从一道中考题谈起

周莎

问题 （2012四川达州）若关于x、y的二元一次方程组2x+y=3k-1，x+2y=-2的解满足x+y>1，则k的取值范围是____________ .

【解答】方法一：解方程组2x+y=3k-1，x+2y=-2.得：x=2k，y=-k-1.

因为关于x、y的二元一次方程组2x+y=3k-1，x+2y=-2的解满足x+y>1，

所以2k+（-k-1）>1，解得k>2.

方法二：方程组2x+y=3k-1，①x+2y=-2. ②

①+②得：3x+3y=3k-3，即：x+y=k-1.

因为关于x、y的二元一次方程组2x+y=3k-1，x+2y=-2的解满足x+y>1，

所以k-1>1，解得k>2.

【点评】本题既能够考查同学们对二元一次方程组解法的掌握，也能够考查同学们对一元一次不等式组解法的掌握.同时，本题将二元一次方程组与一元一次不等式融为一体，能够较好地渗透整体的数学思想，使含有3个未知数的方程组、一元一次不等式问题转化为只含有一个待定系数的一元一次不等式问题.

【思考】方法一，从基础知识和基本能力的角度，直接根据所给方程组求得含有待定系数的方程组的解，再分别代入含有未知数的不等式中，建立含有待定系数的不等式，从而确定待定系数的取值范围.方法二，能够较为灵活地根据方程组中对应未知数的系数关系，巧妙地将方程组中的两个方程相加，再应用整体的数学思想，从而使得问题巧妙转化，也使得问题的解答简捷、明快.

变式1 若关于x、y的二元一次方程组3x+y=1+a，x+3y=3的解满足x-y<2，则a的取值范围是（ ）.

A. a>4 B. a<4

C. a>6 D. a<6

【解答】解方程组3x+y=1+a，①x+3y=3. ②

①-②，得：2x-2y=a-2，

因为关于x、y的二元一次方程组3x+y=1+a，x+3y=3的解满足x-y<2，即2x-2y<4，

所以a-2<4，解得a<6.所以，本题正确应该选D.

变式2 关于x、y的二元一次方程组5x+3y=23，x+y=p的解是正整数，则整数p的值为_______.

【解答】解方程组5x+3y=23，x+y=p得：x=■，y=■.

因为关于x、y的二元一次方程组5x+3y=23，x+y=p的解是正整数，

所以■>0，■>0.解得4■

分别把p为5、6、7代入原方程组的解中，只有p=5、7时方程组的解是正整数，

所以，本题正确应该填：5或7.