集值拟变分不等式的间隙函数

林清英，黄龙光

(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

拟变分不等式最早是由Bensoussan等[1-2]提出的带约束条件的变分不等式.经过四十余年的发展，拟变分不等式理论研究[3-5]已较深入，并广泛应用于解决各种力学及经济学问题[6-8].近年来，Dirtrich[9]及Fukushima[10]分别提出构造拟变分不等式间隙函数的方法，从而使利用拟变分不等式解决优化问题得以突破.2011年，Aussel等[11]提出Rn空间中拟变分不等式误差边界以及存在唯一解条件，同时，他们还进一步给出拟变分不等式在广义纳什均衡问题中的应用.在文献[11]的基础上，本文进一步讨论严格凸光滑赋范线性空间中集值拟变分不等式的间隙函数的有关性质.

1 预备知识

如无特别说明，本文中X为严格凸光滑赋范线性空间，Y是实赋范线性空间，X*是X的对偶空间，R表示实数集，映射T:X→2X*和S:X→2X为集值映射，D(S)，D(T)分别表示集值映射S，T的定义域.

如下问题称为X的拟变分不等式QVI(T，S)问题:对任意的y∈S(x0)，找x0∈S(x0)及x0*∈T(x0)使〈x0*，y-x0〉≥0.

定义1[11]设D(S)⊂D(T)，若存在函数φ:D(S)×X→R满足下列性质:1)对任意x∈D(S)，φ(x，·)在 D(S)上为严格凸映射;2)对任意 x∈D(S)，∂2φ(x，x)=T(x)，则称序对 (T，S)满足假设H.

定义2[11]设μ〉0，若对任意x，y∈X，存在x*∈T(x)，使得〈x*，y-x〉〉0，那么对任意y*∈T(y)有则称T为μ-强伪单调集值映射.

定义3[11]若 FP(S)≜ {x∈ D(S)|x∈S(x)}，Gr(S)≜{(x，y)|x∈D(S)，y∈S(x)}，集值映射S满足对任意x∈FP(S)有(S(x)，x)⊂Gr(S)，则称S为对称的集值映射，换言之，对任意x∈ FP(S)，y∈ S(x)有 x∈S(y).

定义4[11]设α〉0，若存在r〉0，L〉0使对任意则S称为在点x∈D(S)上的局部α-Hölder集值映射.

定义5[12]设T是线性拓扑空间X到线性拓扑空间Y的映照．如果T把X中的每个有界集映为Y中的有界集，则称映照T是保持有界集的.

2 构造集值拟变分不等式的间隙函数

基于文献[11]在有限维线性空间中讨论拟变分不等式的间隙函数的有关性质，本文将相关性质拓展到严格凸光滑赋范线性空间.严格凸光滑赋范线性空间有关性质可见文献 [13].

定理1 设D(S)⊂D(T)，T为弱*紧凸值的，若对任意存在，那么对任意β〉0，可定义函数满足假设H.

1)先证φβ(x，y)满足定义1条件2)，因为X是光滑赋范线性空间，所以∂2φβ(x，x)=∂g(x).

下证:∂g(x)=T(x).先证T(x)⊂∂g(x).首先，由T为弱*紧凸值的，可知T(x)为弱*紧凸集.其次，对任意z*∈ T(x)，有且从而g(y)-g(x)≥〈z*，y-x〉. 所以z*∈∂g(x). 于是T(x)⊂∂g(x).再证∂g(x)⊂T(x).对任意 u∈ ∂g(x)，g(y)=g(y)-g(x)≥〈u，y-x〉且则对任意y，因此u∈T(x).否则假设u∉T(x)，因为T(x)为弱*紧凸集，根据凸集分离定理，存在y0∈X使与式 (1)矛盾.于是∂g(x)⊂T(x).综上，∂g(x)=T(x)，即φβ(x，y)满足定义1条件2).

2)再证φβ(x，y)满足定义1条件1).对任意y1，y2∈X(y1≠y2)及λ∈(0，1)，分两种情况进行讨论:ⅰ)当时，由X的严格凸性可知

推论1 若序对(T，S)满足与函数φ有关的假设H，且φ是保持有界集的，则T为弱*紧凸值的.

证明 由定义1 性质2)可知，∂φ2(x，x)=T(x)且 ∂φ2(x，x)={v∈ X*|〈v，y-x〉≤ φ(x，y)-φ(x，x)，∀y∈ X}. 对任意的可得〈λv1+(1-λ)v2，y-x〉≤φ(x，y)-φ(x，x). 故λv1+(1-λ)v2∈T(x)，即T(x)为凸集. 对任意T(x)中弱* 收敛于 u的序列 {uα}，有 φ(x，y)- φ(x，x)≥〈uα，y-x〉. 对 α 取极限，φ(x，y)- φ(x，x)≥〈u，yx〉，从而u∈∂φ2(x，x)=T(x).因此，T(x)是弱*闭的.对任意u∈∂φ2(x，x)=T(x)及y∈x+B(0，1)⊂X，有φ(x，y)-φ(x，x)≥〈u，y-x〉. 又由φ是保持有界集的，可知对任意y∈x+B(0，1)，存在M 〉0，使即对任意故T(x)为范数有界.由Banach-Alaoglu定理可知T(x)为弱*紧集，即T为弱*紧凸值的.

引理1 设序对(T，S)满足与函数φ有关的假设H，D(S)⊂int(D(T))，S为凸值的，那么对任意x∈X，x为QVI(T，S)的解当且仅当x是φ(x，·)在S(x)上的全局最小值.

证明 充分性.因为x为QVI(T，S)的解，所以对任意y∈S(x)，存在x*∈T(x)使〈x*，y-x〉≥0. 又由 ∂2φ(x，x)=T(x)得 φ(x，y)- φ(x，x)≥〈x*，y-x〉≥0．从而 φ(x，y)≥ φ(x，x)，即 x是φ(x，·)在S(x)上的全局最小值.

必要性. 因为x是 φ(x，·)在 S(x)上的全局最小值，所以0∈ ∂2φ(x，x). 又由 ∂2φ(x，x)=T(x)可知0∈T(x).于是对任意y∈S(x)，存在0∈T(x)使〈0，y-x〉≥0.故x为QVI(T，S)的解.

定理2 设序对(T，S)满足与函数φ有关的假设H，D(S)⊂int(D(T))，S为凸值的，如果对任意x∈D(S)，函数φ满足φ(x，x)=0，那么是在 FP(S)上拟变分不等式QVI(T，S)的间隙函数，即对任意x∈FP(S)有fφ(x)≥0，其中fφ(x)=0当且仅当x为QVI(T，S)的解.

3 集值拟变分不等式的误差边界

为引入集值拟变分不等式误差边界，本文将考虑由定理1描述的特殊二元函数φβ，于是间隙函数定义为对任意 β 〉 0，fβ:D(S)→R ，有其中φβ:D(S)×X→R是指对任意 (x，y)∈ D(S)× X 有

定理3 设T为μ-强伪单调集值映射且T为弱*紧值的，S在不动点处为对称集值映射，D(S)⊂D(T)，若∈X是QVI(T，S)的解，那么对任意β〈μ，是QVI(T，S)在S(¯x)上的唯一解且对任意x∈S)，

推论2设T为μ-强伪单调集值映射且T为弱*紧值的，K为X中非空凸集，设∈X是VI(T，K)的 (唯一)解，则对任意β〈μ和x∈K有其中间隙函数fβ(x)=

证明设任意x∈B(¯x，η)∩S(¯x)，z∈S(x)，且S为局部α-Hölder集值映射，则于 是，由T是弱*紧值的可知T(x)为弱*紧集，从而存在x*∈T(x)使即

推论3设T为μ-强伪单调集值映射且T是弱*紧值的，若¯x∈D(T)，S为α〉2的局部α-Hölder集值映射，D(S)⊂D(T). 设实数η∈(0，min{r，1})满足ρη= μ -LMηα-2-β-2βL-βL2〉0，其中那么是QVI(T，S)在上的唯一解，且对任意

4 广义纳什均衡问题上的应用

广义纳什均衡问题 (Generalized Nash Equilibrium Problem，GNEP)是每一个决策者都会依赖其他决策者的一种纳什游戏.假设有p个决策者，决策者v的决策变量为yv∈X.记所有这些变量构成的向量y=(y1，y2，……，yp)，y-v表示除玩家v外其他决策者的决策变量按原顺序构成的向量.有时为强调第v个决策者的变量，会用(yv，y-v)来代替y.注意(yv，y-v)仍然是向量y，而不是将分量块yv移到首位.决策者v的策略属于Yv(y-v)，这个集合明显依赖于其他决策者的决策变量.给出决策yv的决策者目的是为选择一种策略yv使得yv解决以下最优化问题:存在yv∈Yv(y-v)使(Pv)min θv(yv，y-v)，其中θv(yv，y-v)表示当竞争者选择策略yv时，决策者需要承受的损失.广义纳什均衡问题就是为了找到∈X使对任意当支付函数θv是凸的且关于第v个变量可微时，在特殊的情况下与拟变分不等式的有关内容已经被研究.2009年，Heusinger等指出在拟凸以及满足Rosen定理的条件下用变分不等式表示广义纳什均衡问题的一种变形，即对任意的v，集合Yv(y-v)表示Yv(y-v):={yv∈X:(yv，y-v)∈X}.受文献 [11]的启发，利用拟变分不等式表示广义纳什均衡问题的一种变形，从而利用文中严格凸光滑赋范线性空间中间隙函数的结论得到有关GNEP的相关理论.

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