随机汇率下的信用违约互换定价模型

王 杨，倪昱婧，张寄洲

（上海师范大学数理学院，上海 200234）

随机汇率下的信用违约互换定价模型

王 杨，倪昱婧，张寄洲

（上海师范大学数理学院，上海 200234）

在随机汇率的假设下，通过倒向Kolmogrov方程，运用结构化方法建立了信用违约互换的定价模型，得到了美元市场上信用违约互换价格的显式解，并给出了相关的金融意义分析.

随机汇率；信用风险；信用违约互换；结构化方法.

0 引 言

随着全球经济一体化，越来越多的外国投资者把投资目标锁定在新兴市场，以谋求更高的投资收益.另一方面，由于全球经济的逐步发展，新兴市场利用外资总额的比重在逐步攀升，其中就包括了对外借款，即向外国投资者融资和融券.这样，国外投资者就面临了国内发债方的信用风险及汇率风险.

信用违约互换(简称CDS）是一种有效转移信用风险的信用衍生产品，它涉及到CDS买方、卖方及债券发行第三方.因债券持有人一般都会面临发行第三方违约等信用风险问题，既而会选择购买一份CDS.在合约期内，CDS买方会定期向CDS卖方支付一定的费用，这部分费用相当于是保险金(见图1）.若债券在合约期内发生违约，则CDS卖方必须支付一定的补偿给CDS买方；若债券在合约期内没有发生违约，则CDS卖方不发生任何的资金支付.由此可见，CDS相当于是一份关于债券发行第三方的保险合同，其实质是转移了第三方的信用风险.在违约事件发生时，CDS卖方可以有两种支付方式：实物支付和现金支付.实物支付是指CDS卖方以一定的价格回收，购买CDS买方手中所持有的违约债券.现金支付是指CDS卖方支付一定的金额以补偿债券违约给CDS买方所带来的损失.

图1 CDS流程图

近年来，随着国际金融市场动荡加剧，信用风险问题日益突出，尤其是2008年美国的次贷危机更凸显了信用风险度量和管理的重要性.信用违约互换具有将信用风险从市场风险中分离出来并能有效转移信用风险的特点，从而使它成为金融机构规避和管理信用风险的重要工具和有效手段.然而，由于信用风险具有非系统性、收益可偏性以及数据获取困难等特点，使得信用违约互换的定价问题十分困难.因此，对信用违约互换进行研究具有理论和现实双重意义.

研究信用风险一般有两种方法：结构化和约化方法.结构化方法是将公司资产作为变量，设置一个破产边界，通过基本假设和无套利原理，得出公司的违约密度函数，从而得到产品的定价模型.到目前为止，主要有如下几种常用的模型：Merton(1974）模型［1］，该模型假定企业拥有单一的债务结构(零息债券），债券到期日企业价值下降到一定边界以下时发生违约，这个边界称为违约边界；Black和Cox (1976）模型［2］，该模型放松了关于违约时间的假定，认为违约不只发生在债务的到期日，在其债务到期之前的任何一个时间，只要公司资产跌至违约边界，违约就发生.结构模型认为违约是可以预测的，因此有一定的局限性且常常与实际情况不符.约化方法是将违约看成一个外在的Possion过程.从市场数据中得到违约强度，以此来推断产品的价格.主要模型有：Jarrow和Turnbull(1995）模型［3］，为首个约化模型；Jarrow，Lando和Turnbull(1997）模型［4］，在该模型中，违约强度是有限状态下的马尔可夫过程，违约强度由信用等级转移矩阵所确定.约化模型很好地弥补了结构化模型的缺陷.

在信用违约互换模型研究方面，Duffie［5］(1999）首先对信用违约互换定价问题进行了研究.王琼和陈金贤［6］(2003）考虑突发事件对违约概率的影响，建立了一个基于跳-扩散过程的信用违约互换的定价模型.Leung和Kwok［7］(2005）用约化方法，建立了带有交易对手风险的信用违约互换定价模型.周鹏和梁进［8］(2007）在Merton的结构化方法框架下，通过求解偏微分方程得到公司的违约密度函数，给出了信用违约互换的定价公式.Bai等［9］(2007）用约化方法考虑了通过引进一个双曲类型的衰减函数来表示一方违约对另一方违约强度的影响，对信用违约互换进行定价.詹原瑞等［10］(2008）利用Copula函数，研究了一篮子信用违约互换的定价问题.马俊美和梁进［11］(2008）在随机利率Vasicek模型下，研究了一篮子信用违约互换的定价问题.李淑锦和李胜宏［12］(2010）考虑在回收率非零的情形下，用违约强度刻画互换卖方和参照实体间的违约传染问题，给出了违约传染相关下的信用违约互换估价.同时，还分析了清算成本和替代成本对定价的影响.

本文作者研究的CDS问题涉及两个市场：人民币市场和美元市场.文中假设发债第三方的主营业务范围在国内人民币市场，同时，在国外美元市场进行融资和融券.一般国内经营的公司会选择在国外上市或融资和融券，主要有以下几个原因：(1）考虑到分散风险；(2）公司采取了有效的反兼并收购的策略；(3）公司拥有了更多的融资渠道；(4）提升自身品牌或公司知名度，为进一步扩大海外市场份额做准备.对于国外美元市场上的交易对手来说，为国内市场上的发债方公司提供融资和融券也具有一定的现实金融意义.一方面，受挫于信贷危机，美国本土公司进行信贷业务的量急剧下降，相反，越来越多中国的中小型公司选择在美国上市；另一方面，对于国外银行来说，为国内中国公司进行融资和融券可以获得更高的融资收益(成本）.因此所研究的问题和结论具有一定的实际金融意义.

本文作者研究随机汇率下的信用违约互换定价模型.假设互换的买方和卖方同处于美元市场，而债券发行第三方位于人民币市场.同时，互换卖方受政府担保，无任何信用风险.国外投资者(互换买方）除了面临国内债券发行第三方的信用违约风险外，还面临了汇率风险.在随机汇率的情况下，运用结构化方法求出了国内债券发行第三方的违约密度函数，进而得到了此模型下定价问题的显式解.最后也给出了结论的金融意义分析.

2 模型假设

(1）市场无摩擦，不考虑税收和交易成本.

(2）rf为国外美元市场上的无风险利率且为常数.

(3）τ为发债第三方的违约发生时刻.q(t）为发债第三方的违约密度函数.

(4）Rf为发债第三方违约发生时，在美元货币下的债券回收率且为常数.

(5）S为互换买方定期支付给卖方的CDS保费，T为互换合约的到期时间.

(6）国内债券发行方的标的资产V服从几何Brown运动

这里的公司资产V用人民币衡量，其中μv是公司资产的期望回报率，σv是公司资产的波动率，μv和σv都为常数，ω(1）(t）是标准Brown运动.

(7）汇率F服从几何Brown运动

这里的汇率表示1单位人民币可以兑换成的美元金额，其中μF是汇率的期望回报率，σF是汇率的波动率，μF和σF都为常数，ω(2）(t）是标准Brown运动.

(8）ρ表示dω(1）(t）和dω(2）(t）之间的相关系数且为常数.

(9）D为人民币货币下，发债第三方的破产边界且为常数.

3 定价模型与求解

令0＜t1＜t2＜…＜tn＝T，这里ti(i＝ 1， 2，…，n）是CDS的保费支付日.Δti＝ti-ti-1(i＝ 1， 2，…，n），tnτ和tnτ＋1分别表示在违约时刻τ(0＜τ≤T）之前和之后的保费支付日.违约时刻τ＝inf｛t｜Vt≤D｝.

互换买方的保费支出的期望为：

互换买方在违约发生时刻，获得补偿的期望为

于是信用违约互换的保费S为

因此该问题即转换为求人民币市场上债券发行方在美元市场上的公司违约密度函数.运用结构化方法来求解.设P(V，F，t；T）为发债公司在随机汇率下t时刻的违约概率，即

利用倒向Kolmogorov定理可知P(V，F，t；T）是以下边值问题在区域｛D≤V＜∞，0≤F＜∞，0≤t≤T｝上的解，

其中U(V，F，t；T）为发债公司的在随机汇率下t时刻的生存概率.∞，0≤t≤T｝，方程(5）变为

利用Fourier变换，方程(7）转变为

根据泊松公式，可以得到方程(9）的解为：

综上，q(t）已求出，将其代入(3）式，便可求出随机汇率下美元市场上CDS产品的价格S.

4 金融意义分析

下面讨论CDS价格与各参数之间的关系.

(1）图2给出了国内发债公司负债率V／D与CDS价格S之间的变化关系.取rf＝0. 03，τ＝0. 75，Rf＝0. 6，T＝ 2，μv＝0. 2，σv＝0. 3，μF＝0. 1，σF＝0. 2，ρ＝0. 2，F＝0.155.由图2可知，当资产负债率V／D不断减少，CDS的价格S不断增大.这是因为当国内发债方的资产负债率减少时，债券发生违约的可能性会不断增大，为了有效转移这类信用风险，持有此类债券的投资者会选择购买CDS，从而增大了CDS的价格S.

(2）图3给出了公司资产V与汇率F的相关性ρ和CDS价格S的变化关系.取rf＝0. 03，τ＝0. 75，Rf＝0. 6，T＝ 2，μv＝0. 2，σv＝0. 3，μF＝0. 1，σF＝0. 2，V／D＝ 3，F＝0.155.由图3可知，随着相关性ρ的不断减小，CDS的价格S不断增大.当相关性较大为正时，公司资产V与汇率F两者几乎受同一经济或市场性因素的影响；当相关性为零时，国内发债方公司资产V不受汇率F的影响，两者独立；当相关性不断减小为负数时，公司资产V与汇率F的变化方向截然相反，在这种情况下，即使国内发债方运营情况良好，但因受制于汇率的负相关性影响，违约的可能性不断增大，此时CDS的价格S也因为违约可能性的增大而不断增大.

(3）图4给出了回收率Rf与CDS价格S之间的变化关系.取rf＝0. 03，τ＝0. 75，ρ＝0. 2，T＝ 2，μv＝0. 2，σv＝0. 3，μF＝0. 1，σF＝0. 2，V／D＝ 3，F＝0.155.由图4可知，当回收率Rf不断减小，CDS的价格S不断增大.这是因为随着回收率的不断减小，持有此类债券的投资者面临发债方的信用违约风险会不断增大.购买CDS能较好的转移债券违约所带来的风险，减小损失，因此CDS的价格S会增大.

图2 公司资产负债率与CDS价格的变化关系

图3 相关性ρ和CDS价格S的变化关系

(4）图5给出了合约期限T与CDS价格S之间的变化关系.取rf＝0. 03，τ＝0. 75，ρ＝0. 2，Rf＝0. 6，μv＝0. 2，σv＝0. 3，μF＝0. 1，σF＝0. 2，V／D＝ 3，F＝0.155.由图5可知，当合约期限T不断增大时，CDS的价格S不断增大.这是因为，出于转移信用风险的目的，一般投资者购买的CDS合约期限都与所持有的债券期限相同.随着合约期限的不断增大，国内发债方受各种经济或市场因素的影响变大，投资者面临的风险也就变大，CDS的价格也因此而上升.

图4 回收率Rf与CDS价格S的变化关系

图5 合约期限T与CDS价格S的变化关系

5 结 论

本文作者考虑随机汇率的情况下，假设发债方位于人民币市场，对美元市场上发行的信用违约互换(CDS）的定价问题进行了研究.利用结构化方法，通过倒向Kolmogrov方程，给出了美元市场上CDS产品的价格S的显式解.通过金融数据分析，讨论了各个参数的具体金融意义.得到如下结论：当国内发债方公司资产负债率V／D不断减小；或国内发债方公司资产V与汇率F(每单位人民币兑换美元）的相关性不断减小；或信用违约互换(CDS）的回收率Rf不断减小；或合约的期限T不断增大时，信用违约互换的价值均将不断增大.

参考文献：

［1］ MERTON R C.On the pricing of corporate debt：the risk structure of interest rate［J］.J Finance， 1974，29（2）：449 -470.

［2］ BLACK F，COX JC.Valuing corporate securities：some effects of bond indenture provisions［J］.JFinance， 1976，31：351 -367.

［3］ JARROW R A，TURNBULL SM.Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk［J］.JFinance， 1995，50（1）：53-85.

［4］ JARROW R A，LANDO D，TURNBULL SM.A markov model for term structure of credit risk spread［J］.Rev Finance Stud， 1997，10（2）：481-523.

［5］ DUFFIE D，SINGLETON K J.Modeling term structure of defaultable bonds［J］.Rev Finance Stud， 1999，12（4）：687 -720.

［6］ 王琼，陈金贤.基于跳-扩散过程的信用违约互换定价模型［J］.系统工程， 2003，21（5）：79-83.

［7］ LEUNG SY，KWORK Y K.Credit default swap valuation with counterparty risk［J］.Kyoto Economics Review， 2005，74（1）：25-45.

［8］ 周鹏，梁进.信用违约互换的定价分析［J］.高校应用数学学报， 2007，22（3）：311-315.

［9］ BAIY F，HU X H，YE Z X.A model for dependent defaultwith hyperbolic attenuation effect and valuation of creditdefault swap［J］.Appl Math Mech， 2007，28（12）：1643-1649.

［10］ 詹原瑞，韩铁，马珊珊.基于Copula函数族的信用违约互换组合定价模型［J］.国管理科学， 2008，16（1）：1-6.

［11］ 马俊美，梁进.一篮子信用违约互换定价的偏微分方法［J］.高校应用数学学报， 2008，23（4）：427-436.

［12］ 李淑锦，李胜宏.有传染违约相关情形下信用违约互换的估价［J］.高校应用数学学报， 2010，25（3）：253-262.

Pricing model of credit default swap w ith stochastic foreign exchange rate

WANG Yang，NIYujing，ZHANG Jizhou
(College of Mathematics and Sciences，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）

A pricingmodel is established by using the structure approach and the backward Kolmogrov equation under the assumption of stochastic foreign exchange rate.The explicit solution of credit default swap is obtained for the dollarmarket.And a correlative financial analysis is given.

stochastic foreign exchange rate；credit risk；credit default swap；structure approach

F 224.9 O 175.2

A

1000-5137(2013）02-0130-07

（责任编辑：冯珍珍）

2012-12-26

上海市教委重点项目(13ZZ107）；上海师范大学一般科研项目(SK201211）

王 杨(1980-），女，上海师范大学数理学院讲师；倪昱婧(1987-），女，上海师范大学数理学院硕士生；张寄洲(1958-），男，上海师范大学数理学院教授.