关于几类2阶ai-半环生成的簇的研究

杨文玲,任苗苗,邵勇

(西北大学大学数学系,陕西西安 710127)

关于几类2阶ai-半环生成的簇的研究

杨文玲,任苗苗,邵勇

(西北大学大学数学系,陕西西安 710127)

借助半环的格林关系研究了由所有2阶ai-半环生成的半环簇S2的一些子簇.

其次,定义了与S2中半环的元素相关的同余关系,并揭示了同余关系之间的联系.

半环;格林关系;簇;同余

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.05.009

1 引言及预备知识

设(S,+,·)是一个(2,2)-型代数,其中+和·是S上的二元运算.若S满足下列条件:

(1)(S,+)是交换半群;

(2)(S,·)是半群;

(3)a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c(∀a,b,c∈S).

则称(S,+,·)是半环.由此可见半环是环和分配格的共同推广.所谓的半格是指交换的幂等元半群.加法半群为半格的半环简称为ai-半环.众所周知,半格的自同态半环是ai-半环,且每一个ai-半环可嵌入到某一个半格的自同态半环中[1].设S是半群.P(S)(Pf(S))表示S的非空(有限)子集的全体.在P(S)上定义+和·如下:

则P(S)和Pf(S)成为ai-半环.事实上,若X+表示自由半群,则Pf(X+)是所有ai-半环作成簇的自由对象[1].

许多学者对ai-半环进行了研究[2-7].文献[7]引入了半群的闭子半群的概念,进而给出了所有乘法半群是带的ai-半环作成的簇的自由对象的模型.其后,文献[2-4]证明了上述簇的子簇格是分配格,且有78个元素.此外,每一个子簇都是有限基底的和有限生成的.在上述文献的基础上,本文研究所有2阶ai-半环生成的簇.

容易验证,在同构意义下有6个互不相同的2阶ai-半环,分别记为L2,R2,M2,D2,N2和T2,其运算表如下.

表1 L2,R2,M2,D2,N2和T2运算表

证明得到

为了应用方便起见,下文均用ab表示a·b,Con(S)表示半环S上所有同余所构成的集合.对于给定的半环S,HSP(S)表示由半环S所生成的簇.文中没有给出的概念和符号可以参考文献[8-9].

本文首先利用半环的格林关系研究了由所有2阶ai-半环生成的半环簇S2的一些子簇,给出了这些子簇的基底.其次,定义了与S2中半环的元素相关的同余关系,并对同余关系之间的联系进行了研究.

2 主要内容

表2 L2×N2的加法运算表

表3 L2×N2的乘法运算表

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The study of som e classes of the varieties generated by ai-sem irings of order tw o

Yang Wenling,Ren M iaom iao,Shao Yong

(Departm ent of M athem atics,Northwest University,X i′an 710127,China)

In this paper,we study som e subvarieties of the variety S2generated by all ai-sem irings of order tw o by Green′s relations of a sem iring.A lso,we defne some congruenceswhich are related to elements of a sem iring in S2and show the relationships of these congruences.

sem iring,Green′s relations,variety,congruence

O153.3

A

1008-5513(2013)05-0498-09

2013-04-10.

陕西省自然科学专项基金(2011JQ 1017);西北大学科学研究基金(NC0925).

杨文玲(1988-),硕士生,研究方向：代数学.

2010 MSC:16Y60