n个风险资产的情形。由于文中标的资产数目多，以及波动率弹性等原因获得闭式解是困难的，但是可利用数值模拟技术进行计算，这也是本文可以继续的工作之一.

参考文献

[1]B SCHOLES The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of Political Ecomomy， 1973， 81（2）： 635-654.

[2]T G ANDERSEN， L BENZONI， J LUND. An empirical investigation of continuous-time equity return models[J]. Journal of Finance， 2002， 57（3）： 1239-1284.

[3]G BASKI， C CAO， Z CHEN. Empirical performance of alternative option pricing models[J]. Journal of Finance， 1997， 52（5）： 2003-2049.

[4]J C COX， S A ROSS. Notes on option pricing Ⅰ： constant elasticity of variance diffusions， working paper[R]. Stanford：Graduate School of Business University， 1975.

[5]P P BOYLE， Y S TIAN. Pricing lookback and barrier options under the CEV process [J]. The Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1999， 34（2）：241-264.

[6]谢赤. CEV过程下回顾期权的定价问题研究[J]. 系统工程学报， 2001， 16（4）： 296-301.

[7]陈刚， 周玉昆. CEV模型下有交易费用的彩虹期权定价模型的研究[J]. 宿州学院学报， 2008， 23（4）： 36-38.

[8]H LELAND. Option pricing and replication with transaction costs[J].The journal of finance， 1985， 8（5）： 1283 - 1301.

[9]K TOFT. On the meanvariance tradeoff in option replication with transactions costs [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1996， 31（1）： 33-263.

[10]T HOGGARD， A E WHALLEY， P WILMOTT. Hedging option portfolios in the presence of transaction costs[J]. Futures Options Res， 1994， 7（1）： 21-35.

[11]许少敏， 蒋鲁敏. 有交易费用的衍生物定价模型[J]. 华东师范大学学报， 2002， 14（2）： 22-25.

[12]吴永红， 叶小青. 有交易费用和随机分红时的欧式期权定价[J]. 华中科技大学学报， 2005， 33（6）： 123-124.

[13]J LI. A stochastic volatility model for option pricing[D]. Washingtou：Gorge Washington University， 1992.

[14]F WANG， X P XU， W ZHAO. European option pricing driven by the combination of Brownian motion and Poisson process[J]. Pure and Applied Mathematics， 2004， 20（1）： 79-83.

[15]任芳玲， 乔克林， 李粉香. 有交易成本且标的资产在布朗运动和泊松运动共同作用下多因素期权定价[J]. 延安大学学报： 自然科学版， 2010， 29（3）： 25-27.

[16]任芳玲， 乔克林， 李粉香. CEV下有交易费用且标的资产在B-P共同作用下的回望期权定价[J]. 西南民族大学学报： 自然科学版， 2010， 36（1）： 70-73.

[17]秦洪元， 郑振龙. CEV模型下有交易成本的期权定价[J]. 南方经济， 2007， 25（9）：38-45.