单半环的若干性质

黄惠玲

(福建船政交通职业学院 公共教学部,福建 福州 350007)

单半环的若干性质

黄惠玲

(福建船政交通职业学院 公共教学部,福建 福州 350007)

探讨了单半环,获得关于单半环的若干等价性质,同时刻画了单半环及加法幂等半环的几个子半环.

半环;单半环;加法幂等半环

0 引言和预备知识

在半环理论中,半环结构是一项重要的研究内容,单半环、幂等半环是半环结构研究的枢纽.近年来,有许多文献致力于单半环、幂等半环的研究.Bashir,R.El等人在文献[1]刻画了有限交换半环是同余单半环的充要条件,在文献[2]中讨论同余单半环;刘国瑞和李勇华在文献[3]讨论了加法完全单半环上的同余和同余格.本文主要讨论R是单半环的一些等价条件,同时刻画了单半环的几个子半环.

定义1[4]设R是一非空集合.如果在R中定义两个代数运算“+”与“·”且满足

1)(R,+,0)是一个交换幺半群,其中0为R的加法恒等元;

2)(R,·,1)是一个幺半群,1为R的单位元;

3)∀x,y,z∈R,均有x(y+z)=xy+xz,(x+y)z=xz+yz;

4)∀x∈R,0x=x0=0;

5)0≠1.

则称R为半环,记为(R,+,·,0,1)或简记作R.

定义2[4]设L是半环(R,+,·,0)的非空子集.如果1)0∈L;2)(L,+,·)作成有零元的半环,则称L为R的子半环.

定义3[4]设I是半环R的非空子集,如果1)0∈I;2)∀x,y∈I,a∈R,均有x+y∈I,ax,xa∈I.则称I为R的理想.

定义4[4]若半环R只含R与{0}两个理想,则称R为单半环.

由单半环的定义可得R为单半环当且仅当∀x∈R,有x+1=1.

定义5 设(R,+,·)是半环.如果∀x∈R,有x+x=x,则称R为加法幂等半环.

显然,若R为单半环,那么R也是加法幂等半环.因为∀x∈R,有x+1=1,所以1+1=1,因此a+a=a(1+1)=a·1=a,所以R是加法幂等半环.

定义6 设(R,+,·)是半环.如果∀x∈R,有x2=x,则称R为乘法幂等半环.

定义7 设R是单半环,∀x,y∈R,∀n,m为非负整数,我们定义x[n]y[m]为满足下列条件的运算:

1)x[0]y[m]=ym;

2)x[n]y[0]=xn;

3)x[n+1]y[m+1]=(x[n]y[m+1])x+(x[n+1]y[m])y.

1 主要结果

定理1 设R是加法幂等半环.∀x,y,z,g∈R,且x+z=y,y+g=x,则x=y.

证明 因为R是加法幂等半环,则∀x,y,z,g∈R,有

x=x+x=x+y+g=x+x+z+g=x+z+g=y+g+z+g=y+z+g+g

=y+z+g=y+g+z=x+z=y

证毕.

定理2 设R是半环.下面四个命题是等价的:

1)R是单半环;

2)∀x,y∈R,有x=xy+x;

3)∀x,y∈R,有x=yx+x;

4)∀x,y,z∈R,有xy=xy+xzy.

证明 1)⟹2)

因为R是单半环,则∀x,y∈R,有x=x·1=x(1+y)=x+xy,命题2)得证.

2)⟹1)

因为∀x,y∈R,有x=xy+x,所以1+y=1+1·y=1,因此R是单半环.

同理可证1)⟺3).

1)⟹4)

因为R为单半环,所以由命题2)可得∀x,y,z∈R,有x=xz+x,因此

xy=(xz+x)y=xzy+xy=xy+xzy

从而命题4)得证.

4)⟹1)

因为∀x,y,z∈R,有xy=xy+xzy.所以y=1·y=1·y+1·zy=y+zy,即y=zy+y,从而命题3)成立,由上面证明可得命题3)成立,那么命题1)也成立,即R是单半环.

因此命题1),2),3),4)是等价的. 证毕.

推论 设R是半环.下列三个命题是等价的:

1)R是乘法幂等单半环;

2)∀x,y,z∈R,有(x+y)(x+z)=x+yz;

3)∀x,y∈R,则x+y=x当且仅当xy=y=yx;

证明 1)⟹ 2)

设R是乘法幂等单半环,则由定理2可得∀x,y,z∈R,有

(x+y)(x+z)=x2+xz+yz+yx+yz=x+xz+yx+yz=x+yx+yz=x+yz因此命题2)成立.

2)⟹1)

∀x∈R,由命题2)可得x2=(x+0)(x+0)=x+0·0=x,因此R是乘法幂等半环.下证R是单半环.

∀x,y∈R,因为(x+0)(x+y)=x2+xy+0·x+0·y=x+xy

(1)

又由命题2)可得(x+0)(x+y)=x+0·y=x

(2)

所以由等式(1)(2)得xy+x=x,由定理2可得R是单半环.因此R是乘法幂等单半环.

1)⟹3)

因为R是乘法幂等单半环,∀x,y∈R且x+y=x,则由命题2)可得

xy=(x+y)(y+0)=(y+x)(y+0)=y+x·0=y

同理yx=(y+0)(x+y)=(y+0)(y+x)=y+0·x=y,所以

xy=y=yx.

反之,如果xy=y=yx,又因为R是乘法幂等单半环,由定理2可得

x+y=x+xy=x

从而命题3)成立.

3)⟹1)

由命题3)可得∀y∈R,有1·y=y,所以1+y=1.因此R是单半环.又∀x∈R,由命题3)我们有x+x=x,从而x2=x,所以R是乘法幂等半环,即命题1)成立.

因此命题1),2),3)是等价的.证毕.

定理3 设R是单半环.1≠x∈R,那么∀y∈R,有xy≠1,yx≠1.

证明 用反证法

假设xy=1,则由定理2的命题2)可得x=xy+x=1+x=1.矛盾.

同理,由定理2的命题3)可得x=yx+x=1+x=1.矛盾.

所以xy≠1,yx≠1.证毕.

定理4 设R是单半环.如果x,y,z∈R满足xz=zx=0且z+y=1,那么

xy=x=yx且x+y=y.

证明 因为z+y=1,所以x=x(z+y)=xz+xy=xy,同理可证x=yx.

因为R是单半环,由定理2可得y=xy+y,所以

x+y=x(z+y)+y=xz+xy+y=xy+y=y.证毕.

定理5 设R是半环.∀x,y∈R,m,n为非负整数,则

(3)

(4)

证明 利用数学归纳法证明

1)当n=0时,等式(3)显然成立.

所以等式(3)成立.

2)当n=0时,等式(4)显然成立.

因此当n=k+1时,等式(4)也成立,命题得证.证毕.

定理6 设R是单半环.∀x,y∈R,m,n为非负整数,则存在e,g∈R,使得xn=x[n]y[m]+e,yn=x[n]y[m]+g.

证明 首先我们要证明∀s,t为正整数,存在c∈R使得xn=ysxnyt+e

(5)

当s=t=0时,等式(5)显然成立.

因为R为单半环,由定理2可得xn=yxn+xn,xn=xny+xn,所以当s=1,t=0或s=0,t=1时,等式(2.5)成立.

下证t=0,s≠0的情况.

由定理2,不妨设存在e′∈R,使得xn=ysxn+e′,因为

xn=yxn+xn=y(ysxn+e′)+xn=ys+1xn+(ye′+xn)=ys+1xn+e″

这里e″=ye′+xn.所以当t=0,s≠0时,等式(5)成立.

同理可证s=0,t≠0时,等式(5)也成立.

下证s≠0,t≠0的情形.

不妨设xn=ysxn+f,xn=xnyt+f′,这里f,f′∈R.则

xn=ysxn+f=ys(xnyt+f)+f′=ysxnyt+ysf+f′=ysxnyt+f″

这里f″=ysf+f′∈R.等式等式(5)成立.

因为x[n+1]y[m+1]=(x[n]y[m+1])x+(x[n+1]y[m])y

(6)

且x[0]y[m]=ym,x[n]y[0]=xn,这里m,n为非负整数.所以经过有限次的应用等式(6),则x[n]y[m]可展开为形如ym(1)xn(1)ym(2)xn(2)…xn(r)ym(r+1)的有限项的和.这里m(1)+m(2)+…m(r)+m(r+1)=m,n(1)+n(2)+…+n(r)=n.

设z为x[n]y[m]展开式中的任一项.不妨设z=ym(1)xn(1)ym(2)xn(2)…xn(r)ym(r+1),xn(1)=ym(1)xn(1)ym(2)+e1,则

ym(1)xn(1)ym(2)xn(2)…xn(r)ym(r+1)+e1xn(2)…xn(r)ym(r+1)=

(ym(1)xn(1)ym(2)+e1)xn(2)…xn(r)ym(r+1)=

xn(1)xn(2)…xn(r)ym(r+1)=

xn(1)+n(2)ym(3)xn(3)ym(4)…xn(r)ym(r+1).

设xn(3)=ym(3)xn(3)ym(4)+e2,则

ym(3)xn(3)ym(4)…xn(r)ym(r+1)+e2xn(4)…xn(r)ym(r+1)=

(ym(3)xn(3)ym(4)+e2)xn(4)ym(5)…xn(r)ym(r+1)=

xn(3)xn(4)ym(5)…xn(r)ym(r+1)=

xn(3)+n(4)ym(5)…xn(r)ym(r+1)

以此类推,经过有限次的类似运算,总可以找到ez∈R,使得z+ez=xn(1)+n(2)+…+n(r)=xn.又因为单半环是加法幂等半环,所以x[n]y[m]+∑ez=xn+xn+…+xn=xn.即存在e∈R,使得xn=x[n]y[m]+e.

同理可证存在g∈R,使得yn=x[n]y[m]+g.证毕.

定理7 设R是单半环.∀x∈R,设

是R的子半环.

证明 因为R为加法幂等半环,所以1+1=1,即1∈L.

∀x,y∈L,且x≠0,y≠0,则(x+y)+1=x+y+1=x+y,所以x+y∈L.

又因为xy+1=x(y+1)=xy+x+1=xy+x=x(y+1)=xy,所以xy∈L,即L为R的单子半环. 证毕.

[1] EI Bashir R,HURT J,JANCARIK A,et al.Simple commutative semirings[J].J.Algebra,2001,236:277-306

[2] EI Bashir R,KEPKA T.Congruence-simple semirings[J].Semigroup Forum,2007，75:588-608

[3] 刘国瑞,李勇华.一类加法完全单半环上的同余和同余格[J].华南师范大学学报(自然科学版),2008(4):49-52

[4] 陈陪慈.半环理论与语言和自动机[M].南昌:江西高校出版社,1993

Some Properties of Simple Semirings

HUANG Huiling

(Basic Department, Fujian Chuanzheng Communications College, Fuzhou 350007, China)

The simple semirings were approached.Some equivalent properities of simple semirings were given, and depicts some subsemrings of simple semirings and additively idempotent semirings.

semiring;simple semiring;additively idempotent semirings

2015-07-24

黄惠玲(1976-),女,福建平和人,硕士，福建船政交通职业学院讲师，主要从事代数与矩阵论研究.

1672-2027(2015)03-0015-05

O153

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